弹性力学第三章习题.docx

1、弹性力学第三章习题1 设有矩形截面的竖柱，其密度为P，在一边侧面上受均布剪力0,如图b试 求应力分量。解：采用半逆解法，设导出0使其满足双调和方程:6仝-心込心）v dy2 dy V 7恥_，m心O）dx4Ox4 dx4勢0,爭0dy dxdyg/*)+心()dxA取任意值时，上式都应成立，因而有:心 y)= o,心 y)= odx4 dx4/(x) = Ax3 + Bx2 + Cx, j (x) = Ex3 + Fx2 cp = y(Ax3 + Bx2 + Cx) + + Fx2式中，/中略去了常数项，丄中略去了X的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。含待定常数的应力分量为:Txyd2(p

2、 a= -Xx=O二- Yy-),(6Ax+ 2B) + 6Ex+ 2F - Py二-厘二-(3A + 2Bx+C) 力利用边界条件确定常数，并求出应力解答：（bx）x=0 = 0，（qU二，c=o 能自然满足：（6）7二， 能自然满足：（3）（ryx）x=h=q-3Ah2-2Bh=q（b、） v= = 0,6Ex+ 2F = 0, E 些=0(rVA.)v=0 = 0,不能精确满足，只能近似满足:f （f 0心=O,-（3Ay2 + 2Bxdx = OAZ? Bh = O （4）由6（3）、（4）解出常数 Si ,进而可求得应力分量：2.如图2 (a),三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，

3、试用纯三次式应力函数求解 该梁的应力分量。(a)解：1.设应力函数为:图 (o所以应力分量为:6 = 0。=竽（1-苧）卑6 罟（2-苧）h h h hcp Ar3 + Bx2y + Cxy2 + Dy5d2（pbr二；Xx=2Cx + 6Dy二？ Yy= 6Ax+ 2By pgyOXr-v.y =% = 2Bx 2Cy dxdy不难验证其满姥 = 02用边界条件确定常数，进而求出应力解答:上边界： 0v)y=O - %J.v=O - 斜边:I = cos(90 + cc) = since = cosc sill cccr v + cos crvx, = 0sill OCT + cosco,

4、= 0y解得： A = B = 0yC = D = -cot2 cto = pgxcotcz 2pgy cot2 a b、, = -pgy. rxy = -pgycota3.如果 妙/平面调和函数，它满足v2/=o ,问x(p,y(p,x2 + y2)(p是否可作为应力函解鄴。将 叭=x 代入相容条件，得：严(毛+卑)(“)=2穿+双考+考)=2字dx2 內 2 Qx 去 2 Sy2 3xV2V2 = V2(2-) = 2 (V24- y2) + V2(y2?7). 人 Qcp . 6(p=4+ 4jc+ 4ydx SyV2V23 = V2(4 = 02由此可解得：q。c_丽2 q也6(7)(

5、8)纟。I纟。/ fLOlh 3 忙，应力分量为彳晋P（2,2 _乂2 +厂=加(3胪)(9)=需（心2）（3+h220.5如图所示，右端固定悬臂梁，长为1,高为h,在左端面上受分布力作用 P） o不计体力，试求梁的应力分量。（其合力为d4xy 所解：用凑和幕次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、卞边界面上多出了一个大小为-id4h2的剪应力，为了抵消它，在应力円打函数上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数勺厂cp = d + hxy由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为:6 二6 Cp二- “ of 二=二 M = S 3乙

6、2利用边界条件确定，并求出应力分量: 上、下边界：，=号(bv) = O3 y = 2左端部：0=0 = O,解得:b23P2h2Ph12Pb严一亍-by = 0,3P 6P= + 2h h3图386试考察应力函数=在图3-8所示的矩形 板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)？【解答】相容条件：不论系数a取何值，应力函数=。)卩总能满足 应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24),得6 = 6,b,.=0,y = 考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；当a0时，考察q分布情况，注意到txy = 0 ,故y向无

7、面力左端:=（6）口 = 6 （OVyJ） Z.=（.） = 右端工=（q）g=6 （04主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b,集中荷载p的偏心距e：（也牴一佩“A 同理可知，当d0时，可以解决偏心压缩问题。7.试考察应力函数=二巩3斥-4才），能满足相容方程，并求出应力分211量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出 面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（225）04+ 2夕* 苕 + dx2dy2 +（2）将代入式（224），得应力分量表达

8、式nFxy/?3（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:1在主要边界上（上下边界）上，y = |,应精确满足应力边界条件式 （2d），应力（碍）十厂0，亿 0因此，在主要边界y = -上，无任何面力，即2卜=另=0玮=另=02在的次要边界上，面力分别为:因此，各边界上的面力分布如图所示:3在兀二0, 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:x=0上 x=l上,hQ洞主矢：F叫=匸上dy = O, 向主矢：Fs= Jydy = F, 主矩:M产：ydy = O,因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如 图：（a） （b）因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作

