相似三角形模型分析大全.docx
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第一部分相似三角形模型分析大全
一、相似三角形判定的基本模型认识
（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行）（不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行）（不平行）
（三）母子型
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
（五）一线三直角型：
（六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：
由A字型旋转得到。
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1、已知：
如图，△ABC中，点E在中线AD上,．
求证：
（1）；
（2）．A
C
D
E
B
例2、已知：
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：
．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE
相关练习：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：
．
2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：
．
3、A
C
B
P
D
E
（第4题图）
已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：
AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）△ADE∽△ABC；（3）BC=2ED
解答：
证明：
（1）∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
∴∠AFB=∠AEC，∠A为公共角，
∴△ABD∽△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）由
（1）得AB：
AC=AD：
AE，∠A为公共角，
∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
（3）∵△ADE∽△ABC
∴AD：
AB=DE：
BC
又∵∠A=60°∴BC=2ED
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
如图∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°
又∵DBCE在一条直线上
∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°
∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°
由上可知∠ADB=∠CAE，∠DAB=∠CAE
∴△DAB∽△AEC
∵三角形相似对应边成比例
∴BD／AC=AB／CE
∵BD=1，CE=3
∴AB=AC=√3
2、已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）．
解答：
证明：
（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．（1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．（1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）
∴∠BAE=∠CDA．（1分）
∴△ABE∽△DCA．（2分）
（2）由△ABE∽△DCA，得．（2分）
∴BE•CD=AB•AC．（1分）
而AB=AC，BC2=AB2+AC2，
∴BC2=2AB2．（2分）
∴BC2=2BE•CD．（1分）
点评：
此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．
一线三等角型相似三角形C
A
D
B
E
F
例1：
如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：
△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
证明：
（1）∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°
∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED
∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD
2、∵BD=1
∴CD=BC-BD=6-1=5
∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CF
BE/5=1/3BE=5/3
C
D
A
B
P
例2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
解答：
解：
（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴，即：
解得：
AP=1或AP=4．
（2）①由
（1）可知：
△ABP∽△DPQ
∴，即：
，∴（1＜x＜4）．
②当CE=1时，AP=2或．
点评：
本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键．
例3：
如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：
△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长
1.证明:
∵AB=CD.
∴梯形ABCD为等腰梯形,∠B=∠C;
又∠EMF=∠B,则:
∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.
∴⊿CMF∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.
∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B.
∴△MEF∽△BEM.
2.解:
当BM=BE=3时:
MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.
∴EF∥BC;又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=（AD+BC）/2=9/2;
当ME=BM=3时:
∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.
连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.
∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.
3.解:
∵EF⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM.
∴∠EFM=45°=∠BME.
作EG⊥BM于G,则EG=GM;作AH⊥BM于H.BH=（BC-AD）/2=3/2,AH=√（AB²-BH²）=3√15/2.
设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,（3-X）/（3/2）=X/（3√15/2）,X=（45-3√15）/14.
BE/BA=EG/AH,即BE/6=[（45-3√15）/14]/（3√15/2）,BE=（6√15-6）/7.
练习：
如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）若，试求的面积．
备用图
一线三直角型相似三角形
例：
已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？
证明你的结论。
解答：
（1）解：
∵PE⊥CP，
∴可得：
△EAP∽△PDC，∴，
又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=-，0＜x＜3；
（2）解：
当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，
则：
相似比为2：
1，∴，
∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．
（3）不存在．
作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF
∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，
∵△CDP∽△POA
∴=，OA=，
若OA=AF=，3x2-6x+4=0△=62-4×4×3=-12x无解因此，不存在．
点评：
此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．
相关练习
1、（2009虹口二模）如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.
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