高等数学第17章第1节可微性.docx
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高等数学第17章第1节可微性
第十七章多元函数微分学
§1可微性
一可微性与全微分
与一元函数一样，在多元函数微分学中，主要讨论多元函数的可微性及其应用•本章首
先建立二元函数可微性概念，至于一般n元函数的可微性不难据此相应地给出（对此，在第
二十三章有更详细的论述）.
定义1设函数z=f（x,y）在点Pox。
」。
的某领域U（P。
）内有定义,对于U（P。
）中的点P（x,y）=（xo•y。
ry）,若函数f在点Po处的全增量z可表示为：
■■z=f（x。
：
=x,y。
「：
y）-f（x,y）
二A：
xB：
yo（J
（1）
其中A,B是仅与点Po有关的常数，tAx?
•.Vy2,oCJ是较t高阶的无穷小量，则称函
数f在点Po可微，并称
（1）式中关于勺的线性函数A.lxBy为函数f在点Po的全微分，记作
dz|P°=df（x°，y。
）=A^x+B也y
（2）
由
（1）
（2）可见dz是z的线性主部，特别当：
x^y充分小时，全微分dz可作为全增量z
的近似值，即
f（x,y）：
f（x。
，y。
）A（x-x。
）B（y-y。
）.（3）
在使用上，有时.也把1式写成如下形式
lz=AlxB=y：
」■lx二y，（4）
这里
例1考察函数f（x,y）二xy在点（x0,y。
）处的可微性.
解在点（x°，y。
）处函数f的全增量为
fxo,y。
=（x。
：
x，y。
y）-x°，y。
二y。
二xx。
二y二x^y.
由于
也xAy|lA^Ayl
——=p―0（Pt0]PPP
因此xiy=op.从而函数f在xo，y。
可微，且
df二y。
：
xx。
y.□
二偏导数
由一元函数微分学知道：
若fx在点x。
可微，则函数增量f（x。
「汶）「f（x。
）=Axox，其中止二f'x。
.同样，由上一段已知，若二元函数f在点（x°，y。
）可微，则f在点（x。
，y。
）处的全增量可由
（1）式表示.现在讨论其中A、B的值与函数f的关系.为此，在（4）式中令-y=。
心。
，这时得到「辽关于x的偏增量厶xZ，且有
AAxz
厶xz=A.X:
-.x或-A件二.
Ax
现让x>0,由上式便得A的一个极限表示式
xZ「f（Xo•xyo）-f（xo,yo）
A二limlim
ZAx
容易看出，（5）式右边的极限正是关于x的一元函数fx,y0在x=x0处的导数.类似地，令ex=0上y=0，由（4）式又可得到
yz「f（xo,y°y）-f（xo,yo）
B=limlim
23A^oAy
它是关于y的一元函数fx°,y在y=y°处的导数.
二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：
定义2设函数z=f（x,y）,（x,y）•D.若（x°,y°）•D，且fx,y在x°的某一邻域内有定义，则当极限
limJf（xo,yo）_limf（X。
：
x,y。
）一f（xo,y。
）
匚J0=x4Q_x
存在时，称这个极限为函数f在点（x0,y0）关于x的偏导数，记作
d
注意1这里符号—,—专用于偏导数算符，与一兀函数的导数符号相仿，但又有
:
x；:
ydx
函数z=f（x,y）在区域D上对x（或对y）的偏导函数（也简称偏导数），记作
fx（x,y）或込!
fy（x,y或5）
也可简单地写作fx,
.:
f
zx或~fy,zy或~~
cy•丿
z=f（x,y）的几何图象通常是三维空间中的曲面•设
ex\
在上一章中已指出，二元函数
Poxo,yo,zo为这曲面上一点，其中Zo=f（xo,yo），过
Po作平面y=y°，它与曲面的交线
y=yo,
]Z=f（x,y）
是平面y二yo上的一条曲线。
于是，二元函数偏导数的几
何意义（如图17-1）是:
fx（xo,yo）作为一元函数f（x,yo）在x=x°的导数，就是曲线C在点Po处的切线Tx对于x轴的斜率，即Tx与x轴正向所成倾角的正切tana。
同样，
fy（Xo,y°）是平面x=Xo与曲面z=f（x,y）的交线
C:
丿
X=Xo,
z=f（x,y）
在点Po处的切线Ty关于y轴的斜率tan1.
由偏导数的定义还知道，函数f对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常
数，从而变成一元函数的求导问题。
因此第五章中有关求导的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用。
323
例2求函数f（x,y）=x•2xy-y在点（1,3）关于x和关于y的偏导数.
