相似三角形模型分析大全.docx

1、第一部分 相似三角形模型分析大全一、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六） 双垂型： 二、 相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形 例1、已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, 求证：（1）； （2）ACDEB 例2、已知：如图，等腰ABC中，ABAC，A

2、DBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证： 点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质关键是能根据所证连接CE相关练习：1、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证： 2、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证： 3、ACBPDE（第4题图）已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：A

3、E=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积双垂型1、如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED解答：证明：（1）CEAB于E，BFAC于F，AFB=AEC，A为公共角，ABDACE（两角对应相等的两个三角形相似）（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，A为公共角，ADEABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）(3) ADEABCAD：AB=DE：BC又A=60 BC=2ED共享型相似三角形1、ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,D

4、AE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长. 如图ABC是等边三角形ABC=BAC=ACB=60又DBCE在一条直线上ADB+DAB=CAE+AEC=ABC=60DAE=120DAB+CAE=DAE-BAC=120-60=60由上可知ADB=CAE，DAB=CAEDABAEC三角形相似对应边成比例BDAC=ABCEBD=1，CE=3AB=AC=32、已知：如图，在RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD； （2）解答：证明：（1）在RtABC中，AB=AC，B=C=45 （1分）BAE=BAD+DAE，DAE=45，BAE=BAD+45 （1分）而ADC=BAD

5、+B=BAD+45，（1分）BAE=CDA （1分）ABEDCA （2分）（2）由ABEDCA，得 （2分）BECD=ABAC （1分）而AB=AC，BC2=AB2+AC2，BC2=2AB2 （2分）BC2=2BECD （1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大一线三等角型相似三角形CADBEF例1：如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 证明：（1）ABC是等边三角形B=C=60EDF=60CDF+EDB=180-EDF=120 BED+EDB=180-B=120

6、CDF=BEDB=CBDE相似CFD2、BD=1CD=BC-BD=6-1=5BDE相似CFDBE/CD=BD/CFBE/5=1/3 BE=5/3 CDABP例2、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长解答：解：（1）ABCD是梯形，ADBC，AB=DCA=DABP+AP

7、B+A=180，APB+DPC+BPC=180，BPC=AABP=DPC，ABPDPC，即：解得：AP=1或AP=4（2）由（1）可知：ABPDPQ，即：，（1x4）当CE=1时，AP=2或点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键 例3：如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长1. 证明:AB=CD.梯形ABCD为等腰梯形,B=C;又EMF=B,则:CMF=180度-EMF-BME=180度-B-BME=BEM.CMFBEM,MF/EM=C

8、M/BE=BM/BE.MF/EM=BM/BE;EMF=B.MEFBEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.EFBC;又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;当ME=BM=3时:MEB=B=C=FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.DMC=B=FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.3.解:EFCD;CFM=BME=EFM.EFM=45=BME.作EGBM于G,则EG=GM;作AHBM于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=(AB-BH)=315/2.设EG=GM

9、=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(315/2),X=(45-315)/14.BE/BA=EG/AH,即BE/6=(45-315)/14/(315/2),BE=(615-6)/7.练习：如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积备用图一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，

10、（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。(2)如果PCD的面积是AEP面积的4倍，求CE的长；(3)是否存在点P，使APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论。解答：（1）解：PECP， 可得：EAPPDC， ，又CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，y=-，0x3；（2）解：当PCD的面积是AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，CD=2，AP=1，PD=2，PE=，PC=2，EC=（3）不存在作AFPE，交PE于O，BC于F，连接EFAFPE，CPPE AF=CP=， PE=，CDPPOA =，OA=，若OA=AF =， 3x2-6x+4=0 =62-443=-12x无解 因此，不存在点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方 相关练习1、(2009虹口二模）如图，在中，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点设，的面积为（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以、为顶点的三角形与相似，求的面积.19