2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题05-集合函数Word文件下载.doc

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b50，将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：

A→B，使得第i组的元素在f之下的象都是bi（i=1,2,…,50），易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为，则这样的映射共有，故选D。

7、（2006一试5）设，则对任意实数，是的（）

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】显然为奇函数，且单调递增。

于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出，即。

[来源:

Z§

xx§

k.Com]

8、（2007一试6）已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：

A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。

若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）

A.62 B.66 C.68 D.74

9、（2008一试1）函数在上的最小值是（）。

（A）0（B）1（C）2（D）3

【解析】当时，，因此

，当且仅当时取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．故选C.

10、（2008一试2）设，，若，则实数的取值范围为（）。

（A）（B）（C）（D）

11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．

【答案】

【解析】先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．

13、（2002一试11）若，则|x|-|y|的最小值是。

14、（2003一试9）已知A={x|x2－4x+3<

0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2（a+7）x+5≤0，x∈R}

若AÍ

B，则实数a的取值范围是．

【答案】－4≤a≤－1

【解析】A=（1，3）；

又，a≤－21－x∈（－1，－），当x∈（1，3）时，a≥－7∈（－7，－4）．

∴－4≤a≤－1．

17、（2005一试8）已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是

【解析】在上定义，又[来源:

学科网]

•仅当或时，

在上是减函数，结合（＊）知或

19、（2008一试11）设是定义在上的函数，若，且对任意，满足

，，则=　.

方法二：

令，则

，

即，故，得是周期为2的周期函数，所以．

20、（2009一试1）若函数且，则．

21、（2009一试6）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．

22、（2010一试1）函数的值域是.

【答案】

【解析】易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.

23、（2010一试5）函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.

24、（2011一试1）设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．[来源:

Z_xx_k.Com]

【答案】.

【解析】显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，

故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．

25、（2011一试2）函数的值域为．

26、（2012一试6）设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

【解析】由题设知,则因此,原不等式等价于

因为在上是增函数,所以即又所以当时,

取得最大值因此,解得故的取值范围是

27、（2000一试14）若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].

28、（2002一试15）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：

①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；

②当x∈（0,2）时，f（x）≤

③f（x）在R上的最小值为0。

求最大值m（m>

1），使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f（x+t）≤x

【解析】∵f（x-4）=f（2-x）

∴函数的图象关于x=-1对称

∴b=2a

由③知当x=-1时,y=0，即a-b+c=0

由①得f

（1）≥1，由②得f

（1）≤1

∴f

（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0

∴a=b=c=

∴f（x）=

假设存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f（x+t）≤x

取x=1时，有f（t+1）≤1（t+1）2+（t+1）+≤1-4≤t≤0

对固定的t∈[-4,0]，取x=m，有f（t+m）≤m

（t+m）2+（t+m）+≤m

m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0

≤m≤

∴m≤≤=9

29、（2002一试15）实数a,b,c和正数l使得f（x）=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足

①x2-x1=l,②x3>

（x1+x2），求

【解析】∵f（x）=f（x）-f（x3）=（x-x3）[x2+（a+x3）x+x32+ax3+b]

∴x1,x2是方程x2+（a+x3）x+x32+ax3+b的两个根

∵x2--x1=l∴（a+x）2-4（x32+ax3+b）=3x32+2ax3+l2+4b-a2=0

∵x3>

（x1+x2）∴（Ⅰ）

且4a2-12b-3l2≥0（Ⅱ）

∵f（x）=x3+ax2+bx+c=

30、（2005二试2）设正数a、b、c、x、y、z满足

求函数的最小值.

【解析】由条件得，，

且

同理，

+（取等号当且仅当，此时，

31、（2006一试15）设.记，，

.证明：

.

【解析】

（１）如果，则，。

32、（2007一试15）设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：

存在4个函数fi（x）（i=1，2，3，4）满足：

（1）对i=1，2，3，4，fi（x）是偶函数，且对任意的实数x，有fi（x+π）=fi（x）；

（2）对任意的实数x，有f（x）=f1（x）+f2（x）cosx+f3（x）sinx+f4（x）sin2x。

【解析】证明：

记，，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）。

令，，，，其中k为任意整数。

容易验证fi（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi（x+π）=fi（x），i=1，2，3，

33、（2008二试2）设是周期函数，和1是的周期且．证明：

（1）若为有理数，则存在素数，使是的周期；

（2）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．

（2）若是无理数，令，则，且是无理数，令，，由数学归纳法易知均为无理数且．又，故，即．因此是递减数列．

最后证：

每个是的周期．事实上，因1和是的周期，故亦是的周期．假设是的周期，则也是的周期．由数学归纳法，已证得均是的周期．

34、（2011一试9）设函数，实数满足，，求的值．