工程流体力学禹华谦习题答案第6章.docx
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工程流体力学禹华谦习题答案第6章
第六章理想流体动力学
6-1平面不可压缩流体速度分布为
Vx=4x+1;Vy=
=-4y.
（1）该流动满足连续性方程否？
（2）
势函数$、流函数p存在否？
（3）求$、p
Vx
解：
（1）由于
Vv
440,
故该流动满足连续性方程
x
v
1
（2）由3z=（-
Vv
Vx1//
）=—（4
4）=0,故流动有势，势函数$存在，由于该流
2
x
V2
动满足连续性方程，
流函数p存在，.
（3）因Vx
-4x+1
x
v
Vy=-
=-4y
V
x
d$-
dx+——
dy=Vxdx+Vydy=（4x+1）dx+（-4y）dy
x
v
—dx+——dy=
xy
Vxdx+Vydy=（4x+1）dx+（-4y）dy
22
=2x-2y+x
dp=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+（4x+1）dy
xy
—dx+dy=
xy
-Vydx+Vxdy=4ydx+（4x+1）dy
=4xy+y
6-2平面不可压缩流体速度分布：
22
Vx=x-y+x;Vy=_（2xy+y）.
（1）流动满足连续性方程否？
（2）势函数$、流函数P存在否？
（3）求$、p
解：
（1）由于-Vx=2x+1—（2x+1）=0,故该流动满足连续性方程，流动存在
xx
1VvVx1
（226（x-；）=：
（^（2y））=0，故流动有势，势函数皿在，由
于该流动满足连续性方程，流函数P也存在
（3）因Vx=——==x2-y2+x,Vy=——=-=-（2xy+y）.
xyyx
22
dQ=——dx+——dy=Vxdx+Vydy=（x-y+x）dx+（_（2xy+y）.）dy
—dx+——dy=
xy
Vxdx+Vydy=
22
（x-y+x）dx+（-（2xy+y））dy
xy
3
=—-xy2+（x2-y2）/2
3
dp=dx+dy=-Vydx+Vxdy
xy
p=dp=dx+一
dy=-
Vydx+Vxdy=
22
（2xy+y）dx+（x-y+x）dy
x
y
=xy+xy-y/3
2
及B（2,2）点处的速度值
6-3平面不可压缩流体速度势函数
Q=x-y
-x,求流场上
A（-1,-1）,
及流函数值
解:
因Vx=——==2x-1,
Vy
一
——2y
，由于-
+一0，该流动满
xy
y
x
xx
足连续性方程，流函数”存在
dp=dx+dy=-Vydx+Vxdy
x
y
p=
dp=dx+-
——dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+（2x-1）dy=2xy-y
x
y
在点（-1,-1）
处Vx=-3;Vy=2;
p=3
在点（2,2）
处Vx=3;Vy=-4;
p=6
6-4已知平面流动速度势函数Q=-Qlnr,写出速度分量Vr,Ve,q为常数。
2
解：
Vr=—=-L,V0=——==0
r2rr
6-5已知平面流动速度势函数Q=-m0+C,写出速度分量Vr、V,m为常数
解：
Vr=——=0,V0=——==-m
rrr
6-6已知平面流动流函数P=x+y,计算其速度、加速度、线变形率&xx,£yy,求出速度势函数
解：
因Vx=——
x
—=-2y
y
（j）.
解：
因Vx=一=一=1
xy
d（=——dx+——dy=Vxdx+Vydy
xy
（=d（=——dx+——dy=Vxdx+Vydy=dx+（_1）dy=x_y
xy
VxVy
xx,yy
xy
Vy=——==-2x
yx
d（=—dx+—dy=Vxdx+Vydy
xy
（=d（
x
dx+一
—dy=y
Vxdx+Vydy=-2ydx+（-2x）dy=-2xy
dVx
Vx
Vx-
Vx
Vy
Vx
4x
ax=
dt
t
x
y
ayM-
Vy
Vx
Vy
Vy-
Vy
4y;
dt
t
x
y
6-8一平面定常流动的流函数为
（x,y）、、3xy
试求速度分布，写出通过A（1,0）,和B（2,3）两点的流线方程.
解：
v1,Vy——、3
yx
平面上任一点处的速度矢量大小都为、.12（.3）22，与x和正向夹角都是
arctan（..3/1）60°。
A点处流函数值为,3?
10..、3，通过A点的流线方程为3xy,3。
同
样可以求解出通过B点的流线方程也是、、3xy.3。
6-9已知流函数”=Va（ycosa-xsina）,计算其速度，加速度，角变形率（xy=yx=X（-匕）），并求速度势函数0.
2xy
dx+——dy=
y
Vy=——==Vasisa
yx
d0=——dx+——dy=Vxdx+Vydy
xy
xy
亠
yx
2
vy
）=0
Vxdx+Vydy=Vacosadx+sisady
6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
解：
不可压缩三维流动的连续性方程为
vxvy
xy
vz0将关系
vx,一
y
z
x
（）
（）
（）0
xx
yy
zz
2
22
或一2-
22
0
x
yz
可见不可压缩有势流动的势函数是调和函数。
6-11
什么样的平面流动有流函数？
答：
不可压缩平面流动在满足连续性方程
vxvy
0
xy
或vx
（-vy）
x
y
的情况下平面流动有流函数.
6-12
!
什么样的空间流动有势函数？
答：
在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量
x
yz
0,或关系
vzvy
J
vxvz
yz
zx
数•
6-13
i已知流函数”=-q
计算流场速度.
