微分几何练习试题库与参考答案解析已修改.docx
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微分几何练习试题库与参考答案解析已修改
微分几何》复习题与参考答案
、填空题
231．极限lim[（3t21）it3jk]13i8jk．
2t
2．设f（t）（sint）itj，g（t）（t21）ietj，求lim（f（t）g（t））0．
3．已知2r（t）dt=1,2,3，4r（t）dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则46
ar（t）dt+bar（t）dt=3,9,5.
4．已知r（t）a（a为常向量），则r（t）tac．
5．已知r（t）ta，（a为常向量），则r（t）1t2ac．
2
6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面.
7.曲率恒等于零的曲线是直线.
8.挠率恒等于零的曲线是平面曲线.
9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.
10.曲线rr（t）在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.
11.若在点（u0,v0）处rurv0，则（u0,v0）为曲面的_正常点.
4d
12．已知f（t）（2t）j（lnt）k，g（t）（sint）i（cost）j，t0，则（fg）dt26cos4．0dt
13．曲线r（t）2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et．
14．曲线r（t）acosht,asinht,at在t0点的切向量为0,a,a．
15．曲线r（t）acost,asint,bt在t0点的切向量为0,a,b．
17．设曲线xetcost,yetsint,zet，当t0时的切线方程为x1yz1.
18.
Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）
曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是F=M=0_
19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是
22
20.在欧拉公式knk1cos2k2sin2中，是方向（d）与u－曲线的夹角.
21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.dr
22．已知r（u,v）uv,uv,uv，其中ut2,vsint，则2tcos,t2tcos,2tvtcuost．dt
23．已知r（,）acoscos,acossin,asin，其中t，t2，则
dr（,）
asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acos．
dt
24．设rr（u,v）为曲面的参数表示，如果rurv0，则称参数曲面是正则的；如果r:
Gr（G）
是一一对应的，则称曲面是简单曲面．
25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．
26．平面r（u,v）u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv．
27．悬链面r（u,v）coshucosv,coshusinv,u第一基本量是Ecosh2u，F0,Gcosh2u．
29．正螺面r（u,v）ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2（u2b2）dv2．
30．双曲抛物面r（u,v）a（uv）,b（uv）,2uv的第一基本形式是
2222222222
（a2b24v2）du22（a2b24uv）dudv（a2b24u2）dv2．
31．正螺面r（u,v）ucosv,usinv,bv的平均曲率为0．
22
32．方向（d）du:
dv是渐近方向的充要条件是kn（d）0或Ldu22MdudvNdv20．
33.方向（d）du:
dv和（δ）δu:
δv共轭的充要条件是
II（dr,δr）0或LduδuM（duδvdvδu）Ndvδv0．
dv2dudvdu2
EFG0．
LMN
36.根据罗德里格斯定理，如果方向（d）（du:
dv）是主方向，则
dnkndr，其中kn是沿方向（d）的法曲率．
37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．
38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C*）的曲率．
39．k,kg,kn之间的关系是kkg2kn2．
40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．
41．正交网时测地线的方程为
dEvGu
=vcosusin
ds2EG2GE
ducos
ds=E．
dvsin
dsG
A.dx,dy,dx2dy；B.dxdy,dxdy,0；
C.dx-dy,dx+dy,0；D.dx,dy,2dxdy.
7．圆柱螺线rcost,sint,t的切线与z轴（C）.
A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.43
8．设平面曲线C:
rr（s），s为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．
A.为单位向量；B.；C.k；D.k.
9．直线的曲率为（B）．
A.-1；B.0；C.1；D.2.
10．关于平面曲线的曲率C:
rr（s）不正确的是（D）．
A.k（s）（s）；B.k（s）（s），为（s）的旋转角；
C.k（s）；D.k（s）|r（s）|.
11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；
C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.
12．下列论述不正确的是（D）．
A.,,均为单位向量；B.；C.；D..13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的B（）．
A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；
C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.
t14．xa（tsint）,ya（1cost）,z4asint在点t的切线与z轴关系为（D）．
22
A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.34
222
15．椭球面x2y2z21的参数表示为（C）．abc
A.x,y,zcoscos,cossin,sin；
B.x,y,zacoscos,bcossin,sin；
C.x,y,zacoscos,bcossin,csin；
D.x,y,zacoscos,bsincos,csin2.
16．曲面r（u,v）2uv,u2v2,u3v3在点M（3,5,7）的切平面方程为（B）．
A.21x3y5z200；B.18x3y4z410；
C.7x5y6z180；D.18x5y3z160.
17．球面r（u,v）Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu的第一基本形式为（D）．
A.R2（du2sin2udv2）；B.R2（du2cosh2udv2）；
22222222
C.R2（du2sinh2udv2）；D.R2（du2cos2udv2）.
18．正圆柱面r（u,v）Rcosv,Rsinv,u的第一基本形式为（C）．
2222222222
A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.
