弹性力学第三章习题.docx
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弹性力学第三章习题
1•设有矩形截面的竖柱，其密度为P，在一边侧面上受均布剪力0],如图b试求应力分量。
解：
采用半逆解法，设
导出0使其满足双调和方程:
6仝-心"込心）
vdy2dyV7
恥_〉，m心O）
dx4
Ox4dx4
勢0,爭—0
dydx~dy~
▽g/*）+心（"）
dxA
取任意值时，上式都应成立，因而有:
心y）=o,心y）=o
dx4dx4
/（x）=Ax3+Bx2+Cx,j\（x）=Ex3+Fx2cp=y（Ax3+Bx2+Cx）++Fx2
式中，/⑴中略去了常数项，丄⑴中略去了X的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。
含待定常数的应力分量为:
✓
T
xy
d2（pa
=—^-Xx=O
二-Yy-）,（6Ax+2B）+6Ex+2F-Py
二-厘二-（3A"+2Bx+C）力
利用边界条件确定常数，并求出应力解答：
（bx）x=0=0，
（qU二°，c=o能自然满足：
（6）7二°，能自然满足：
（3）
（ryx）x=h=q-3Ah2-2Bh=q
（b、）v=°=0,6Ex+2F=0,E些=0
（rVA.）v=0=0,不能精确满足，只能近似满足:
f（f0心=O,£-（3Ay2+2Bx—dx=O
—AZ?
'—Bh~=O（4）
由6（3）、（4）解出常数Si,进而可求得应力分量：
2.如图2（a）,三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
（a）
解：
1.设应力函数为:
图（
o所以应力分量为:
6=0。
・=竽（1-苧）卑＞6—罟（2-苧）
hhhh
cp—Ar3+Bx2y+Cxy2+Dy5
d2（p
br
二；Xx=2Cx+6Dy
二？
Yy=6Ax+2Bypgy
OX
r-v.y=
=%=2Bx2Cydxdy
不难验证其满姥©=0
2•用边界条件确定常数，进而求出应力解答:
上边界：
0v）y=O-%J.v=O-°
斜边:
I=cos（90°+cc）=—since=cosc—sillcccrv+cosc^rvx,=0
—sillOCT+cosco\,=0
y
解得：
A=B=0yC=D=——-cot2ct
o\=pgxcotcz—2pgycot2ab、,=-pgy.rxy=-pgycota
3.如果妙/平面调和函数，它满足v2/=o,问x（p,y（p,{x2+y2）（p
是否可作为应力函
解鄴。
将叭=x®代入相容条件，得：
严（毛+卑）（“）=2穿+双考+考）=2字
dx2內2Qx去2Sy23x
V2V2^=V2（2^-）=2—（V2<^）=0
dxdx
机满足双调和方程，因此，可作为应力函数。
将（^=y（p代入相容条件得
I叫2=2窪,心2卩2=护（2寥）=0
cyoy
▽2血=V2（x2^>4-y22^>）+V2（y2
7）
.人Qcp.6（p
=4©+4jc—^―+4y——
dxSy
V2V2<^3=V2（4<^+4x—-h4y—）=0dx&y
©也能作为应力函数。
把卩3二a+y）卩代入相容条件，得:
所以册也可作为应力函数。
03
4・图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为:
（p=A^y^+Bx/+Cx^y+Dx）^+Ex'+Fxy
，求简支梁的应力分量（体力不
计）。
q°x
解：
由满足相容方程确定系数A与E的关系：
6°（P6°（P6°Cp▲
二耳=O「―斗=丄2OAp“y
&y冻_色_
72Axy-4-12OBxy=O
A=——B
3
含待定系数的应力分量为
crv=6Ax3y+20Bxy3+6Dxy
（2）
o\=6Axy3+6Cxy+6Ex
rvv=~（9Ax2y2+5By4+3Cx2+3Dy2+F）
由边界条件确定待定系数：
（牛）„=_字,6心（-纽+6*£）+6尿=-竽
'-v=--I22I
g）h=0⑶
・y="2
hhh
94,（__）2+5^（--）4+3Cx2+3Z）（--）2+F=0（4）
（crv）h=0,64巩彳）3+6C（£）+6Ex=0（5）
（f）h=0,9Ax2（-）2+5^（-）4+3Cx2+3Z）（-）2+F=0（6）-v=7222
由以上式子可求得：
Ef人=备B唏,
h
£7（crjv=/yJy=0,Al2+Bh2+£>=0
2
由此可解得：
q。
c_丽
2q也
6
（7）
（8）
纟。
I纟。
/f
LOlh3忙，
应力分量为
彳晋P（2,2_乂2+厂
=加（3—胪）
（9）
=需（心2"）（3—+
h2
20.
