高等数学第17章第1节可微性.docx

1、高等数学第17章第1节可微性第十七章多元函数微分学 1可微性一 可微性与全微分与一元函数一样，在多元函数微分学中，主要讨论多元函数的可微性及其应用 本章首先建立二元函数可微性概念 ，至于一般n元函数的可微性不难据此相应地给出 （对此，在第二十三章有更详细的论述 ）.定义1设函数z = f（x,y）在点Pox。的某领域U（P。）内有定义,对于U（P。）中 的点P（x, y） =（xo y。ry）,若函数f在点Po处的全增量 z可表示为：z = f （x。： =x, y。 ：y） - f （x, y）二 A ：x B ：y o（ J （1）其中A,B是仅与点Po有关的常数，t Ax? .Vy2,o

2、CJ是较t高阶的无穷小量，则称函数f在点Po可微，并称（1）式中关于勺的线性函数 A.lx B y为函数f在点Po的全 微分，记作dz|P=df（x，y。）= Ax+B 也y （2）由（1） （2）可见dz是z的线性主部，特别当：x y充分小时，全微分dz可作为全增量 z的近似值，即f （x, y） ： f （x。，y。） A（x - x。）B（y - y。）. （3）在使用上，有时.也把1式写成如下形式lz = Alx B = y ： lx 二y， （4）这里例1考察函数f（x,y）二xy在点（x0,y。）处的可微性.解 在点（x，y。）处函数f的全增量为f xo, y。=（x。 ：x，y。

3、 y） -x，y。二 y。二x x。二 y 二xy.由于也 xAy| lAAyl=p0（Pt 0 P P P因此 xiy =o p .从而函数f在xo，y。可微，且df 二 y。 ：x x。 y. 二偏导数由一元函数微分学知道：若f x在点x。可微，则函数增量 f （x。汶）f （x。）= A x o x，其中止二f x。.同样，由上一段已知，若二元函数 f在点（x，y。）可微，则f在点（x。，y。）处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A、B 的值与函数f的关系.为此，在（4）式中令-y =。心。，这时得到辽关于x的偏增量 厶xZ，且有A Ax z厶xz = A. X :-. x 或 -

4、A 件二.Ax现让x 0 ,由上式便得A的一个极限表示式xZ f (Xo x yo) - f (xo, yo)A 二 lim limZ Ax容易看出，(5)式右边的极限正是关于 x的一元函数f x,y0在x=x0处的导数.类似地， 令ex = 0上y =0，由(4)式又可得到yz f (xo,y y) - f (xo, yo)B = lim lim2 3 Ao Ay它是关于y的一元函数f x,y在y =y处的导数.二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：定义2设函数z = f (x, y), (x, y) D.若(x, y) D，且f x, y 在x的某一邻

5、域 内有定义，则当极限lim Jf(xo,yo) _ lim f(X。 ：x, y。)一 f (xo, y。)匚J0 =x 4Q _x存在时，称这个极限为函数 f在点(x0, y0)关于x的偏导数，记作d注意1这里符号 ,专用于偏导数算符， 与一兀函数的导数符号 相仿，但又有:x ；:y dx函数z = f(x,y)在区域D上对x (或对y )的偏导函数(也简称偏导数)，记作fx(x,y)或込!fy(x,y 或 5)也可简单地写作fx,.:fzx 或 fy,zy或 cy丿z = f (x, y)的几何图象通常是三维空间中的曲面设ex 在上一章中已指出，二元函数Po xo, yo, zo为这曲面

6、上一点，其中 Zo=f(xo,yo)，过Po作平面y =y，它与曲面的交线y = yo,Z= f (x,y)是平面y二yo上的一条曲线。于是，二元函数偏导数的几何意义(如图17- 1)是:fx(xo, yo)作为一元函数f (x, yo) 在x =x的导数，就是曲线C在点Po处的切线Tx对于x轴 的斜率，即Tx与x轴正向所成倾角的正切 tana。同样，fy(Xo,y)是平面x =Xo与曲面z = f(x,y)的交线C:丿X = Xo,z = f (x, y)在点Po处的切线Ty关于y轴的斜率tan 1 .由偏导数的定义还知道，函数 f对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常数，从而变成一