9、用的问题。&设有矩形截面的长竖柱，密度为p,在一边侧面上受均布 。剪力？（图3-10）,试求应力分量。 T【解答】釆用半逆法求解。图310由材料力学解答假设应力分量的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力5主要与截面的弯矩有关，剪应力。主要与截面的剪力有关，而挤压应力6主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则(2)推求应力函数的形式将6 = 0,体力fx=Q,f、=pg,代入公式(2-24)有对y积分，得(a)=W(M + Z(x) 其中都是兀的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将(b)式代入相容方程(2-25),得 停*常“ (c)ax ax在区域内应力函数必须

10、满足相容方程，(c)式为y的一次方程，相容方程 要求它有无数多个根(全竖柱内的y值都应满足它)，可见其系数与自由项都 必须为零，即d【O_0 丫 (x)dx4 ， dx两个方程要求/(x) = Ar3 + Bx2 + Cx, (x) = Dx5 + Ex2 (d)/(x)中的常数项，Z(x)中的常数项和一次项己被略去，因为这三项在 的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将(d)式代入(b) 式，得应力函数O=y(Ax3 + Bx2 + C)+(DA-3 + x2) (e)（4）由应力函数求应力分量O碍=盲咚。dy2 x(f)fx.y = 6Axy + 2 By + 6Dx +2E-

11、 pgy(g)6 rJ =一 = -3Ax2-2Bx-C （t厂 dxdy （5）考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、Eo主要边界x = 0 （左）：（bj JO,（I=o = O将（f） , （h）代入（bJz = 0,自然满足（rn-）.v=0 = -C = 0 （D主要边界x = bf（G）z = 0,自然满足（G）z = q，将5）式代入，得（rxy）x=h=-3Ab2-2Bb-C = q （J）在次要边界），=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：Jo由式(i) , (j)，代入公式（g）,J： Cx = (6Dx+2E)dx = 3Db2 + 2Eb =

12、 0J： (q.)、=oxdx = (6Dx+2E)xdx = 2Db + Eb2 = 0 J： ()、=% = J：(3 A? - 2Bx-C)dx = -Ab5-Bb2-Cb = Q(k) , (1) , (m)联立求得4 = -2, B = C = D = E = 0Zr b(h)得应力分量(k)(1)(m)2qx( x=r3Kj-r.=lx9设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁 的密度为Q,试用纯三次式的应力函数求解。【解答】采用半逆解法求解(1)检验应力函数是否满足相容方程(2-25)设应力函数=Ax3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3,不论上式中的系数如何取值，纯三

13、次式的应力函数总能满足相容方程(2-25)(2)由式(2-24)求应力分量由体力分量 = OJ, = pg,将应力函数代入公式(2-24)得应力分量:少-fxx = 2Cx+6Dy-fyy = 6Ax+2By-pgy(b)= - = -2Bx-2Cy dxdy(3)考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。对于主要边界y = 0,其应力边界条件为:(,)、=o = 0 (rvx)v=0 = 0 (C将式(d)代入式(b) , (c),可得A = 0, B=0 (e)对于主要边界y = xtana (斜面上),应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即Z = 7v=o,该斜面外法线方向余弦为, /

14、= -sina，m = cos a .由公式(2-15),得应力边界条件=0(f)- sin q (b Jgg + cos a (rvx) v=rtana一 +C0SQ(bJ,=ga = 将式(a)、(b)、(c) . (e)代入式(f),可解得(g)C = cota,D = -cofa将式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式:= pgx cot tz - 2pgy cot2 a J = -pgyG =-Qgy cot a10.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，lh,图3-5, 试用应力函数Axy+B+Cy+Dxy3求解应力分量。解：本题是

15、较典型的例题，已经给出了应力函数，可按卞列步骤求解。1.将0代入相容方程，显然是满足的。2.将0代入式（2-24）,求出应力分量7/2边界上，O、=p2gX,所以可假设在区域内6为by = xf (y) o2.推求应力函数的形式。由s推测的形式,图3-6dxxf (y)，=令于(y) + H(y) + 43由相容方程求应力函数。将0代入=(),得要使上式在任意的x处都成立，必须得 f 二 Ay+5 + Cy + D;A R得 f = - y5 - -yA + Gyz + Hy2 + Iy 10 64 = 0, 得 f.=琢 + Fydy代入0,即得应力函数的解答，其中己略去了与应力无关的一次式