解先求f在点（1,3）关于x的偏导数，为此，令y=3，得到以x为自变量的函数
32
f（x,3）=x6x-27，求它在x=1的导数，即
通常为可分别先求出f关于x和y的偏导函数：
2fx（x,y）=3x4xy,fx（x,y）=2x2—3y2.
然后以（x,y）=（1,3）代入，也能得到同样结果.例3求函数z=xyx0的偏导数.解
氐y4EZyln
y•x,xinx.
.x；:
y
例4求三元函数u=sin（x•y2-ez）的偏导数.
解把y和z看作常数，得
=cos（xy2-ez）.
；:
u
:
x
把x,z看作常数，得
-u
'2ycos（xy2-ez）.
■:
y
把x,y看作常数，得
—--ezcos（xy2_ez）
（5）,（6）两式可得如下定理:
三可微性条件由偏导数定义及
定理17.7（可微的必要条件）若二元函数f在其定义域内一点（x0,y0）处可微，则f
在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且1式.中的
A二fx（xo,yo）,B二fy（xo,yo）
依此函数f在点（x°,y°）的全微分
（2）可惟一表示为
dfLxo，yo）=fx（Xo,yo）xfy（Xo，yo）「y
与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即
.：
x=dx,.：
y=dy,
所以全微分又可写成为
若函数f在区域全微分为
dz=fx（x0,y°）dxfy（x0,y0）dy.
D上每一点（x,y）都可微，则称函数f在区域D上可微,
（8）
df（x,y）二fx（x,y）dxfy（x,y）dy.
例5考察函数
侮沪八,/宀0,
0,x2+y2=0
在原点的可微性.
f"叭讪口巾
力）ox
解按偏导数定义
□0，。
）测&
同理可得fy0,0=0。
若函数f在原点可微，贝U
•:
z-dz=f（0•：
x,0•：
y）-f（0,0）-fX（0,0）.：
x-fy（0,0）.：
y
lx=y
2
应是较『二、匕X2Ly2高阶的无穷小量.为此，考察极限
也z—dz广也xAy
limlim.——22,
甘pg.Ax2+Ay2
由第十'六章§2例3知道，上述极限存在，因而函数f在原点不可微。
这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定可微（但对于一元函数来说，函数可
微与导数存在是等价的）.
定理17.2（可微的充分条件）若函数z=f（x,y）的偏导数在点（x0,y0）的某邻域内
存在，且fx与fy在点（Xo,yo）处连续，则函数f在点（Xo,yo）可微.
证我们把全增量厶z写作
z二f（xo=x,yo=y）-f（Xo,y°）
=f（X。
：
x,y°：
y）-f（xo,y°y）】
+〔f（xo,y。
My）f（xo,yo）.
在第一个括号里，它是函数f（x.,y。
•厶y）关于x的偏增量；第二个括号里，则是函数
f（xo,y）关于x的偏增量。
对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得
△z=fx（x。
+8Qx,yo+Ay）Ax+fy（xo,y。
+02纫）®
0：
：
片，丁21
由于fx与fy在点（Xo,yo）连续，因此有
fx（Xo+
fy（Xo，yo*’y）二fy（Xo,y°）：
，
其中当C；x,Cy）》o,o时，〉>oj>o将io、11代入（9）式，则得Z二fx（Xo，y。
）：
xfy（Xo，y。
）y：
Xdy.
由4式便知函数f在点（x0,y0）可微。
根据这个定理，例2中的函数f（x,y）=x32x2y-y3在点1,3可微，且df|（1,3）=15dx—25dy.
例3中的函数z=xy在D-x,y|x•0,-：
：
:
:
:
y：
：
：
•:
：
：
上可微，且
dz=yxy」dxxylnxdy.
f（x,y』
注意偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数
22.122
ysin——22,xy-0,
0,x2y2=0
在原点（0,0）处可微，但fx与fy却在（0,0）处不连续（见本节习题7）。
若z=f（x,y）在点
（X0,y°偏导数fx,fy连续，则称在点（X0,y°）连续可微。
在定理17.2证明过程中所出现的（9）式，实际上是二元函数的一个中值公式，即有如
下定理：
定理17.3设函数f在点（x0,y0）的某邻域内存在偏导数，若（x,y）属于该邻域，则存
在=X。
二1x-X。
和=y°•ry-y°,0：
：
：
宀，七：
:
:
1，使得
fX,y-fx°,y°=fx,yX-X。
fyX。
，y-y。
•（12）
我们还可以从可微性概念看到，函数在可微点处函数必连续，但在函数的连续点处不
一定存在偏导数，当然它更不能保证函数在该点可微。
例如，函数fx,y=x2y2（圆
锥）在原点连续，但在该点不存在偏导数。
更值得注意的是，即使函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，也不能保证函数在该点连续。
例如，
f
f（x,y）=*
xy22^
.2*2，x+y式0,
x+y
0,x2+y2=0
在原点不连续，但却存在偏导数
fx0,0二讥一X0,fy0,0二0.
