2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题05-集合函数Word文件下载.doc

1、b50，将A中元素a1, a2, , a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：AB，使得第i组的元素在f之下的象都是bi （i=1,2,50），易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为，则这样的映射共有，故选D。7、（2006一试5）设，则对任意实数，是的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。来源:Zxxk.Com8、（20

2、07一试6）已知A与B是集合1，2，3，100的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为AB空集。若nA时总有2n+2B，则集合AB的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 749、（2008一试1）函数在上的最小值是 （ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】当时，因此，当且仅当时取等号而此方程有解，因此在上的最小值为2故选C.10、（2008一试2） 设，若，则实数的取值范围为（ ）。（A） （B） （C） （D）11、（2001一试11）函数的值域为_【答案】【解析】先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达

3、到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）13、（2002一试11）若，则|x|-|y|的最小值是 。14、（2003一试9）已知A=x|x24x+31），使得存在tR，只要x1,m，就有f（x+t）x【解析】f（x-4）=f（2-x） 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f（1）1，由得 f（1）1f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f（x）= 假设存在tR，只要x1,m，就有f（x+t）x取x=1时，有f（t+1）1（t+1）2+（t+1）+1-4t0对固定的t-4,0，取x=m，有f（t +m）m（t+m）2

4、+（t+m）+mm2-2（1-t）m+（t2+2t+1）0m m=9 29、（2002一试15）实数a,b,c和正数l使得f（x）=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足 x2-x1=l, x3（x1+x2） ，求【解析】 f（x）=f（x）-f（x3）=（x-x3）x2+（a+x3）x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+（a+x3）x+x32+ax3+b的两个根 x2-x1=l （a+x）2-4（x32+ax3+b）=3x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3（x1+x2） （）且 4a2-12b-3l20 （） f（x）=x3+ax2+bx+c= 30、（200

5、5二试2）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.【解析】由条件得，且同理，+（取等号当且仅当，此时，31、（2006一试15）设 . 记，. 证明：.【解析】（）如果，则，。 32、（2007一试15）设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2）=f（x），求证：存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+）=fi（x）；（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x。【解析】证明：记，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h

6、（x）是奇函数，对任意的xR，g（x+2）=g（x），h（x+2）=h（x）。令，其中k为任意整数。容易验证fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的xR，fi（x+）=fi（x），i=1，2，3，33、（2008二试2）设是周期函数，和1是的周期且证明：（1）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（2）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期 （2）若是无理数，令 ，则，且是无理数，令 ， ， 由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数列最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 34、（2011一试9）设函数，实数满足，求的值