高中数学单调性 函数的最大值最小值 3Word文件下载.docx
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由图象知点(1,2)是最高点,故ymax=2.点(-2,f(-2))是最低点,故ymin=f(-2).
C
类型一 图象法求函数的最值
例1 如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间.
【解析】 观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),
所以函数y=f(x)当x=3时取得最大值,最大值是3.
当x=-1.5时取得最小值,最小值是-2.
函数的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),
单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].
观察函数图象,最高点坐标(3,3),最低点(-1.5,-2).
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
y=-|x-1|+2=
图象如图所示.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值,
所以其值域为(-∞,2].
利用x的不同取值先去绝对值,再画图.
类型二 利用单调性求函数的最大(小值)
例2 已知f(x)=
,
(1)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值.
【解析】
(1)函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.
证明:
任取x2>
x1>
1,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
因为x1-1>
0,x2-1>
0,x2-x1>
0,
所以f(x1)-f(x2)>
即f(x1)>
f(x2).
所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.
(2)由
(1)可知f(x)在(1,+∞)上是减函数,
所以f(x)在[2,6]上是减函数,
所以f(x)max=f
(2)=1,f(x)min=f(6)=
,即f(x)min=
,f(x)max=1.
(1)用定义法证明函数f(x)在(1,+∞)上的单调性.
(2)利用函数单调性求最大值和最小值.
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
跟踪训练2 已知函数f(x)=
,求函数f(x)在[1,5]上的最值.
先证明函数f(x)=
的单调性,设x1,x2是区间
上的任意两个实数,且x2>
f(x1)-f(x2)=
.
由于x2>
,所以x2-x1>
0,且(2x1-1)·
(2x2-1)>
0,所以f(x1)-f(x2)>
0,即f(x1)>
f(x2),所以函数f(x)=
在区间
上是减少的,所以函数f(x)在[1,5]上是减少的,因此,函数f(x)=
在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值,
即最大值为f
(1)=3,最小值为f(5)=
类型三 二次函数最值
例3 求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】 f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.
(1)当a<
0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f
(2)=3-4a.
(2)当0≤a≤1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,
f(x)max=f
(2)=3-4a.
(3)当1<
a≤2时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.
(4)当a>
2时,由图④可知,f(x)min=f
(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关,而题中函数图象的对称轴为直线x=a,位置不确定,所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论.
1.如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值?
①确定二次函数的对称轴x=a;
②根据a<
m,m≤a<
≤a<
n,a≥n这4种情况进行分类讨论;
③写出最值.
2.求二次函数的最值常用的数学思想方法
数形结合思想、分类讨论思想.
跟踪训练3 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值:
(1)R;
(2)[0,3];
(3)[-1,1].
f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.
(1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7,当x=2时,等号成立.故函数f(x)的最小值为-7,无最大值.
(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示,由图可知,在[0,3]上,函数f(x)在x=0处取得最大值,最大值为5;
在x=2处取得最小值,最小值为-7.
(3)由图可知,函数f(x)在[-1,1]上是减函数,在x=-1处取得最大值,最大值为20;
在x=1处取得最小值,最小值为-4.
求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函数,所以可以采用配方法和图象法求解.
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A.y=
+2 B.y=3x-2
C.y=x2D.y=1-x
B,C在[1,4]上均为增函数,A,D在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A.
则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A.10,6B.10,8
C.8,6D.以上都不对
当-1≤x<
1时,6≤x+7<
8,
当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10.
∴f(x)min=f(-1)=6,
f(x)max=f
(2)=10.故选A.
3.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A.9,-15B.12,-15
C.9,-16D.9,-12
函数的对称轴为x=3,
所以当x=3时,函数取得最小值为-16,
当x=-2时,函数取得最大值为9,故选C.
4.已知函数f(x)=
,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( )
A.f(x)有最大值
,无最小值
B.f(x)有最大值
,最小值
C.f(x)有最大值
D.f(x)有最大值2,最小值
f(x)=
=2+
,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=
,无最小值.故选A.
5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.-1B.0
C.1D.2
∵f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a,
∴函数f(x)图象的对称轴为x=2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增.
又∵f(x)min=-2,∴f(0)=-2,即a=-2.
∴f(x)max=f
(1)=-1+4-2=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=
的最大值为________.
当x≥1时,函数f(x)=
为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
当x<
1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
2
7.函数y=x+
的最小值为________.
令
=t,t≥0,则x=t2+1,
所以y=t2+t+1=
2+
当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1.
1
8.函数f(x)=
在[1,b](b>
1)上的最小值是
,则b=________.
因为f(x)在[1,b]上是减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)=
,所以b=4.
4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.
(1)写出函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间
上的最大值.
f(x)=|x|(x+1)=
的图象如图所示.
(1)f(x)在
和[0,+∞)上是增函数,
在
上是减函数,
因此f(x)的单调递增区间为
,[0,+∞);
单调递减区间为
(2)因为f
,f(
)=
所以f(x)在区间
上的最大值为
10.已知函数f(x)=
,x∈[3,5].
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;
(2)求该函数的最大值和最小值.
(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的,
设任意x1,x2,满足3≤x1<
x2≤5.
因为f(x1)-f(x2)=
因为3≤x1<
x2≤5,所以x1+1>
0,x2+1>
0,x1-x2<
0.
所以f(x1)-f(x2)<
即f(x1)<
所以f(x)=
在[3,5]上是单调递增的.
(2)f(x)min=f(3)=
f(x)max=f(5)=
[能力提升](20分钟,40分)
11.当0≤x≤2时,a<
-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.(-∞,0]
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f
(2)=0.
∴a<
12.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是________.
在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示,
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.
6
13.求函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值g(t).
f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,其图象的对称轴为x=1.
当t+1<
1,即t<
0时,函数图象如图
(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,
所以最小值g(t)=f(t+1)=t2+1;
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图
(2)所示,最小值g(t)=f
(1)=1;
当t>
1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,
所以最小值g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上可得,g(t)=
14.已知函数f(x)=
,x∈[1,+∞).
(1)当a=
时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>
0恒成立,试求实数a的取值范围.
时f(x)=x+
+2.
设1≤x1<
x2,则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-
),
∵1≤x1<
x2,∴x2-x1>
0,2x1x2>
2,
∴0<
<
,1-
>
∴f(x2)-f(x1)>
0,f(x1)<
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数.
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f
(1)=
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>
0恒成立⇔x2+2x+a>
0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数.
所以当x=1时,y取最小值,即ymin=3+a,
于是当且仅当ymin=3+a>
0时,函数f(x)>
0恒成立,
故a的取值范围为(-3,+∞).