动点路径长专题.doc

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动点路径长专题

一．选择题（共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共9小题）

3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　_________　．

4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　_________　．

5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，

①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；

②点O到O′的路径是→→；

③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；

④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是　_________　．

6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是　_________　．

7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　_________　．

8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　_________　．

9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是　_________　．

10．（2013•竹溪县模拟）如图：

已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是　_________　．

11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　_________　米．

三．解答题（共1小题）

12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．

（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为　_________　；

（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；

（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

《动点路径长专题》参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

二次函数综合题．719606

专题：

压轴题．

分析：

首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．

解答：

解：

如图

∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，

∴x2﹣x﹣=x﹣2，

解得：

x=1或x=，

当x=1时，y=x﹣2=﹣1，

当x=时，y=x﹣2=﹣，

∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），

∵抛物线对称轴方程为：

x=﹣=

作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，

连接A′B′，

则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，

∴BF=B′F，AE=A′E，

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，

延长BB′，AA′相交于C，

∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，

∴A′B′==．

∴点P运动的总路径的长为．

故选A．

点评：

此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．

2．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

圆的综合题．719606

专题：

压轴题．

分析：

连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．

解答：

解：

连接AC，AO，

∵AB⊥CD，

∴G为AB的中点，即AG=BG=AB，

∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，

∴OG=2，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：

AG==2，

∴AB=2AG=4，

又∵CG=CO+GO=4+2=6，

∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：

AC==4，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，

在Rt△ACG中，tan∠ACG==，

∴∠ACG=30°，

∴所对圆心角的度数为60°，

∵直径AC=4，

∴的长为=π，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．

故选C．

点评：

此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：

坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，是解本题的关键．

二．填空题（共9小题）

3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　　．

考点：

一次函数综合题．719606

分析：

根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．

解答：

解：

∵AM垂直于直线BP，

∴∠BMA=90°，

∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，

连接ON，

∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，

∴OA=OB=4，

∴ON⊥AB，

∴∠ONA=90°，

∵AB==4，

∴ON=2，

∴=•2=．

故答案为：

π．

点评：

本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．

4．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　　．

考点：

弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．719606

专题：

计算题．

分析：

如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°﹣135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．

解答：

解：

如图，连OI，PI，AI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OA，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，