2
解:
Vr=:
=_q
r
2r
V9=
=0
r
2
6-14
-vz代入上式得到
z
xi+yj+zk都是零矢量，即
Vx成立,这样的空间流动有势函
y
=ax（x2-3y2）,a<0,试确定流速及流函数，并求通过连
接A（0,0）及B（1,1）两点的连线的直线段的流体流量
22
解：
因Vx=————=a（3x-3y）
xy
Vy=
—==-6axy
yx
22
dp=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a（3x-3y）dy
xy
dx+dy=
xy
-Vydx+Vxdy
22
6axydx+a（3x-3y）dy=3
3
axy-ay
在A（0,0）点Wa=0;B（1,1）点®B=2a,q=Wa-WB=-2a.
6-15平面不可压缩流体流函数W=ln（x2+y2）,试确定该流动的势函数$
解：
因Vx=
==2y
22
xyxy
Vy=
==2x
~22
yxxy
d$=——dx+
x
—dy=Vxdx+Vydy=
y
2y
dx-
2x
-22
xy
dy
Vxdx+Vydy=
22y2dx-22x2dy=-2arctan&）xyxyx
6-16两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解
1,2，流函数分别为
解：
设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为
1,2。
现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。
合成流动仍然是一有势流动，其势函数可由下式求出：
12
同样，合成流动的流函数等于
12
6-17在平面直角系下，平面有势流动的势函数和流函数与速度分量Vx,Vy有什么关
系？
解：
在平面直角系下，平面有势流动的势函数和流函数与速度分量vx,vy有如下关系
一一Vx,一一Vy
xyyx
6-18什么是平面定常有势流动的等势线?
它们与平面流线有什么关系？
解：
在平面定常有势流动中，势函数只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程
代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。
平面流动中，平面上的等势线与流线正交。
6-19试写出沿y方向流动的均匀流（V=Vy=C=0）的速度势函数$，流函数W.
解：
因Vx=一==0
xy
Vy=d$=——dx+——dy=Vxdx+Vydy=Odx+Vgdy
xy
d®=dx+dy=-Vydx+Vxdy=-Vgdx
xy
6-20平面不可压缩流体速度分布为：
Vx=x-4y;Vy=-y-4x试证：
（1）该流动满足连续性方程，
（2）该流动是有势的，求$,（3）求"，
解：
（1）由于-
Vx
Vy
1-1=0,
故该流动满足连续性方程，流函数”存在
x
y
（2）由于3
z=1（Vy
Vx
）=0,故流动有势，势函数$存在.
2
x
y
3）因Vx=——=x-4y
xy
Vy=——==-y-4x
yx
d$=dx+
x
——dy=Vxdx+Vydy=y
:
（x-4y）dx+（-y-4x）dy
$=
d$=
dx+dy=
xy
Vxdx+Vydy=（x-4y）dx+（-y-4x）dy
2x
2
y
4xy
2
d书=dx+dy=_Vydx+Vxdy=（y+4x）dx+（x_4y）dy
xy
—dx+dy=-Vydx+Vxdy=（y+4x）dx+（x-4y）dy
xy
22
=arctg—，试确定该流动的势函数$
x
=xy+2（x-y）
6-21已知平面流动流函数"
解：
因Vx=
Vy=
~^22
yxxy
xy
d©_——dx+——dy_Vxdx+Vydy_p2dx+2dy
xyxyxy
对（n）p_2xy+y
qyqy
22c,、22
xy2（xa）y
6-24如图所示，平面上有一对等强度为（0）的点涡，其方向相反，分别位于（0,h）,
（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流v，试求合成速度在原点
的值。
^^，vy-
2x2（yh）2yy
2x2
xx
+
（yh）22x2（yh）2
将原点坐标（0,0）
解：
平面上无穷远平行于x轴的来流v,上,下两点涡的势函数分别为vx，
—arctan（（yh）/x）,
—arctan（（yh）/x）,因而平面流动的势函数为
代入后可得Vxv,vy0.
h
6-25如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流
场中驻点位置。
解：
均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为vx及#ln.x2y2,因而平面流动
的势函数为vx+—d|nx2y2,vx——v—2x2,
2x2xy
vy—2y2,令vx0,vy0,得到x—,y0.
y2xy2v
6-26如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流
场中驻点位置，及经过驻点的流线方程•
y-
解：
先计算流场中驻点位置
均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为vy,—arctan（Y）,因而平面流动的流函
2x
数为vy+arctan（Y）,在驻点0,因而经过驻点的流线方程为
2x
vy+2arctan（-^）=0
2x
6-27一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1,0）和（-1，0），并与速度为25的沿x轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
解:
均匀流，点源与点汇的势函数分别为-25x,卫1n（（x1）2y2）0.5,
2
10
-°ln（（x1）2y2）0.5,因而平面流动的势函数为
2
10221022
25x+In、（x1）y-In.（x1）y
6-28
平面均匀流速度大小为
v，速度方向与x轴正向夹角为，求流动的势函数和流
函数
解：
vxvcos,vyvsin,
d$=——dx+——dy=Vxdx+Vydy
xy
x+
$=d$=——dx+——dy=Vxdx+Vydy=vcosdx+vsindy=vcos
xy
vsiny
d®=dx+dy=-Vydx+Vxdy
xy
®=d®
—dx+dy=-Vydx+Vxdy=-vsindx+vcosdy=-vsinx+
xy
vcosy
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