动点路径长专题.doc

1、 动点路径长专题一选择题（共2小题）1如图，抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）ABCD2如图，半径为4的O中，CD为直径，弦ABCD且过半径OD的中点，点E为O上一动点，CFAE于点F当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）ABCD二填空题（共9小题）3（2013鄂尔多斯）如图，直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到

2、点A时，则点M运动路径的长为_4如图，半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB的上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为_5（2011江西模拟）已知扇形的圆心角为60，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到OAB位置，点O到O的路径是OO1O1O2O2O；点O到O的路径是；点O在O1O2段上运动路线是线段O1O2；点O到O的所经过的路径长为以上命题正确的是_6（2013宁德）如图，在RtABC纸片中，C=90，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身

3、），则折叠过程对应点D的路径长是_7如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边ACP和PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_8（2013湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点，APB=30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_ 9（2013桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHK

4、B，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是_10（2013竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_11如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A处并且AC=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_米三解答题（共1小题）12（2012义乌市模拟）如图，边长为4的等边AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在

5、第一象限一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60得PC （1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为_；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长 动点路径长专题参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1如图，抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B若使

6、点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）ABCD考点：二次函数综合题719606 专题：压轴题分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，则直线AB与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得AB即是所求的长度解答：解：如图抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点，x2x=x2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x2=1，当x=时，y=x2=，点A的坐标为（，），点B的坐标为（1，1），抛物线对称轴方程为：x=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B，连接A

7、B，则直线AB与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，BF=BF，AE=AE，点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB，延长BB，AA相交于C，AC=+（1）=1，BC=1+=，AB=点P运动的总路径的长为故选A点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用2如图，半径为4的O中，CD为直径，弦ABCD且过半径OD的中点，点E为O上一动点，CFAE于点F当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）ABCD考点：圆的综合题719606 专题：压轴题分析：连接AC，AO，由ABC

8、D，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CGAE，此时F与G重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求

9、出的长，即可求出点F所经过的路径长解答：解：连接AC，AO，ABCD，G为AB的中点，即AG=BG=AB，O的半径为4，弦ABCD且过半径OD的中点，OG=2，在RtAOG中，根据勾股定理得：AG=2，AB=2AG=4，又CG=CO+GO=4+2=6，在RtAGC中，根据勾股定理得：AC=4，CFAE，ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CGAE，此时F与G重合；当E位于D时，CAAE，此时F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在RtACG中，tanACG=，ACG=30，所对圆心角的度数为60，直径AC=4，的长为=，则当

10、点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为故选C点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键二填空题（共9小题）3（2013鄂尔多斯）如图，直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为考点：一次函数综合题719606 分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB

11、长的一半为半径的，求出的长度即可解答：解：AM垂直于直线BP，BMA=90，点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，连接ON，直线y=x+4与两坐标轴交A、B两点，OA=OB=4，ONAB，ONA=90，AB=4，ON=2，=2=故答案为：点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据BMC=90，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力4如图，半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB的上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H设OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为考

12、点：弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心719606 专题：计算题分析：如图，连OI，PI，AI，由OPH的内心为I，可得到PIO=180IPOIOP=180（HOP+OPH）=135，并且易证OPIOAI，得到AIO=PIO=135，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135的一段劣弧上；过A、I、O三点作O，如图，连OA，OO，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得APO=180135=45，得AOO=90，OO=OA=2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长解答：解：如图，连OI，PI，AI，OPH的内心为I，IOP=IOA，IPO=IPH，PIO=180IPOIOP=

13、180（HOP+OPH），而PHOA，即PHO=90，PIO=180（HOP+OPH）=180（18090）=135，又OP=OA，OI公共，而IOP=IOA，OPIOAI，AIO=PIO=135，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135的一段劣弧上；过A、I、O三点作O，如图，连OA，OO，在优弧AO取点P，连PA，PO，AIO=135，APO=180135=45，AOO=90，而OA=2cm，OO=OA=2=，弧OA的长=（cm），所以内心I所经过的路径长为cm故答案为：cm点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三

14、角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质5（2011江西模拟）已知扇形的圆心角为60，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到OAB位置，点O到O的路径是OO1O1O2O2O；点O到O的路径是；点O在O1O2段上运动路线是线段O1O2；点O到O的所经过的路径长为以上命题正确的是考点：旋转的性质；弧长的计算719606 分析：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O，圆心经过的路径是：以B为圆心，以OB为半径的圆弧据此即可判断解答：解：圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的