5•如图所示，右端固定悬臂梁，长为1,高为h,在左端面上受分布力作用P）o不计体力，试求梁的应力分量。
（其合力为
d4xy^所
解：
用凑和幕次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。
显然，应力函数对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、卞边界面上多出了一个大小为
-id4h2的剪应力，为了抵消它，在应力円打函数上再添加一个与纯剪
应力对应的应力函数勺厂
cp=d+h^xy
由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为:
6二
6°Cp
二》-“—o
f二
=—二M=S—3乙"2
利用边界条件确定，并求出应力分量:
上、下边界：
，=±号
（bv）—=O3
•y=±——
•2
左端部：
0=0=O,
解得:
b2
3P
2h
2P
~h^
12P
b严一亍-
by=0,
3P6P
=—+
2hh3
图3・8
6•试考察应力函数①=©'在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）？
【解答】⑴相容条件：
不论系数a取何值，应力函数①=。
）卩总能满足应力函数表示的相容方程，式（2-25）.
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数①代入公式（2-24）,得
6=6©,b,.=0,y=°
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；
当a>0时，考察q分布情况，注意到txy=0,故y向无面力
左端:
£=（6）口=6©（OVyJ）Z.=（^.）^=°
右端工=（q）g=6©（0应力分布如图所示，当/》/?
时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
>4
主矢的中心在矩下边界位置。
即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e：
因为在A点的应力为零。
设板宽为b,集中荷载p的偏心距e：
（也牴一佩“A""同理可知，当d<0时，可以解决偏心压缩问题。
7.试考察应力函数①=二巩3斥-4才），能满足相容方程，并求出应力分
211
量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。
【解答】
（1）将应力函数代入相容方程（2・25）
04①+2夕①*苕+dx2dy2+
（2）将①代入式（2・24），得应力分量表达式
nFxy
/?
3
（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:
1在主要边界上（上下边界）上，y=±|,应精确满足应力边界条件式（2d），应力（碍）十厂0，亿—0
因此，在主要边界y=±-上，无任何面力，即
2
£卜=±另=0玮=±另=0
2在的次要边界上，面力分别为:
因此，各边界上的面力分布如图所示:
3在兀二0,的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:
x=0上x=l上
hQ
洞主矢：
F叫=匸上dy=O,〉向主矢：
Fs=^~Jydy=F,主矩:
M产[：
£ydy=O,
因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：
（a）（b）
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
&设有矩形截面的长竖柱，密度为p,在一边侧面上受均布。
剪力？
（图3-10）,试求应力分量。
T[~[—
【解答】釆用半逆法求解。
图3・10
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
（1）假定应力分量的函数形式。
根据材料力学，弯曲应力5主要与截面的弯矩有关，剪应力。
主要与截
面的剪力有关，而挤压应力6主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则
（2）推求应力函数的形式
将6=0,体力fx=Q,f、=pg,代入公式（2-24）有
对y积分，得
（a）
①=W（M+Z（x）⑹
其中都是兀的待定函数。
（3）由相容方程求解应力函数。
将（b）式代入相容方程（2-25）,得停*常“（c）
axax
在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即
d【O_0〃丫（x）
dx4，dx
两个方程要求
/（x）=Ar3+Bx2+Cx,（x）=Dx5+Ex2（d）
/（x）中的常数项，Z（x）中的常数项和一次项己被略去，因为这三项在①的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。
将（d）式代入（b）式，得应力函数
O=y（Ax3+Bx2+C¥）+（DA-3+£x2）（e）
（4）由应力函数求应力分量
O'①
碍=盲
咚"。
dy2x
（f）
fx.y=6Axy+2By+6Dx+2E-pgy
（g）
6'①r
J=一——=-3Ax2-2Bx-C（t
厂dxdy'
（5）考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、Eo
主要边界x=0±（左）：
（bjJO,（I=o=O
将（f）,（h）代入
（bJz=0,自然满足
（rn-）.v=0=-C=0（D
主要边界x=b±f
（G）z=0,自然满足
（G）z=q，将5）式代入，得
（rxy）x=h=-3Ab2-2Bb-C=q（J）
在次要边界），=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
Jo
由式（i）,（j），
代入公式（g）,
J：
Cx=^（6Dx+2E）dx=3Db2+2Eb=0
J：
（q.）、=oxdx=£（6Dx+2E）xdx=2Db'+Eb2=0J：
（—）、=%=J：
（—3A?