7、元函数的求导问题。因此第五章中有关求导的一些基本法则，对多元函数 求偏导数仍然适用。3 2 3例2求函数f (x, y) = x 2x y - y在点(1,3)关于x和关于y的偏导数.解 先求f在点(1,3)关于x的偏导数，为此，令 y = 3，得到以x为自变量的函数3 2f(x,3)=x 6x -27，求它在x=1的导数，即通常为可分别先求出 f关于x和y的偏导函数：2 fx(x, y)=3x 4xy, fx(x, y) = 2x2 3y2.然后以(x,y) =(1,3)代入，也能得到同样结果. 例3求函数z = xy x 0的偏导数. 解氐 y4 EZ y lny x , x in x.x

8、 ；:y例4求三元函数u =sin(x y2 -ez)的偏导数.解把y和z看作常数，得= cos(x y2 -ez).；:u:x把x, z看作常数，得-u 2ycos(x y2 -ez).:y把x, y看作常数，得-ezcos(x y2 _ez)(5),(6)两式可得如下定理:三可微性条件 由偏导数定义及定理17.7 (可微的必要条件) 若二元函数f在其定义域内一点(x0, y0)处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 1式.中的A 二 fx(xo, yo), B 二 fy(xo, yo)依此函数f在点(x,y)的全微分(2)可惟一表示为df Lxo，yo)= fx(Xo, yo)

9、x fy(Xo，yo)y与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即.：x = dx,. ：y = dy,所以全微分又可写成为若函数f在区域 全微分为dz = fx（x0, y）dx fy（x0, y0）dy.D上每一点（x, y）都可微，则称函数f在区域D上可微,(8)df (x,y)二 fx(x, y)dx fy(x, y)dy.例5考察函数侮沪八,/宀0,0,x2 + y2 = 0在原点的可微性.f 叭讪口巾力）o x解按偏导数定义0，。)测 &同理可得fy 0,0 = 0。若函数f在原点可微，贝U :z -dz = f (0 ：x,0 ：y) - f(0,0) - fX(

10、0,0). ：x - fy(0,0). ：ylx =y2应是较二、匕X2 Ly2高阶的无穷小量.为此，考察极限也zdz广 也xAylim lim .2 2,甘 p g .Ax2 +Ay2由第十 六章 2例3知道，上述极限存在，因而函数 f在原点不可微。这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定可微（但对于一元函数来说，函数可微与导数存在是等价的）.定理17.2 （可微的充分条件） 若函数z = f （x, y）的偏导数在点（x0,y0）的某邻域内存在，且fx与fy在点（Xo, yo）处连续，则函数f在点（Xo, yo）可微.证我们把全增量厶z写作z 二 f（xo =x, yo =y） - f

11、（Xo, y）=f（X。 ：x,y ：y） - f（xo,y y）】+f （xo,y。My）f（xo,yo）.在第一个括号里，它是函数 f（x.,y。厶y）关于x的偏增量；第二个括号里，则是函数f（xo,y）关于x的偏增量。对它们分别应用一元函数的拉格 朗日中值定理，得z = fx（x。+8Qx,yo +Ay）Ax + fy（xo,y。+02纫）0 ：片，丁2 1由于fx与fy在点（Xo,yo）连续，因此有fx（Xo +fy（Xo，yo * y）二 fy（Xo, y）：，其中当C；x,Cy）o,o时， oj o将io、11代入（9）式，则得 Z 二 fx（Xo，y。）：x fy（Xo，y。）y

12、 ： X dy.由4式便知函数f在点（x0,y0）可微。根据这个定理，例2中的函数f（x,y）=x3 2x2y-y3在点1,3可微，且 df |（1,3）= 15dx 25dy.例 3 中的函数 z = xy 在 D - x, y | x 0, - ： : y ： :：上可微，且dz = yxydx xy ln xdy.f(x,y注意偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数2 2. 1 2 2y sin2 2 ,x y -0, P而趋于零（图17-2）.由于hsin ,d其中h和d分别表示点Q到直线PT的距离和Q到P的距离，因此当Q沿S趋于P时，0等同于h 0.d仿照这个想法，我们引入曲面S

13、在点P的切平面定义：定义3设P在曲面S上一点n,为通过点 P的一个平面，曲面 S上的动点Q到定点P 和到平面n的距离分别为 d与h (图17-3)。.若当Q在S上以任何方式趋近于 P时，恒有 0，则称平面n为曲面 S在点P处的切平面，P为切点.d定理17.4 曲面z = f(x, y)在点P(xo, yo, f (Xo，yo)存在不平行于z轴的切平面n 的充要条件是函数 f在点Po (x0, y0)可微.证充分性若函数 f在Po可微，由定义知 :z 二 Z-Z。二 fx(Xo，yo)(x-Xo) fy(xo，yo)(y - y)。(门，2 2其中 Zo 二 f(X。，y), ； = (x-X。