16、。4.由应力函数求应力分量，将代入式(2-24),注意体力fx=pig, /=0，求得应力 分量为V 3 (65k + 2尸)-pgx、訂 _ fyyOf 罗dxdypy3 + By2 + Cy +9 _ 亠fxx = x3 Ay + - + x (-2加-2By? + 6矽 + 2H)+= (3加 + 2By + C)+2f yl + y3 - 3Gy2 - 2Hy - I 12 3 - 丿5.考虑边界条件：在主要边界)=b/2上，有 方3 方4 b 、= -P护、得 X A- B- + C- D = -p2gx- C) /( l3 力2 人 ( uh ydy = o,得 1 = Plg I

17、G, ）得尸=0,得 E = Oo由式（g）,（h）解出1逅空。代入应力分量的表达式得应力解答2pg 3 丄 3&g 4png 3f9 y3 3y 1)x 2y-2b3b3b3-p2gy丄+空_b3 10 b12.己知（爲）=Ay-（于 一 /） + Bxy + C （才 + y） （方）=Axa + Bx3y + Cxzyz + Dxy2 + Ey 试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，=0o将0代入，（a）其中A=0,才可成为应力函数：（b）必须满足3 （A+E） +C=0,才可成为应力函数。13.图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩

18、 尸bM= 2的作用，试用应力函数=Ay? + Bx2求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。 解：应用应力函数求解：（1） 校核相容方程“0=0,满足。（2） 求应力分量，在无体力时，得6. = 6Ax + 2B、=Oo（3）考虑主要边界条件 界条件，在y=0上，（几=满足;（a ） dx = FJ-八 y /y=0x = 也辺=0, Jy = 0,均已满足。考虑次人边Io厂严善5 =-2bA丄Sb2代入，得应力的解答,=Oo1 +竺2b丿上述0和应力已满足了 “=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。（4）求应变分量，3-y2Eb I 2b（5）求位移分量,由却1 +字，对讲

19、只分，得2b )尸2EbFv=- 2民?xy+厉+ 4）。将“v代入几何方程第三式dv du + dx dy两边分开变量，并令都等于常数即dfAx） 牴（y） _ sf = + 7 y = CDo dx dy 4Eb?从上式分别积分，求出屯（x） = a）x + v0,3尸SEb2 7-coy + uQo代入讣得“竺L+疋2Eb 2Eb4b3尸8 Eb22b9y-coy + uQ9+ ex+vo再由刚体约束条件,=0,得”詁u）/x=O,y=A=。，得“訐 (心” =，得。=缶九 代入“V,得到位移分量的解答：pF 3才）-x + 2Eb 4b1 +竺2b丿v = -（力 _ y） 2Eb 7

20、在顶点天二.y=0（v） /.r=y=O图38Fh 2Eb试用下列应力函数二 Mxy* + Bxy + Cxzy + Dxy3 + Ex3 + Fxy, 求解应力分量。解：应用上述应力函数求解：、（1）将0代入相容方程W =0, 72A + 1205 = 0,得 A = -B。 3由此，5二- 一 By3 + Bxv3 + Cx3y + Zxy3 + Ex + Fxy。3（2） 求应力分量，在无体力下，得b.二 TOBxy + 205xy3 + Dxy、 crr = -lOfey3 + 6Cxy + EEx,rxy = - （-15fe2y2 + 5时 + 3必2 + 3妒 + 尸）。（3）

21、考虑主要边界条件（曲2，y = h2,j. = 0,得，3C - y 劭+ 善朋 + 扌仍$ + 尸=。 对于任意的X值，上式均应满足，由此得G)UO2仍3 - 4+y =力/2 , q = 0, * 扌戲3 + 3伪 + 6可=0, (c)x (5 、 xy = _力/2 , cr” = 了，* | g 刼-3Ch + 6E = _q )。(d) 由(c)+(d)得12；由(c)-(d)得C)由(e) -(a)得（4）考虑小边界上的边界条件（x=O）,由得B + D + Fh = -坐。16 4 6由式（b）和解出D = q M 10丿p _ h 1 _ 4h）另两个积分的边界条件,显然是满

22、足的。于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答: C o o c er = 2q xyr - 3n + 乙 一 h2 h2 10X（T = _q 7 2112旷 力 厂 + h lh 201 lh读者试校核在心1的小边界上，卜列条件都是满足的。JX（uL0 = = 0，m）/ = -V15.矩形截面的柱体受到顶部的集中力血尸和力矩M的作 用。图3-9,不计体力，试用应力函数二府 + Bxy + Cxy3 + Dy3求解其应力分量。解：应用上述应力函数求解：（1） 代入相容方程，“吐。，满足。（2） 求应力分量，在无体力下，得y, = A + Cxy + &Dy、X（7=0,yrxy = - （万 + 3）。（3）考察边界条件。在主要边界（）=y = , 6, = 0,满足; 乙在次要边界x=0,4 b”2丿-b/2=一F、得(b)再由(a),(b)式解出