微分几何练习试题库与参考答案解析已修改.docx

1、微分几何练习试题库与参考答案解析已修改微分几何复习题与参考答案、填空题23 1极限lim(3 t2 1)i t3j k 13i 8j k 2t2设f(t) (sin t)i t j，g(t) (t2 1)i etj ，求lim( f(t) g(t) 0 3已知 2 r( t)dt = 1,2,3 ， 4 r(t)dt= 2,1,2 ，a 2,1,1 ，b 1, 1,0 ，则 46a r (t)dt+b a r(t)dt= 3, 9,5 .4已知 r (t) a ( a为常向量)，则 r(t) ta c5已知 r (t) ta ，( a为常向量)，则 r(t) 1t2a c 26.最“贴近”空间

2、曲线的直线和平面分别是该曲线的 _ 切线_和 密切平面 .7.曲率恒等于零的曲线是 直线 .8.挠率恒等于零的曲线是 平面曲线 .9.切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10.曲线r r(t)在 t = 2 处有 3 ，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11.若在点 (u0,v0)处ru rv 0，则(u0 , v0 )为曲面的 _ 正常 点.4d12 已知 f(t) (2 t)j (lnt)k，g(t) (sin t)i (cost) j ，t 0，则 (f g)dt 2 6cos4 0 dt13曲线r (t ) 2t,t3,et 在任意点的切向量为 2,3t

3、 2, et 14曲线r (t ) a cosht, asinh t, at 在 t 0点的切向量为 0,a,a 15曲线r(t) acost,asint,bt 在 t 0点的切向量为 0,a,b 17 设曲线 x et cost,y etsint,z et，当 t 0时的切线方程为 x 1 y z 1.18.Edu+Fdv0(Fdu+Gdv0)曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 F=M=0_ 19.u曲线( v曲线)的正交轨线的微分方程是2220.在欧拉公式 kn k1 cos2 k2sin2 中， 是 方向(d) 与 u曲线 的夹角.21.曲面的三个基本形式 , , 、高斯曲率 、平均

4、曲率 之间的关系是 2H K 0 . dr22已知 r( u, v) u v,u v,uv ，其中 u t2,v sint，则 2t cos ,t2 t cos ,2t vt cuos t dt23已知 r( , ) acos cos , acos sin , asin ，其中 t ， t 2 ，则dr( , )asin cos 2at cos sin , asin sin 2at cos cos , acos dt24设r r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru rv 0 ，则称参数曲面是正则的； 如果r :G r(G)是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面25如果u 曲线族和 v 曲线族处处

5、不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面 r(u,v) u,v,0 的第一基本形式为 du2 dv2 ，面积微元为 dudv27 悬链面 r( u, v) coshucosv,cosh u sin v, u 第一基本量是 E cosh2 u，F 0, G cosh2 u29正螺面 r(u,v) u cosv, u sin v,bv 的第一基本形式是 du2 (u2 b2)dv2 30双曲抛物面 r(u,v) a(u v), b(u v), 2uv 的第一基本形式是2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(a2 b2 4v2)du2 2(a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)

6、dv2 31正螺面 r(u,v) u cosv, u sin v,bv 的平均曲率为 0 2232方向 (d) du : dv是渐近方向的充要条件是 kn(d) 0或Ldu2 2Mdudv Ndv2 033. 方向(d) du:dv和() u:v 共轭的充要条件是II (dr ,r) 0或Lduu M (duv dvu) Ndvv 0dv2 dudv du2E F G 0LMN36. 根据罗德里格斯定理，如果方向 (d) (du:dv) 是主方向，则dn kndr ，其中 kn是沿方向 (d) 的法曲率 37 旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38 测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在

7、P 点的测地曲率的绝对值等于 (C)在 P 点的切平 面 上的正投影曲线 (C*) 的曲率39k,kg,kn之间的关系是 k kg2 kn2 40 如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41 正交网时测地线的方程为d Ev Gu= v cos u sinds 2E G 2G Edu cosds= E dv sinds GA. dx,d y,d x 2dy ； B. dx dy,dx dy,0 ；C. dx-dy,dx+dy,0 ； D. dx,dy,2dx dy .7 圆柱螺线 r cost,sint,t 的切线与 z 轴( C ).A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角 ； D