-2Bx-C）dx=-Ab5-Bb2-Cb=Q
（k）,
（1）,（m）联立求得
4=-2,B=C=D=E=0
Zrb
（h）得应力分量
（k）
（1）
（m）
2qx（x\
=^r3Kj-^
r.=lx
9•设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为Q,试用纯三次式的应力函数求解。
【解答】采用半逆解法求解
（1）检验应力函数是否满足相容方程（2-25）
设应力函数①=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3,不论上式中的系数如何取值，纯三
次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）
（2）由式（2-24）求应力分量
由体力分量£=OJ,=pg,将应力函数代入公式（2-24）得应力分量:
少①
-fxx=2Cx+6Dy
-fyy=6Ax+2By-pgy
（b）
=-^-=-2Bx-2Cydxdy
（3）考察边界条件：
由应力边界条件确定待定系数。
①对于主要边界y=0,其应力边界条件为:
（£,）、=o=0（rvx）v=0=0（C
将式（d）代入式（b）,（c）,可得
A=0,B=0（e）
②对于主要边界y=xtana（斜面上）,应力边界条件：
在斜面上没有面力作用，即Z=7v=o,该斜面外法线方向余弦为,/=-sina，m=cosa.由公式（2-15）,得应力边界条件
=0
（f）
-sinq・（bJgg+cosa・（rvx）v=rtana
一+C0SQ・（bJ,=ga=°
将式（a）、（b）、（c）.（e）代入式（f）,可解得
（g）
C=^cota,D=-^cofa
将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c）,得应力分量表达式:
=pgxcottz-2pgycot2a
G=-Qgycota
10.设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，l»h,图3-5,试用应力函数^Axy^+B^+Cy^+Dxy3求解应力分量。
解：
本题是较典型的例题，已经给出了应力函数①，可按卞列步骤求解。
1.将0代入相容方程，显然是满足的。
2.将0代入式（2-24）,求出应力分量
<7.=2B+6Cy+EDxy,cr„=0,
xy
Txy=-（/+3如）。
图3-5
3・考虑边界条件：
主要边界）=±/?
/2上，应精确满足式（2・15）,
（CF..）=0,满足；
\丿/y=±A/2
（T）=0,得/—Dir=0
V咫丿尸士方上4
在次要边界.v=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的
边界条件代替。
注意》=0是负x面，图3・5中表示了负x面上心和％的正方向，由此得
"=3=一心求得B=一暮;
:
Lo=一$求得c=_*；儿⑪=%得必+*血=耳
由式（a）,（b）解出
3代2巴
A=——,D=Fo
2h力3
最后一个次要边界条件0=1上），在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件卜・,
是必须满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
12M12心
力
11.挡水墙的密度为°,厚度为山图3・6,水的密度为卩2,试求应力分量。
解：
用半逆解法求解
1.假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，s=0：
>7/2边界上，O、=p2gX,所以可假设在区域内6•为
by=xf（y）o
2.推求应力函数的形式。
由s推测©的形式,
图3-6
'dx
xf（y），
①=令于（y）+H（y）+4
3・由相容方程求应力函数。
将0代入▽」©=（）,得
要使上式在任意的x处都成立，必须
得f二Ay'+5^+Cy+D;
AR
得f=-—y5--yA+Gyz+Hy2+Iy\10・6・
^4=0,得f.=琢+Fy\
dy
代入0,即得应力函数的解答，其中己略去了与应力无关的一次式。
4.由应力函数求应力分量，将©代入式（2-24）,注意体力fx=pig,/=0，求得应力分量为
V3（65k+2尸）-p\gx、
訂_fyy
Of〉
罗①
dxdy
py3+By2+Cy+
9
°_亠\
fxx=x3\Ay+-\+x（-2加-2By?
+6矽+2H）+
=（3加+2By+C）+
2
f—yl+—y3-3Gy2-2Hy-I□
123-丿
5.考虑边界条件：
在主要边界）=±b/2上，有
"方3方4b、
=-P护、得XA-^B-+C-^D=-p2gx-C）
\/
（l3力2人'
（\y）y=-b）2（842Iv7
2q_2、
（t}=0,得一—A—±Bb+C+
\期丿尸±b/224
\/
A—±B—-G—+Hb-l\=Qo
32124
由上式得到
Ok2
A—±Bb+C=0,（c,/）
A—±B—-G—Hb-I=0.（e,f）
32124v7
求解各系数，由
Db2n1
B—+D=--pg,
82
@）+（b）得422
（叭（b）得
5=0,
（c）-（d）得
（c）+（d）得4
由此得
23
A=讦2刃c=_廿妙
又有
（e）-（f）得尸=0,
b[
3方12
A——G
Z-0,
（e）+（f）得
32
4
代入A,
得
Tb
Zb2
I=——
Peg一—
-Go
16
4
在次要边界（小边界）・r=0上，列出三个积分的边界条件：
（g）
"0=
6）川=°>uhydy=o,
得1=PlgIG,°）
得尸=0,
得E=Oo
由式（g）,（h）解出
1
逅空。
代入应力
分量的表达式
得应力解答
2p°g3丄3&g4png3
f9y33y1）
~x2y^-2
b3
b3
b3
-p2gy
丄+空_
b310b
12.己知
（爲）①=Ay-（于一/）+Bxy+C（才+y'）（方）①=Axa+Bx3y+Cxzyz+Dxy2+Ey\试问它们能否作为平面问题的应力函数？
解：
作为应力函数，必须首先满足相容方程，
①=0o
将0代入，
（a）其中A=0,才可成为应力函数：
（b）必须满足3（A+E）+C=0,才可成为应力
函数。
13.图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩尸b
M=2的作用，试用应力函数
①=Ay?