19．在第一基本形式为I（du,dv）du2sinh2udv2的曲面上，方程为uv（v1vv2）的曲线段的弧长为（B）．
A．coshv2coshv1；B．sinhv2sinhv1；
C．coshv1coshv2；D．sinhv1sinhv2．
20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．
D．M0．
D．平面．
A．E0；B．F0；C．G0；
21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．
A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；
22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．
24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）．
三、判断题（正确打√，错误打×）
1.向量函数rr（t）具有固定长度，则r（t）r（t）.√
2.向量函数rr（t）具有固定方向，则r（t）r（t）.√
3.向量函数r（t）关于t的旋转速度等于其微商的模r（t）.×
4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.×
5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.√
6.圆柱面r{Rcos,Rsin,z},z线是渐近线.√
7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.×
8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√
9.等距变换一定是保角变换.√
10.保角变换一定是等距变换.×
11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.×
12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．×
13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√
14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√
15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量．×
16.曲面上的直线一定是测地线．√
17.微分方程A（u,v）duB（u,v）dv0表示曲面上曲线族.×
18.二阶微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudvC（u,v）dv20总表示曲面上两族曲线.×
19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.√
20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√
21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×
22.球面上的圆一定是测地线.×
23.球面上经线一定是测地线.√
24.测地曲率是曲面的内蕴量.√
四、计算题
1．求旋轮线xa（tsint）,ya（1cost）的0t2一段的弧长．
解旋轮线r（t）a（tsint）,a（1cost）的切向量为r（t）aacost,asint，则在0t2
段的弧长为：
sr（t）dt2a1costdt8a．
0
r（t）2cotsttsin,t2stintetcotset,，2
（rr）r（rr）r，rrr，
3．
圆柱螺线为r（t）acost,asint,bt，
①求基本向量,,；②求曲率k和挠率.
①r（t）asint,acost,b，r（t）acost,asint,0，
4．
xucosv
cosv
yusinvsinv
zbv
0，
usinv
ucosv
bsinvxbcosuyuzbuv0,
bsinvbcosvu
法线方程为xucosvyusinvzbv
acossina,cosco，s,0
5．求球面r（,）acoscos,acossin,asin上任一点处的切平面与法线方程．
解rasincos,asinsin,acos，r
a2coscoscos,cossin,sin
球面上任意点的切平面方程为
xacoscos,yacossin,zasina2coscoscos,cossin,sin0,即coscosxcossinysinza0，
法线方程为
（xacoscos,yacossin,zasin）a2cos（coscos,cossin,sin）,
xacoscosyacossinzasin
即．
coscoscossinsin
6．求圆柱螺线xacost,yasint,zt在点（a,0,0）处的密切平面.
解r（t）{asinta,cotsr,（t）{acost,asitn,
所以曲线在原点的密切平面的方程为
xay0z0asintacost1=0，acostasint0
即（sint）x（cost）yazasint0.
7．求旋转抛物面za（x2y2）的第一基本形式．
解参数表示为r（x,y）x,y,a（x2y2），rx1,0,2ax，ry0,1,2ay，
Erxrx14a2x2，Frxry4a2xy，Gryry14a2y2，
I（dx,dy）（14a2x2）dx28a2xydxdy（14a2y2）dy2．
8．求正螺面r（u,v）ucosv,usinv,bv的第一基本形式．
解rucosv,sinv,0，rvusinv,ucosv,b，
222222
Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，I（du,dv）du2（u2b2）dv2．
9．计算正螺面r（u,v）ucosv,usinv,bv的第一、第二基本量．
解rucosv,sinv,0，rvusinv,ucosv,b，
ruu0,0,0，ruvsinv,cosv,0，rvvucosv,usinv,0，
cosv
usinv
bsinv,bcosv,u
rurv
Lruun0，
10．计算抛物面
11.
jksinv0
ucosvb
b2u2
Frurv0，
Mruvn
bsinv,bcosv,u，
rvrvu2b2
b2u2
Nrvv
zx2y2的高斯曲率和平均曲率．
设抛物面的参数表示为r（x,y）x,y,x2y2，
1,0,2x，
ry
ry0,1,2y，rxx0,0,2，rxy
2x
2y
2x,2y,1，
ryx0,0,0，
ryy0，0，2，
rr
xy
rr
xy
2x,2y,1
|4x24y21
rxrx14x2，Frxry
4xy，
2
Gryry14y2，
2
4x24y21
2
LNM2K2
EGF2
n
y
2
2
2
4y21
4
4x24y21
4，222222，（14x2）（14y2）（4xy）2（4x24y21）2
22
H1GL2FMEN4x24y22．
H223．
EGF2
（4x24y21）2
计算正螺面r（u,v）
直接计算知
E1，F0，
ucosv,usinv,av的高斯曲率.
u2a2，L0，M2a2，N0，
ua
2
LNM2K2
EGF2
2
a
（u2a2）
22
12.求曲面zxy2的渐近线.
