工程流体力学禹华谦习题答案第6章.docx

1、工程流体力学禹华谦习题答案第6章第六章理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1; Vy=-4y.(1)该流动满足连续性方程否？(2)势函数$、流函数p存在否 ？( 3)求$、pVx解：(1)由于Vv4 4 0 ,故该流动满足连续性方程xv1(2)由 3 z=(-VvVx 1 / /)=(44) = 0, 故流动有势，势函数$存在，由于该流2xV 2动满足连续性方程，流函数p存在，.(3 )因 Vx -4x+1xvVy= -=-4yVxd $ -dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyxvdx+ dy=x yVxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-

2、4y)dy2 2=2x -2y +xd p = dx+ dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyx ydx+ dy=x y-Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布 ：2 2Vx=x -y +x; Vy=_(2xy+y).(1)流动满足连续性方程否 ？ (2) 势函数$、流函数P存在否 ？ (3)求$、p解：(1)由于-Vx =2x + 1( 2x+ 1)= 0,故该流动满足连续性方程，流动存在x x1 Vv Vx 1(2 2 6( x -；)=：( ( 2y) = 0，故流动有势，势函数皿在，由于该流动满足连续性方程，流函数P

3、也存在(3) 因 Vx= = =x 2-y 2+x, Vy= =- =-(2xy+y).x y y x2 2d Q =dx+ dy=Vxdx+Vydy=(x -y +x )dx+(_(2xy+y).)dydx+ dy=x yVxdx+Vydy =2 2(x -y +x )dx+(- (2xy+y)dyx y3=-xy 2+(x 2-y 2)/23d p = dx+ dy=-Vydx+Vxdyx yp = d p = dx+ 一dy= -Vydx+Vxdy =2 2(2xy+y)dx+ (x -y +x)dyxy=x y+xy-y /32及B(2,2)点处的速度值6-3平面不可压缩流体速度势函数

4、Q =x -y-x,求流场上A(-1,-1),及流函数值解:因 Vx= =2x-1 ,Vy一 2y，由于-+ 一 0，该流动满x yyxx x足连续性方程，流函数”存在d p = dx+ dy=-Vydx+Vxdyxyp =d p = dx+ -dy= -Vydx+Vxdy= 2ydx+(2x-1)dy=2xy-yxy在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2;p =3在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4;p =66-4已知平面流动速度势函数 Q =- Q lnr,写出速度分量 Vr,V e ,q为常数。2解：Vr= =- L, V 0 =0r 2 r r6-5已知平面流动速度势函数 Q

5、 =-m 0 +C ,写出速度分量 Vr、V , m为常数解：Vr= =0, V 0 =-mr r r6-6已知平面流动流函数P =x+y,计算其速度、加速度、线变形率& xx, yy,求出速度势函数解： 因Vx=x=-2yy(j).解：因 Vx= 一 = 一 = 1x yd (=dx+ dy=Vxdx+Vydyx y(= d (= dx+ dy= Vxdx+Vydy= dx+(_1)dy=x_yx yVx Vyxx , yyx yVy= = =-2xy xd ( = dx+ dy=Vxdx+Vydyx y(= d (xdx+ 一dy= yVxdx+Vydy= -2ydx+(-2x)dy=-2

6、xydVxVxVx-VxVyVx4xa x=dttxya yM -VyVxVyVy-Vy4y;dttxy6-8 一平面定常流动的流函数为(x,y) 、3x y试求速度分布，写出通过 A (1, 0),和B (2, 3 )两点的流线方程.解：v 1 , Vy 、3y x平面上任一点处的速度矢量大小都为、.12 (. 3)2 2，与x和正向夹角都是arctan( .3/1) 60。A点处流函数值为 ,3? 1 0 .、3，通过A点的流线方程为 3x y , 3。同样可以求解出通过 B点的流线方程也是 、3x y .3。6-9已知流函数” =V a (ycos a -xsin a ),计算其速度，加

7、速度，角变形率 (xy = yx=X( -匕)，并求速度势函数0 .2 x ydx+ dy=yVy= = =V a sis ay xd 0 =dx+ dy=Vxdx+Vydyx yxy亠yx2vy)=0Vxdx+Vydy= V a cos a dx+ sis a dy6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 解：不可压缩三维流动的连续性方程为vx vyx yvz 0将关系vx, 一yzx()()()0x xy yz z22 2或一2 -2 20xy z可见不可压缩有势流动的势函数是 调和函数。6-11什么样的平面流动有流函数 ？答：不可压缩平面流动在满足连续性方程vx vy0x y或

8、vx(-vy)xy的情况下 平面流动 有流函数.6-12!什么样的空间流动有势函数 ？答：在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量xy z0,或关系vz vyJvx vzy zz x数6-13i已知流函数” =-q,计算流场速度.2解:Vr= :=_ qr2 rV 9 = =0r26-14-vz代入上式得到zx i+ y j+ z k都是零矢量，即Vx成立,这样的空间流动有势函y=ax(x 2-3y 2),a0,试确定流速及流函数，并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量2 2解： 因 Vx= =a(3x -3y )x yVy= =-6axyy x2 2d p =

