高中数学单调性 函数的最大值最小值 3Word文件下载.docx

1、由图象知点（1,2）是最高点，故ymax2.点（2，f（2）是最低点，故yminf（2）C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数yf（x），x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是（3,3），最低的点是（1.5，2），所以函数yf（x）当x3时取得最大值，最大值是3.当x1.5时取得最小值，最小值是2.函数的单调递增区间为1.5,3），5,6），单调递减区间为4，1.5），3,5），6,7观察函数图象，最高点坐标（3,3），最低点（1.5，2）方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最

2、值情况，并写出值域y|x1|2图象如图所示由图象知，函数y|x1|2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为（，2利用x的不同取值先去绝对值，再画图类型二利用单调性求函数的最大（小值）例2已知f（x），（1）判断f（x）在（1，）上的单调性，并加以证明（2）求f（x）在2,6上的最大值和最小值【解析】（1）函数f（x）在（1，）上是减函数证明：任取x2x11，则f（x1）f（x2）因为x110，x210，x2x10，所以f（x1）f（x2）即f（x1）f（x2）所以f（x）在（1，）上是减函数（2）由（1）可知f（x）在（1，）上是减函数，所以f（x）在2,6上是减函数，所以f（x）maxf（2

3、）1，f（x）minf（6），即f（x）min，f（x）max1.（1）用定义法证明函数f（x）在（1，）上的单调性（2）利用函数单调性求最大值和最小值1利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤（1）判断函数的单调性（2）利用单调性求出最大（小）值2函数的最大（小）值与单调性的关系（1）若函数f（x）在区间a，b上是增（减）函数，则f（x）在区间a，b上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）（2）若函数f（x）在区间a，b上是增（减）函数，在区间b，c上是减（增）函数，则f（x）在区间a，c上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个跟踪训练2已知函

4、数f（x），求函数f（x）在1,5上的最值先证明函数f（x）的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2f（x1）f（x2）.由于x2，所以x2x10，且（2x11）（2x21）0，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以函数f（x）在区间上是减少的，所以函数f（x）在1,5上是减少的，因此，函数f（x）在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f（1）3，最小值为f（5）类型三二次函数最值例3求f（x）x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值【解析】f（x）（xa）21a2，其图象的对称轴为直线xa.（1）当a0时，由图可知，f（x）minf（0）1

5、，f（x）maxf（2）34a.（2）当0a1时，由图可知， f（x）minf（a）1a2，f（x）maxf（2）34a.（3）当12时，由图可知，f（x）minf（2）34a，f（x）maxf（0）1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线xa，位置不确定，所以应按对称轴与区间0,2的相对位置进行分类讨论1如何求二次函数在闭区间m，n上的最值？确定二次函数的对称轴xa；根据am，maan，an这4种情况进行分类讨论；写出最值2求二次函数的最值常用的数学思想方法数形结合思想、分类讨论思想跟踪训练3已知函数f（x）3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数

6、的最大值和最小值：（1）R；（2）0,3；（3）1,1f（x）3x212x53（x2）27.（1）当xR时，f（x）3（x2）277，当x2时，等号成立故函数f（x）的最小值为7，无最大值（2）函数f（x）3（x2）27的图象如图所示，由图可知，在0,3上，函数f（x）在x0处取得最大值，最大值为5；在x2处取得最小值，最小值为7.（3）由图可知，函数f（x）在1,1上是减函数，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.基础巩固（25分钟，60分）一、选择题（每小题5分，共25

7、分）1下列函数在1,4上最大值为3的是（）Ay2By3x2Cyx2 Dy1xB，C在1,4上均为增函数，A，D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.则f（x）的最大值、最小值分别为（）A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对当1x1时，6x78，当1x2时，82x610.f（x）minf（1）6，f（x）maxf（2）10.故选A.3若函数yx26x7，则它在2,4上的最大值、最小值分别是（）A9，15 B12，15C9，16 D9，12函数的对称轴为x3，所以当x3时，函数取得最小值为16，当x2时，函数取得最大值为9，故选C.4已知函数f（x），x8，4），则下列说法

8、正确的是（）Af（x）有最大值，无最小值Bf（x）有最大值，最小值Cf（x）有最大值Df（x）有最大值2，最小值f（x）2，它在8，4）上单调递减，因此有最大值f（8），无最小值故选A.5已知函数f（x）x24xa，x0,1，若f（x）有最小值2，则f（x）的最大值为（）A1 B0C1 D2f（x）（x24x4）a4（x2）24a，函数f（x）图象的对称轴为x2.f（x）在0,1上单调递增又f（x）min2，f（0）2，即a2.f（x）maxf（1）1421.二、填空题（每小题5分，共15分）6函数f（x）的最大值为_当x1时，函数f（x）为减函数，所以f（x）在x1处取得最大值，为f（1）1

9、；当x1）上的最小值是，则b_.因为f（x）在1，b上是减函数，所以f（x）在1，b上的最小值为f（b），所以b4.4三、解答题（每小题10分，共20分）9已知函数f（x）|x|（x1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题（1）写出函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值f（x）|x|（x1）的图象如图所示（1）f（x）在和0，） 上是增函数，在上是减函数，因此f（x）的单调递增区间为，0，）；单调递减区间为（2）因为f，f（）所以f（x）在区间上的最大值为10已知函数f（x），x3,5（1）判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；（2）求该函数的最大

10、值和最小值（1）函数f（x）在3,5上是增加的，设任意x1，x2，满足3x1x25.因为f（x1）f（x2）因为3x10，x210，x1x20.所以f（x1）f（x2）即f（x1）所以f（x）在3,5上是单调递增的（2）f（x）minf（3）f（x）maxf（5）能力提升（20分钟，40分）11当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，1 B（，0C（，0） D（0，）令f（x）x22x，则f（x）x22x（x1）21.又x0,2，f（x）minf（0）f（2）0.a12用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f（x）min4x1，x4，x8的最大值是_在同一

11、坐标系中分别作出函数y4x1，yx4，yx8的图象后，取位于下方的部分得函数f（x）min4x1，x4，x8的图象，如图所示，由图象可知，函数f（x）在x2时取得最大值6.613求函数f（x）x22x2在区间t，t1上的最小值g（t）f（x）x22x2（x1）21，xt，t1，tR，其图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间t，t1上为增函数，所以最小值g（t）f（t）t22t2.综上可得，g（t）14已知函数f（x），x1，）（1）当a时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围时f（x）x2.设1x1x2，则f（x2）f（x1）（x2x1）（1），1x10,2x1x22，0f（x2）f（x1）0，f（x1）0恒成立x22xa0恒成立. 设yx22xa，x1，），则函数yx22xa（x1）2a1在区间1，）上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f（x）0恒成立，故a的取值范围为（3，）