8、. 有固定夹角 . 438设平面曲线 C:r r(s)，s 为自然参数， , 是曲线的基本向量叙述错误的是( C )A. 为单位向量； B. ； C. k ； D. k .9 直线的曲率为( B )A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10关于平面曲线的曲率 C:r r (s)不正确的是( D )A. k(s) (s) ； B. k(s) (s) ， 为 (s) 的旋转角；C. k(s) ； D. k(s) |r(s)|.11 对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的(D )A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 .12 下列论

9、述不正确的是( D )A. , , 均为单位向量； B. ； C. ； D. . 13对于空间曲线 C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的B( )A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 .t 14 x a(t sint), y a(1 cost), z 4asin t 在点 t 的切线与 z 轴关系为( D )22A. 垂直； B. 平行； C. 成 的角； D. 成 的角 . 3422215 椭球面 x2 y2 z2 1 的参数表示为( C ) abcA. x, y,z cos cos ,cos sin ,sin ；B.x, y,z acos

10、 cos ,bcos sin ,sin ；C.x,y,z acos cos ,bcos sin ,csin ；D.x,y,z acos cos ,bsin cos ,csin2 .16曲面r(u,v) 2u v,u2 v2,u3 v3 在点M (3,5,7) 的切平面方程为( B )A. 21x 3y 5z 20 0 ； B. 18x 3y 4z 41 0；C. 7x 5y 6z 18 0； D. 18x 5y 3z 16 0.17球面r(u,v) Rcosu cosv, Rcosu sin v, Rsin u 的第一基本形式为( D )A. R2(du2 sin2 udv2) ； B. R2

11、(du2 cosh2 udv2 )；2 2 2 2 2 2 2 2C. R2(du2 sinh2udv2) ； D. R2(du2 cos2udv2).18 正圆柱面 r(u,v) Rcosv,Rsinv,u 的第一基本形式为( C )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A. du2 dv2； B. du2 dv2 ； C du2 R2dv2 ； D. du2 R2dv2 .19 在第一基本形式为 I (d u,d v) du2 sinh2 udv2的曲面上，方程为 u v(v1 v v2)的曲线段 的弧长为( B )A cosh v2 cosh v1 ； B sinh v2 sinh v1

12、 ；C cosh v1 cosh v2 ； D sinh v1 sinh v2 20设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）D M 0 D平面A E 0； B F 0 ； C G 0；21 高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面；22 曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）24 如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）三、判断题（正确打，错误打）1.向量函数r r （t）具有固定长度，则 r （t） r（t）. 2.向量函数 r r (t)具有固定方向，则 r (t) r(t). 3.向量函数 r (t)关于 t

13、的旋转速度等于其微商的模 r (t) . 4.曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线 是圆柱螺线 . 5.若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线 是圆柱螺线 . 6.圆柱面 r Rcos ,Rsin ,z, z 线是渐近线 . 7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例 . 8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例 . 9.等距变换一定是保角变换 . 10.保角变换一定是等距变换 . 11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定 . 12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14.在曲面的非脐点处，

14、有且仅有两个主方向 15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16.曲面上的直线一定是测地线 17.微分方程 A(u,v)du B(u,v)dv 0 表示曲面上曲线族 . 18. 二阶微分方程 A(u,v)du2 2B(u,v)dudv C(u,v)dv2 0 总表示曲面上两族曲线 . 19.坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0，这里 F 是第一基本量 . 20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面 . 21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 . 22.球面上的圆一定是测地线 . 23.球面上经线一定是测地线 . 24.测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、计算题1 求旋轮线 x

15、a(t sin t), y a(1 cost)的0 t 2 一段的弧长解 旋轮线 r (t) a(t sint),a(1 cost) 的切向量为 r (t) a a cost, asin t ，则在 0 t 2段的弧长为： s r (t) dt 2a 1 costdt 8a 0r (t ) 2cot st tsin , t2stint etc o tset ,，2(r r )r (r r )r ， r r r ，3圆柱螺线为 r(t) acost,asint,bt ，求基本向量 , , ； 求曲率 k 和挠率 .r (t) a sint , a cost, b ， r (t) acost, a

16、 sin t,0 ，4x ucosvcosvy usinv sinvz bv0，usinvucosvbsinv x bcosu y uz buv 0,bsinv bcosv u法线方程为 x ucosv y usinv z bvacos si n a, cos co，s , 05求球面 r ( , ) acos cos ,acos sin ,asin 上任一点处的切平面与法线方程解 r asin cos , asin sin ,acos ， ra2 cos cos cos , cos sin , sin球面上任意点的切平面方程为x acos cos ,y acos sin ,z asin a2