解zxy2，则pzy2，qz2xy，
xy
2
2z
2
2z
r20，sx2xy
2
2z
ty2
2x
2y
所以，L=0，M1y44x2y2
2x
N
1y44x2y2
4y
渐近线微分方程为422
1y44x2y2
2x
2
dxdy1y44x2y2dy20，
化简得dy（2ydxxdy）0，dy0或2ydxxdy0
渐近线为y=C1，x2y=C2
13.求螺旋面rucosv,usinv,bv上的曲率线.
解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b}
Eur1,F
urvr0,G2vr2u2b,
rvbsinv,bcosv,ubsinv,bcosv,u
曲率线的微分方程为:
0
u2b2
积分得两族曲率线方程:
vln（uu2b2）c1和vln（u2b2u）c2.
14.求马鞍面r{u,v,u2v2}在原点处沿任意方向的法曲率
解ru{1,0,2u},rv{0,1,2v}，
Eru214u2,Frurv4uv,G14v2
Ⅰ（14u2）du28uvdudv（14v2）dv2
rurv2u,2v,1
rurv4u2
4v21
nruu22
4u24v21
nruv0,Nnrvv22
4u4v21
22du2
14u24v2
22dudv）14u24v2
2dv2，kn=Ⅱ=.
dvkn==2222.
2Ⅰ（14u）du8uvdudv（14v）dv
14u24v
15.求抛物面za（x2y2）在（0,0）点的主曲率.解曲面方程即r{x,y,a（x2y2）},
rx{1,0,2ax},ry{0,1,2ay},E（0,0）=1,F（0,0）=0,G（0,0）=1,
rxx{0,0,2a},rxy{0,0,0},ryy{0,0,2a}，L（0,0）=2a,M（0,0）=0,N（0,0）=2a,
2akN0
k1k22a.
代入主曲率公式，N0，所以两主曲率分别为
02akN
22
16.求曲面r{u,v,u2v2}在点（1,1）的主方向.
解ru=1,0,2urv,=0,1,2v,E14u2,F4uv,G14v2
ruu=0,0,2,ruv=0,0,0,rvv=0,0,6v,
2
4u2+9v4+1
M0,
6v
4u2+9v4+1
LNM
12v
24
4u+9v+1
①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点.
18.求曲面r（u,v）{v,u2,uv}上的抛物点的轨迹方程．解由r（u,v）{v3,u2,uv},得ru=0,2u,1,rv=3v2,0,1,
2
ruu=0,2,0,ruv=0,0,0,rvv=6v,0,0,L6v2,M0,N12uv2EG-FEG-F2
令LNM272uv=0.得u=0或v=0
EG-F2
所以抛物点的轨迹方程为r=v,0,v或r=0,u2,u.
19.求圆柱螺线r（t）{acost,asint,bt}自然参数表示.
22解由r（t）{acost,asint,bt},得r{-asint,acost,b}，r（t）a2+b2,
弧长s（t）0a2+b2dt=a2+b2t,t2s2,
0a2+b2
sss曲线的自然参数表示为r（s）{acos2s2,asin2s2,b2s2}.
a2+b2a2+b2a2+b2
20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.
b==-k,ab=k,b2=k2+2,
解设挠曲线为a=a（s）,则主法线曲面为：
r=a（s）+v（s）,则a=a=
所以腰曲线是r=a（s）-ab2b（s）=a（s）+k2k+2（s）
21．求位于正螺面xucosv,yusinv,zav上的圆柱螺线xu0cosv,yu0sinv,zav（u0=
常数）的测地曲率．
解因为正螺面的第一基本形式为Ιdu2（u2a2）dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，由得d0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得kgGu2u02．
2dsg2GEu02a2
五、证明题
1.设曲线：
rr（s）,证明：
⑴k-;⑵（r,r,r）=k2.证明⑴由伏雷内公式，得=k，=-,
两式作点积，得=-k=-k,
证明由伏雷内公式，得
r==k，r=k+k=k+k（-k+）=-k2+k+k
r=-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k）
（r,r,r）=（k（-k2+k+k））（-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k））
=（k3+k2）（-3kk+（-k3+k-k2）+（2k+k））=-3k3k+2k3k+k4=k3（k-k）
3.曲线rr（s）是一般螺线，证明:
r1Rds也是一般螺线（R是曲线的曲率半径）．
证明r1Rds，
两边关于s微商，得
1ds1RRRR1R，
1dsR
1，由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线.
4.证明曲线r（t）{asin（t）dt,acos（t）dt,bt}（a,b是常数）是一般螺线．
证明r（t）{asin（t）,acos（t）,b},r（t）{a（t）cos（t）,a（t）sin（t）,0},r（t）a（t）{cos（t）,sin（t）,0}a（t）2{sin（t），cos（t）,0}
rra（t）a2b2,（r,r,r）a2b（t）3，
kab
5．曲面S上一条曲线（C）,P是曲线（C）上的正常点，k,kn,kg分别是曲线（C）在点P的曲率、
法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2．
证明测地曲率kgkk（n）k（,,n）knksin.（是主法向量与法向量n的夹角）
法曲率kn
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