又∵OP=OA，OI公共，

而∠IOP=∠IOA，

∴△OPI≌△OAI，

∴∠AIO=∠PIO=135°，

所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；

过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，

在优弧AO取点P，连PA，PO，

∵∠AIO=135°，

∴∠APO=180°﹣135°=45°，

∴∠AOO=90°，而OA=2cm，

∴O′O=OA=×2=，

∴弧OA的长==（cm），

所以内心I所经过的路径长为cm．

故答案为：

cm．

点评：

本题考查了弧长的计算公式：

l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．

5．（2011•江西模拟）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置，

①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′；

②点O到O′的路径是→→；

③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2；

④点O到O′的所经过的路径长为．以上命题正确的是　　．

考点：

旋转的性质；弧长的计算．719606

分析：

圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；由O2到O′，圆心经过的路径是：

以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．据此即可判断．

解答：

解：

圆心O由O到O1的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；

由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2；

由O2到O′，圆心经过的路径是：

以B′为圆心，以O′B′为半径的圆弧．

故正确的是：

③④．

故答案为：

③④．

点评：

本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键．

6．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是　　．

考点：

翻折变换（折叠问题）；弧长的计算．719606

分析：

根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解．

解答：

解：

∵∠C=90°，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，

路径长==2π．

故答案为：

2π．

点评：

本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键．

7．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　　．

考点：

三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．719606

专题：

压轴题．

分析：

分别延长AC、BD交于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

解答：

解：

如图，分别延长AC、BD交于点H，

∵∠A=∠DPB=60°，

∴AH∥PD，

∵∠B=∠CPA=60°，

∴BH∥PC，

∴四边形CPDH为平行四边形，

∴CD与HP互相平分．

∵G为CD的中点，

∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．

∴MN=AB=5，即G的移动路径长为5．

故答案为：

5．

点评：

本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．

　8．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．

考点：

一次函数综合题．719606

专题：

压轴题．

分析：

（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；

（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．

解答：

解：

由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．

如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn，

又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°，∴AB0：

AO=ABn：

AN=tan30°，

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，

∴B0Bn=ON•tan30°=×=．

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，

又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°，∴AB0：

AO=ABi：

AP，

∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．

故答案为：

．

点评：

本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：

首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．

9．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是　　．

考点：

正方形的性质；轨迹．719606

专题：

压轴题．

分析：

根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长．

解答：

解：

如图所示：

当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，

利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长，

∵线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，

以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，

∴AP=2，BP=8，

则O1P=，O2P=4，

∴O2P=O2B=4，

当P′与D重合，则P′B=2，则AP′=8，

∴O′P′=4，O″P′=，

∴H′O″=BO″=，

∴O2O″=4﹣=3．

故答案为：

3．

点评：

此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键．

10．（2013•竹溪县模拟）如图：

已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=1；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是　　．

考点：

三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．719606

分析：

分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

解答：

解：

如图，分别延长AE、BF交于点H，

∵∠A=∠FPB=60°，

∴AH∥PF，

∵∠B=∠EPA=60°，

∴BH∥PE，

∴四边形EPFH为平行四边形，

∴EF与HP互相平分．

∵G为EF的中点，

∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．

∵CD=10﹣1﹣1=8，

∴MN=4，即G的移动路径长为4．

故答案为：

4．

点评：

本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．

11．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　　米．

考点：

勾股定理的应用；弧长的计算．719606

专题：

压轴题．

分析：

先根据三角函数求出∠BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到∠ACP的度数，同理求出∠B′CP′的度数，可得∠PCP′的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．

解答：

解：

连接CP，CP′．

∵∠ACB=90°，BC=1米，A′B=2米，

∴∠BA′C=30°，

∵P是木棒AB的中点，

∴PC=PA=1米，

∴∠PCA=30°，

同理求出∠B′CP′=30°，

则∠PCP′=30°，

∴木棒AB的中点P运动的路径长为：

×2π×1=米．

故答案为：

米．

点评：

考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长．

三．解答题（共1小题）

12．（2012•义乌市模拟）如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．

（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为　　；

（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；

（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

考点：

相似形综合题．719606

分析：

（1）过点作CD⊥x轴于点D，先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长，故可得出PE的长，由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数，再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长，进而可得出结论；

（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F，在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的长，进而可得出C点坐标；

（3）取OA的中点M，连接MC，由

（2）得，，由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°，可知点C在直线MC上运动．故当点P在点O时，点C与点M重合．

当点P运动到点A时，点C的坐标为（5，），由两点间的距离公式即可得出结论．

解答：

解：

（1）如图1，过点作CD⊥x轴于点D，

∵△AOB是等边三角形，P是OA的中点，

∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×=2，

∵E是BP的中点，

∴PE=，

∴PE=PC=，

∵∠BPC=60°，

∴∠CPA=30°，

∴PD=PC•cos30°=×=，CD=PC•sin30°=×=，

∴OD=OP+PD=2+=，

∴C（，）；

（2）如图2，过P作PD⊥OB于点D，过C作CF⊥PA于点F

在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=，

∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°

∴∠DBP=∠FPC，

∵∠PDB=∠CFP=90°

∴△BPD∽△PCF，

∴CF=，

∴点C的坐标是（）；

（3）取OA的中点M，连接MC，由

（2）得，．

∴

∴∠CMF=30°．

∴点C在直线MC上运动．

当点P在点O时，点C与点M重合．

当点P运动到点A时，点C的坐标为

∴点C所经过的路径长为．

点评：

本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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