17、 cos cos cos , cos sin , sin 0, 即 cos cos x cos sin y sin z a 0 ，法线方程为(x acos cos ,y acos sin ,z asin ) a2cos ( cos cos , cos sin , sin ),x acos cos y acos sin z asin即cos cos cos sin sin6 求圆柱螺线 x acost,y asint,z t在点 (a,0,0) 处的密切平面 .解 r (t) a sint a, cotsr,(t) a cost ,a sitn ,所以曲线在原点的密切平面的方程为x a y 0

18、z 0 asint acost 1 =0， acost asint 0即(sint)x (cost)y az asint 0.7 求旋转抛物面 z a(x2 y2) 的第一基本形式解 参数表示为 r(x,y) x, y,a(x2 y2) ，rx 1,0,2 ax ，ry 0,1,2 ay ，E rx rx 1 4a2x2， F rx ry 4a2xy，G ry ry 1 4a2y2，I (dx,d y) (1 4a2x2)dx2 8a2xydxdy (1 4a2y2)dy2 8 求正螺面 r (u,v) u cosv,u sin v, bv 的第一基本形式解 ru cosv,sin v,0 ，

19、 rv usinv,ucosv,b ，2 2 2 2 2 2E ru ru 1，F ru rv 0，G rv rv u2 b2， I(du,dv) du2 (u2 b2)dv2 9计算正螺面 r(u,v) u cosv,u sin v, bv 的第一、第二基本量解 ru cosv,sin v,0 ， rv usinv,ucosv,b ，ruu 0,0,0 ，ruv sin v,cos v,0 ， rvv u cosv , usinv,0 ，cosvusinvb sin v, bcosv,uru rvL ruu n 0 ，10计算抛物面11.jk sinv 0ucosv bb2 u2F ru r

20、v 0 ，M ruv nbsinv, bcosv,u ，rv rv u2 b2b2 u2N rvvz x2 y2 的高斯曲率和平均曲率设抛物面的参数表示为 r (x,y) x, y, x2 y2 ，1,0,2 x ，ryry 0,1,2 y ， rxx 0,0,2 ， rxy2x2y2x, 2y,1 ，ryx 0,0,0 ，ryy 0，0，2 ，rrxyrrxy2x, 2y,1| 4x2 4y2 1rx rx 1 4x2 ， F rx ry4xy，2G ry ry 1 4y2 ，24x2 4y2 12LN M 2 K2EG F 2ny2224y2 144x2 4y2 14， 2 2 2 2 2

21、 2 ， (1 4x2 )(1 4y2) (4xy)2 (4x2 4y2 1)222H 1 GL 2FM EN 4x2 4y2 2 H 2 2 3 EG F 2(4x2 4y2 1)2计算正螺面 r (u,v)直接计算知E 1， F 0 ，u cosv, u sin v, av 的高斯曲率 .u2 a2，L 0，M 2a 2 ，N 0，ua2LN M 2 K2EG F 22a(u2 a2)2212. 求曲面 z xy2 的渐近线 .解 z xy2，则 p z y2，q z 2xy ，xy22z22zr 2 0 ， s x2 x y22zt y22x2y所以，L=0， M 1 y4 4x2y 2

22、2xN1 y4 4x2y24y渐近线微分方程为 4 2 21 y4 4x2 y22x2dxdy 1 y4 4x2y2 dy2 0，化简得 dy (2 ydx xdy) 0， dy 0或 2 ydx xdy0渐近线为 y=C1 ，x2y=C213. 求螺旋面 r u cosv,u sin v,bv 上的曲率线 .解 ru cos v,sin v,0, rv usin v, ucosv, bE ur 1, Fu r v r 0, G2v r 2 u2 b ,rv bsin v, bcos v,u bsin v, bcos v,u曲率线的微分方程为 :0u2 b2积分得两族曲率线方程 :v ln(u

23、 u2 b2 ) c1和 v ln( u2 b2 u) c2.14. 求马鞍面 r u,v,u2 v2 在原点处沿任意方向的法曲率解 ru 1,0,2u, rv 0,1, 2v ，E ru2 1 4u2, F ru rv 4uv, G 1 4v2 (1 4u2)du 2 8uvdudv (1 4v2)dv2ru rv 2u,2v,1ru rv 4u24v 2 1n ruu 2 24u2 4v2 1n ruv 0, N n rvv 2 24u 4v2 12 2 du21 4u2 4v222 du dv ) 1 4u2 4v 22 dv2 ， kn= .dv kn = = 2 2 2 2 .2 (