15、路线是线段O1O2；由O2到O，圆心经过的路径是：以B为圆心，以OB为半径的圆弧故正确的是：故答案为：点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键6（2013宁德）如图，在RtABC纸片中，C=90，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算719606 分析：根据翻折变换的性质以及ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解解答：解：C=90，AC=BC，ABC是等腰直角

16、三角形，如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长=2故答案为：2点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键7如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边ACP和PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质719606 专题：压轴题分析：分别延长AC、BD交于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可解答：解：如图，

17、分别延长AC、BD交于点H，A=DPB=60，AHPD，B=CPA=60，BHPC，四边形CPDH为平行四边形，CD与HP互相平分G为CD的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为HAB的中位线MNMN=AB=5，即G的移动路径长为5故答案为：5点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强8（2013湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点，APB=30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点

18、不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是考点：一次函数综合题719606 专题：压轴题分析：（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图所示利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图所示，利用相似三角形AB0BnAON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=x上，ACx轴于点M，则OMN为等腰直角三角形，ON=OM=如答图所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0BnAOAB0，ANABn，OAC=B0ABn，又AB0=AOtan30，ABn

19、=ANtan30，AB0：AO=ABn：AN=tan30，AB0BnAON，且相似比为tan30，B0Bn=ONtan30=现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）如答图所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0BiAOAB0，APABi，OAP=B0ABi，又AB0=AOtan30，ABi=APtan30，AB0：AO=ABi：AP，AB0BiAOP，AB0Bi=AOP又AB0BnAON，AB0Bn=AOP，AB0Bi=AB0Bn，点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn

20、，其长度为故答案为：点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中9（2013桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是考点：正方形的性质；轨迹719606 专题：压轴题分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得

21、出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长解答：解：如图所示：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O的长，线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，则O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，当P与D重合，则PB=2，则AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，O2O=4=3故答案为：3点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键10（2013竹溪县模拟）如图：已知AB=10，点C、

22、D在线段AB上且AC=DB=1； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质719606 分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H，A=FPB=60，AHPF，B=EPA=60，BHPE，四边形EPFH为平行四边形，EF与HP互相平分G为EF的

23、中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MNCD=1011=8，MN=4，即G的移动路径长为4故答案为：4点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强11如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A处并且AC=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为米考点：勾股定理的应用；弧长的计算719606 专题：压轴题分析：先根据三角函数求出BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到ACP的度数，同理求出BCP的度数，可得PCP的度数，

24、再根据弧长的计算公式求解即可解答：解：连接CP，CPACB=90，BC=1米，AB=2米，BAC=30，P是木棒AB的中点，PC=PA=1米，PCA=30，同理求出BCP=30，则PCP=30，木棒AB的中点P运动的路径长为：21=米故答案为：米点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长三解答题（共1小题）12（2012义乌市模拟）如图，边长为4的等边AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒在点P的运动过程

25、中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60得PC （1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为 ；（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长考点：相似形综合题719606 分析：（1）过点作CDx轴于点D，先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长，故可得出PE的长，由图形旋转的性质求出PC=PE及CPD的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长，进而可得出结论；（2）过P作PDOB于点D，过C作CFPA于点F，在RtOPD中 PD=OPsin60=，由相似三角形的判定定理得

26、出BPDPCF，故可得出CF及PF的长，进而可得出C点坐标；（3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，由锐角三角函数的定义得出CMF=30，可知点C在直线MC上运动故当点P在点O时，点C与点M重合当点P运动到点A时，点C的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论解答：解：（1）如图1，过点作CDx轴于点D，AOB是等边三角形，P是OA的中点，P（2，0），BP=OBsin60=4=2，E是BP的中点，PE=，PE=PC=，BPC=60，CPA=30，PD=PCcos30=，CD=PCsin30=，OD=OP+PD=2+=，C（，）；（2）如图2，过P作PDOB于点D，过C作CFPA于点F在RtOPD中 PD=OPsin60=，OBP+OPB=CPF+OPB=120DBP=FPC，PDB=CFP=90BPDPCF，CF=，点C的坐标是（）； （3）取OA的中点M，连接MC，由（2）得，CMF=30点C在直线MC上运动当点P在点O时，点C与点M重合当点P运动到点A时，点C的坐标为点C所经过的路径长为点评：本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键13