14、) ，(y-yo) 现在讨论过点 P(x,yo,Zo)的平面 Z -Zo = fx(Xo, y)(x -Xo) fy(Xo，yo)(Y - y。)，其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标. 我们证明它就是曲面 z= f (x,y)在点P的切平面n。事实上，由解析几何学知道，曲面上任意一点 Q(x, y,z)到这个平面的距离为|z-zo - fx(xo,y)(x-X。)- fy(xo,y)(y- yo)h =2 2.V fx (Xo,y) fy (Xo,y)_ o( p)|h + fx2(Xo,yo) + fy2(Xo,yo)另一方面，P到Q的距离为于是由h _o及dh h d ?d = . (x

15、Xo)2 (y yo)2 (z Zo)2 二.2 (z Zo)2 一 厂o J 1 P J + fx2(Xo,yo) + fy2(Xo, yo)根据定义3,平面n为曲面z = f (x, y)在点P的切平面.必要性 若曲面z = f(x,y)在P(xo, yo, f (xo，yo)存在不平行于z轴的切平面Z -Zo =A(X -Xo) B(Y - yo).z Zo A(x x) B(y - y)|1 A2 B2Q充分接令 x x0 - ,x,y y0 二:：y,z-z0 - :：z,- . :：x 二y2 .由切平面定义知，当 近P时，有卫_； 0。因此对于充分接近 P的Q,有dh z - A

16、x- By 1,d d .1 A2 B2 2 J A2 B2即I bz- AAx _ BAy| c d =丄 Ax2 + Ay2 + Az2 =丄 J P2 十民2.2 2 2由不等式a - b兰a b得迂- A 制 |B|卜y ： rz2 W， z，故有1 1理z VAQxl+IBQy+P,而且曽 2(A曽+|B甲)+12(A+|B) + 1,.z因此 是有界量，从而由p知d是有界量，于是当0时，有_z = Alx Biy o .这就证明了函数z二f(x, y)在点(X0,y)是可微的。 口定理17.4说明：若函数f在(X。，y)可微，则曲面z = f (x, y)在点P(X0,y, z)

17、处的切平面方程为z -Z。二 fx(x。，y)(x -x) fy(X0，y0)(y - y). ( 13)过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点 P的法线.由切平面方程知道，法线的方向数是-(fx(x0, Y0), fy(x0, Y0)1),所以过切点P的法线方程是(x -X。)_ (y-y) = z - zfx(X0,y) fy(X0,y) -117 4所示，当自变量增量为 ：x ：y时，函数f (x, y)在点(Xo,y)的全微分二元函数全微分的几何意义如图z = f (x, y)增量心z是竖坐标上的一段 NQ而二元函数z =dz = fx(x, y). ：x fy(x, yo). ：y的

18、值是过P的切平面二二hw上，当自变量x,y分 别Xo,y。由增加到X。 xy。 y时的增量，即Pt那一段，于是 z与dz之差是MQ它的值随着 而趋于零，而且是较 匸高阶的无穷小量.例6 试求抛物面z - ax2 by2在M (xo, yo, zo)处的切平面方程与法线方程。解因为fx(X0,y) =2ax, fy(x0,y) =2by,由公式(13),过M的切平面方程为1.083.96 二 f (x。 . xy。 ：y):f(1,4) fx(1,4).，x fy(1,4)：y=1 4 4 0.08 14 Jn1 .(Og)=1 0.32 =1.3218 应用公式S absinC 计算某三角形面

19、积，2a = 12.50, b =8.30, C =30 若测量a, b的误差为-0.01, C的误差为-0.1，求用此公 式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.ji1800解 依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为a = 0.01, b =0.01, C = 0.1由于cScSSS dS=也a十山b +ACcacbcCS 二cS,.,cS,.,1cS1 . _a +3dCa sin c|9b1=|bsi n c|#a1+ |ab cosC| AC , 2因为S : 0.13.S所以S的相对误差限为1 1 1absinC 12.50 *8.30 25.94.2 2 2作业布置：P116 1：SS0.1325.940.5%.(7);P117 7.