24、1 4u )du 8uvdudv (1 4v )dv1 4u2 4v15.求抛物面 z a(x2 y2)在(0,0)点的主曲率 . 解 曲面方程即 r x, y,a( x2 y2),rx 1,0, 2ax, ry 0,1, 2 ay, E(0,0) =1, F(0,0) =0, G(0,0) =1,rxx 0,0, 2a, rxy 0,0,0, ryy 0,0, 2a ， L(0,0) =2a, M(0,0) =0, N(0,0) =2a,2a k N 0k1 k2 2a .代入主曲率公式， N 0 ，所以两主曲率分别为0 2a k N2216.求曲面 r u,v,u2 v2在点(1,1)的主

25、方向 .解 ru = 1, 0,2u rv,= 0,1, 2v, E 1 4u2, F 4uv, G 1 4v2ruu= 0,0,2 , ruv= 0,0,0 , rvv= 0,0 , 6v ,24u2+9v4+1M 0,6v4u2+9v4+1LN M12v244u +9v +1v0时，是椭圆点； v0时，是双曲点； v=0时，是抛物点 .18.求曲面 r(u,v) v, u2, u v 上的抛物点的轨迹方程 解 由r(u,v) v3,u2,u v, 得ru= 0,2 u,1 , rv= 3v2 , 0,1 ,2ruu= 0,2,0 ,ruv= 0,0,0, rvv= 6v,0 ,0 , L

26、6v 2, M 0, N 12uv2 EG-F EG-F 2令 LN M2 72uv =0. 得 u=0 或 v=0EG-F2所以抛物点的轨迹方程为 r= v, 0, v 或 r= 0, u2, u .19.求圆柱螺线 r(t) acost, asint, bt自然参数表示 .22 解 由r(t) acost, asint, bt,得 r -asint,acost, b， r (t) a2+b2,弧长 s(t) 0 a2 +b2dt= a2 +b2t, t 2s 2 ,0 a2+b2s s s 曲线的自然参数表示为 r (s) acos 2s 2 , asin 2s 2 , b 2s 2 .a

27、2+b2 a2 +b2 a2+b220.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线 ., b= =-k , a b= k,b 2=k 2+ 2,解 设挠曲线为 a=a( s), 则主法线曲面为： r=a( s)+ v (s), 则 a=a=所以腰曲线是 r=a ( s)- ab2b ( s)=a( s)+ k 2k+ 2 (s)21 求位于正螺面 x u cosv, y usinv,z av上的圆柱螺线 x u0 cosv,y u0sinv,z av( u0 =常数)的测地曲率解 因为正螺面的第一基本形式为 du2 (u2 a2)dv2，螺旋线是正螺面的 v-曲线 u u0，由 得 d 0 由正交网的坐标曲

28、线的测地曲率得 kg Gu 2u0 2 2 ds g 2G E u02 a2五、证明题1.设曲线： r r(s), 证明： k - ; (r ,r ,r )=k 2 . 证明 由伏雷内公式，得 =k ， =- ,两式作点积，得 =- k =- k,证明 由伏雷内公式，得r= =k ， r=k +k =k +k(-k + )=-k 2 +k +kr =- 3kk + (-k 3+k-k 2) +(2k +k )(r ,r ,r )=(k (-k2 +k +k ) (-3kk +(-k3+k-k 2) +(2k +k ) )=(k3 +k 2 ) (-3kk +(-k3+k-k 2) +(2k +

29、k ) ) =-3k3k +2k3k +k 4 =k 3(k - k)3.曲线 r r (s)是一般螺线，证明 :r1 R ds也是一般螺线(R 是曲线 的曲率半径)证明 r1 R ds，两边关于 s 微商，得1 ds1 R R R R 1 R ，1 ds R1 ，由于是一般螺线，所以 也是一般螺线 .4.证明曲线 r(t) a sin (t)dt, a cos (t)dt, bt (a,b是常数)是一般螺线证明 r (t) asin (t), acos (t), b, r (t) a (t)cos (t), a (t )sin (t), 0, r (t) a (t)cos (t), sin (t), 0 a (t)2 sin (t )，cos (t), 0r r a (t) a2 b2, (r ,r , r ) a2b (t) 3，ka b5曲面 S上一条曲线 (C), P 是曲线(C)上的正常点， k ,kn ,kg分别是曲线 (C)在点 P的曲率、法曲率与测地曲率，证明 k2=kn2+k g2 证明 测地曲率 kg k k (n ) k( , ,n) k n ksin . ( 是主法向量 与法向量 n 的夹角 )法曲率 kn