+Bx2
求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。
解：
应用应力函数求解：
（1）校核相容方程▽“0=0,满足。
（2）求应力分量，在无体力时，得
6.=6Ax+2B、
=Oo
（3）考虑主要边界条件界条件，在y=0上，
（几=满足;
「（a）dx=—F
J-八y/y=0
x=±也辺=0,Jy=0,
均已满足。
考虑次人边
Io厂严…善
5=-—
2b
A丄
Sb2
代入，得应力的解答,
=Oo
1+竺
2b丿
上述0和应力已满足了▽“©=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。
（4）求应变分量，
3-y
2EbI2b
（5）求位移分量,
由却
1+字，对讲只分，得
2b）
尸
2Eb
F
v=-
2民
?
>xy
+厉
+4）。
将“v代入几何方程第三式
dvdu——+——dxdy
两边分开变量，并令都等于常数◎即
dfAx）牴（y）_sf
=£+7y=CDodxdy4Eb?
从上式分别积分，求出
屯（x）=a）x+v0,
3尸
SEb27
-coy+uQo
代入讣得
“竺L+疋
2Eb[…
2Eb[
4b
3尸
8Eb2
2b
9
y^-coy+uQ9
+ex+vo
再由刚体约束条件,
=0,得”詁
u）
/x=O,y=A
=。
，得“訐（心”=°，得"。
=缶九代入“V,得到位移分量的解答：
pF3才）
-——x+
2Eb4b
1+竺］
2b丿
\
v=-^―（力_y）2Eb'7
在顶点天二.y=0°
（v）
\/.r=y=O
图3・8
Fh
2Eb
试用下列应力函数
①二Mx'y*+Bxy'+Cxzy+Dxy3+Ex3+Fxy,求解应力分量。
解：
应用上述应力函数求解：
、
（1）将0代入相容方程
W①=0,72A+1205=0,得A=--B。
3
由此，
5
①二-一B^y3+Bxv3+Cx3y+Z>xy3+Ex'+Fxy。
3
（2）求应力分量，在无体力下，得
b..二TOBx'y+205xy3+£Dxy、crr=-lOfey3+6Cxy+EEx,
rxy=-（-15fe2y2+5时+3必2+3妒+尸）。
（3）考虑主要边界条件（曲2〉，
y=±h］2,j.=0,得，3C-y劭］+善朋°+扌仍$+尸］=°。
对于任意的X值，上式均应满足，由此得
G）
〔UO
2
仍
3-4
+
y=力/2,q=0,*—扌戲3+3伪+6可=0,（c）
x（5、x
y=_力/2,cr”=了，*|g刼-3Ch+6E=_q）。
（d）由（c）+（d）得
12；
由（c）-（d）得
C）
由（e）-（a）得
（4）考虑小边界上的边界条件（x=O）,由
得
B—+D—+Fh=-坐。
1646
由式（b）和⑴解出
D=q{^———'
M10"丿
p_{h1\
_~4h）°
另两个积分的边界条件,
显然是满足的。
于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答:
■Cooc\
er=2q——
xy\r-3
~n+乙~~一h2h210}
X
（T=_q——
721
12旷力厂——□—+
hlh201lh
读者试校核在心1的小边界上，卜列条件都是满足的。
JX（uL0==0，m）/=-V°
15.矩形截面的柱体受到顶部的集中力血尸和力矩M的作用。
图3-9,不计体力，试用应力函数
①二府+Bxy+Cxy3+Dy3
求解其应力分量。
解：
应用上述应力函数求解：
（1）代入相容方程，▽“吐。
，满足。
（2）求应力分量，在无体力下，得
X
（7=0,
y
rxy=-（万+3"）。
（3）考察边界条件。
在主要边界（）'=±£
y=±£,6,=0,满足;乙
在次要边界x=0,
4b
”2
丿-b/2
=一F、得
（b）
再由（a）,（b）式解出
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