9、dx+ dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x -3y )dyx y dx+ dy=x y-Vydx+Vxdy2 26axydx+ a (3x -3y )dy =33a x y-ay在 A(0,0)点 W a=0; B (1,1 )点 B=2a, q= W a- W B=-2a.6-15平面不可压缩流体流函数W =ln(x 2 +y2),试确定该流动的势函数$解：因Vx= =2y2 2x y x yVy= = 2x2 2y x x yd $ =dx+xdy=Vxdx+Vydy=y2ydx-2x-2 2x ydyVxdx+Vydy=22y 2 dx- 22x 2 dy=-2 arct

10、an&) x y x y x6-16两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解1 , 2，流函数分别为解：设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为1, 2。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有 两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数 可由下式求出：1 2同样，合成流动的流函数 等于1 26-17在平面直角系下，平面有势流动的势函数 和流函数 与速度分量Vx,Vy有什么关系？解：在平面直角系下，平面有势流动的势函数 和流函数 与速度分量vx,vy有如下关系一 一 Vx, 一 一 Vyx y y x6-18什么是平面定常有

11、势流动的等势线 ?它们与平面流线有什么关系 ？解：在平面定常有势流动中，势函数 只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。6-19试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=0)的速度势函数$，流函数W .解：因 Vx= 一 = =0x yVy= d $ =dx+ dy=Vxdx+Vydy=Odx+ V g dyx yd = dx+ dy=-Vydx+Vxdy=- V g dxx y6-20平面不可压缩流体速度分布为： Vx=x-4y ; Vy=-y-4x 试证：(1)该流动满足连续性方程， (2)该流动是有势

12、的，求$ , (3)求，解：(1)由于-VxVy1-1=0 ,故该流动满足连续性方程 ，流函数”存在xy(2)由于3z= 1( VyVx)=0,故流动有势，势函数$存在.2xy3) 因 Vx= =x-4yx yVy= =-y-4xy xd $ = dx+xdy=Vxdx+Vydy= y:(x-4y) dx+(-y-4x)dy$ =d $ =dx+ dy=x yVxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy2 x2y4xy2d 书= dx+ dy=_Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x_4y)dyx ydx+ dy= -Vydx+Vxdy= (y+4x)dx+(x-4y)dy

13、x y2 2=arctg ，试确定该流动的势函数$x=xy+2(x -y )6-21已知平面流动流函数解：因Vx=Vy= 2 2y x x yx yd _ dx+ dy_Vxdx+Vydy_ p 2 dx+ 2 dyx y x y x y对(n ) p _2xy+yq y q y2 2c, 、2 2x y 2 (x a) y6-24如图所示，平面上有一对等强度为 （ 0）的点涡，其方向相反，分别位于（0, h）,（0，-h ）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于 x轴的来流v，试求合成速度在原点的值。，vy -2 x2 (y h)2 y y2 x2x x+ (y h)2 2 x2 (y h)

14、2将原点坐标（0,0）解：平面上无穷远平行于x轴的来流v ,上,下两点涡的势函数分别为v x，arctan(y h)/x),arctan（y h）/x）,因而平面流动的势函数为代入后可得Vx v , vy 0.h6-25如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为 q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。解：均匀流和在原点强度为 q的点的势函数分别为 v x及 #ln . x2 y2 ,因而平面流动的势函数为 v x+d|n x2 y2, vx v 2 x 2 ,2 x 2 x yvy 2 y 2 ,令vx 0,vy 0,得到 x , y 0.y 2 x y 2 v6-26如图，将速度为v

15、的平行于x轴的均匀流和在原点强度为 q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置，及经过驻点的流线方程y-解：先计算流场中驻点位置均匀流和在原点强度为 q的点的流函数分别为 v y , arctan(Y),因而平面流动的流函2 x数为 v y + arctan(Y),在驻点 0 ,因而经过驻点的流线方程为2 xv y + 2arctan(-)=02 x6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于(1, 0)和(-1，0)，并与速度为 25的沿x轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。解:均匀流，点源与点汇的势函数分别为 -25x,卫1 n(x 1)2 y2)0.5,210-ln(x 1)2

16、 y2)0.5,因而平面流动的势函数为210 2 2 10 2 225x+ In、(x 1) y - In . (x 1) y6-28平面均匀流速度大小为v ，速度方向与x轴正向夹角为 ，求流动的势函数 和流函数解：vx v cos ,vy v sin ,d $ =dx+ dy=Vxdx+Vydyx yx+$ = d $ = dx+ dy= Vxdx+Vydy= v cos dx+ v sin dy=v cosx yv sin yd = dx+ dy=-Vydx+Vxdyx y = d dx+ dy= -Vydx+Vxdy= - v sin dx+v cos dy =- v sin x+x yv cos y