四升五年级奥数Word格式.docx

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7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

例4求9932和20042的值。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×

46=73×

88=19×

44=

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×

64＝

例677×

91＝

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×

1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

练习1

　　1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

　　4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；

（3）912；

（4）682（5）1082；

（6）3972。

　　6.计算下列各题：

（1）77×

28=

（2）66×

55=

（3）33×

19=（4）82×

（5）37×

33=（6）46×

99=

第2讲速算与巧算

（二）

　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

　　两个数之和等于10，则称这两个数互补。

在整数乘法运算中，常会遇到像72×

78，26×

86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。

72×

78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；

26×

86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1

（1）76×

74＝？

（2）31×

39＝？

　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×

9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。

“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×

尾”，前面是“头×

（头+1）”。

　　我们在三年级时学到的15×

15，25×

25，…，95×

95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2

（1）78×

38＝？

（2）43×

63＝？

（2）与

（1）类似可得到下面的速算式：

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×

3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。

“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×

头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。

当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。

当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。

如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

　　在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。

例如

，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。

又如

，

　　等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

等都是“补同”型。

　　在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3

（1）702×

708=？

（2）1708×

1792＝？

（1）

（2）

　　计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×

（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

　　在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；

如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例42865×

7265＝？

练习2

　　计算下列各题：

　　68×

62=93×

97=27×

87=79×

39=

42×

62=603×

607=693×

607=4085×

6085=

第3讲高斯求和

　　德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×

100÷

2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；

（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；

（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×

项数÷

2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝

　　注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例211＋12＋13＋…＋31＝

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷

公差+1，

末项=首项+公差×

（项数-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；

第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

练习3

　　1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200

（2）17＋19＋21＋…＋39

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50（4）3＋10＋17＋24＋…＋101

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第四讲整除

我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

　　数的整除具有如下性质：

性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×

7＝63整除。

　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　其中

（1）

（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

　　类似地可以证明（5）。

　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

　　837＝800＋30＋7

＝8×

100＋3×

10＋7

（99＋1）＋3×

（9＋1）＋7

99＋8＋3×

9＋3＋7

＝（8×

99＋3×

9）＋（8＋3＋7）。

　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。

再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

哪些能被9整除？

2347897756886537288064。

例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例4五位数

能被72整除，问：

A与B各代表什么数字？

例5六位数

是6的倍数，这样的六位数有多少个？

例6要使六位数

能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

练习4

　　1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

　3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。

在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？

　4．五位数

能被12整除，求这个五位数。

　5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？

最小是几？

6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？

　7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。

8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？

第5讲弃九法

　　从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；

如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

　　例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为

　　3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，

　　30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

　　但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？

　　因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

　　这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

　　一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1求多位数除以9的余数。

例2将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？

练习5

　1．求下列各数除以9的余数：

（1）7468251

（2）（3）2657348（4）

　2．求下列各式除以9的余数：

（1）67235＋82564

（2）97256-47823

（3）2783×

6451（4）3477+265×

841

第6讲数的整除性

（二）

　　这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

　　一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例如9位数中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：

一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

例2求下列各数除以11的余数：

（1）41873；

（2）。

例3求

除以11的余数。

例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？

例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。

例6六位数

能被99整除，求A和B。

练习6

　　1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？

2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？

3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。

4．求下列各数除以11的余数：

（1）2485；

（2）63582；

（3）。

　5．求

　6．六位数

5A634B能被33整除，求A+B。

7．七位数

3A8629B是88的倍数，求A和B。

第六讲流水行船问题

【专题导引】

当你逆风骑自行车时有什么感觉？

是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。

当顺风时，借着风力，相对而言用力较少。

在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。

解答这类题的要素有下列几点：

水速、顺速、船速（速水速度）、逆速、距离，解答这类题与和差问题相似。

船速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速度相当于和数，逆流速相当于差数。

船速=（顺流船速+逆流船速）÷

2；

水速=（顺流船速-逆流船速）÷

顺流船速=船速+水速；

逆流船速=船速-水速；

顺流船速=逆流船速+水速×

逆流船速=顺流船速-水速×

【典型例题】

【例1】一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。

已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度。

【试一试】：

1、水流速度是每小时15千米。

现在有船顺水而行，8小时行320千米。

若逆水行驶320千米需几小时？

2、水流速度每小时5千米。

现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？

【例2】有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水速。

【试一试】

1、有只大木船在长江中航行。

逆流而上5小时行5千米，顺流而下1小时行5千米。

求这只木船的静水速度和水流速度各是多少？

2、有一船完成360千米的水程运输任务。

顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时。

求河水流速和静水中船的速度？

【例3】轮船以同一速度往返于两码头之间。

它顺流而下，行了8小时；

逆流而上，行了10小时。

如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。

1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时。

如果水流速度是每小时3.6千米，求甲、乙两个港口之间的距离？

2、一艘渔船顺水每小时行18千米，逆水每小时行15千米。

求船速和水速各是多少？

【例4】汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？

1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米。

返回时水流速度是逆流而上的2倍。

需几小时行195千米？

2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的船速是47千米。

求此河的水速是多少？

【﹡例5】有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。

甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的船速相同，河长多少千米？

【﹡试一试】

1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排航行15小时后与漂流物相遇，两只木排的船速相同，A、B两地长多少千米？

2、有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。

中流每小时59千米，沿岸每小时45千米。

有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？

课外作业

家长签名：

1、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米，水流速度是每小时4千米，

天可以到达。

此船从B地返回到A地需多少小时？

2、一海轮在海中航行。

顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米。

求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少？

3、沿河有上、下两个市镇，相距85千米。

有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米。

求往、返一次所需的时间。

4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。

求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？

﹡5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。

今出发至某地顺风去，逆风回，返回的时间比去的时间多3小时。

已知逆风速度为75千米/小时，求距目的地多少千米？

第7讲“牛吃草”问题

牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？

”这题很简单，用3×

10÷

6=5（天）。

如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。

【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。

那么这片草地可供21头牛吃几周？

1、一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天。

那么，可供19头牛吃多少天？

2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问可供25头牛吃几天？

【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？

2、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

1、自动扶梯以均匀速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。

已知小明每分