这是因为偏导数只是刻画了函数沿x轴或y轴方向的变化特征.所以这个例子只能说明f
在原点分别对x和对y必定连续，但由此并不能保证f作为二元函数在原点连续.与定理
17.2相仿,只有对偏导数附加适当的条件后，才能保证函数连续性（有关内容可从本节习题
中去找）.
四可微性几何意义及应用
一元函数可微，在几何上反映为曲线存在不平行于y轴的切线.对于二元函数来说，可
微性则反映为曲面与切平面之间的类似关系.为此，我们需要先给出曲面的切平面的定义，
这可以从曲线的切线定义中获得启发.
在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在某一点Px0,y0的切线PT定义为过P点的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置（如果存在的话）.这时，PQ与PT的夹角也将随Q>P而趋于零（图17-2）.由于
h
sin,
d
其中h和d分别表示点Q到直线PT的距离和Q到P的距离，因此当Q沿S趋于P时，「》0
等同于h>0.
d
仿照这个想法，我们引入曲面S在点P的切平面定义：
定义3设P在曲面S上一点n,为通过点P的一个平面，曲面S上的动点Q到定点P和到平面n的距离分别为d与h（图17-3）。
.若当Q在S上以任何方式趋近于P时，恒有
—>0，则称平面n为曲面S在点P处的切平面，P为切点.
d
定理17.4曲面z=f（x,y）在点P（xo,yo,f（Xo，yo））存在不平行于z轴的切平面n的充要条件是函数f在点Po（x0,y0）可微.
证［充分性］若函数f在Po可微，由定义知
•:
z二Z-Z。
二fx（Xo，yo）（x-Xo）fy（xo，yo）（y-y°）。
（门，
22
其中Zo二f（X。
，y°）,；=（x-X。
），（y-yo）••现在讨论过点P（x°,yo,Zo）的平面Z-Zo=fx（Xo,y°）（x-Xo）•fy（Xo，yo）（Y-y。
），
其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标.我们证明它就是曲面z=f（x,y）在点P的切平面n。
事实上，由解析几何学知道，曲面上任意一点Q（x,y,z）到这个平面的距离为
|z-zo-fx（xo,y°）（x-X。
）-fy（xo,y°）（y-yo）
h=
22
.'Vfx（Xo,y°）fy（Xo,y°）
_o（p）|
\h+fx2（Xo,yo）+fy2（Xo,yo）
另一方面，P到Q的距离为
于是由h_o及
d
hh
—<—
d?
d=..（x—Xo）2（y—yo）2（z—Zo）2二..'2（z—Zo）2一厂
oJ1
PJ+fx2（Xo,yo）+fy2（Xo,yo）
根据定义3,平面n为曲面z=f（x,y）在点P的切平面.
［必要性］若曲面z=f（x,y）在P（xo,yo,f（xo，yo））存在不平行于z轴的切平面
Z-Zo=A（X-Xo）B（Y-yo）.
z—Zo—A（x—x°）—B（y-y°）|
1A2B2
Q充分接
令x—x0-,x,y—y0二:
■：
y,z-z0-:
■：
z,「-.:
：
x^二y2.由切平面定义知，当近P时，有卫_；0。
因此对于充分接近P的Q,有
d
hz-Ax-By1
dd.1A2B22JA2B2
即
Ibz-AAx_BAy|cd=丄£Ax2+Ay2+Az2=丄JP2十民2.
222
由不等式a-b兰a—b得
•迂-A制|B|卜y：
：
：
〉"rz2W，z，
故有
11
理zVAQxl+IBQy+^P,
而且
曽<2（A曽+|B甲）+1<2（A+|B）+1,
.z
因此是有界量，从而由
p
知d是有界量，于是当—0时，有
_z=AlxBiyo.
这就证明了函数z二f（x,y）在点（X0,y°）是可微的。
口
定理17.4说明：
若函数f在（X。
，y°）可微，则曲面z=f（x,y）在点P（X0,y°,z°）处的切平面方程为
z-Z。
二fx（x。
，y°）（x-x°）fy（X0，y0）（y-y°）.（13）
过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.由切平面方程知道，法线的方
向数是
-（fx（x0,Y0）,fy（x0,Y0）^1）,
所以过切点P的法线方程是
（x-X。
）_（y-y°）=z-z°
fx（X0,y°）fy（X0,y°）-1
17—4所示，当自变量增量为：
x^：
y时，函数
f（x,y）在点（Xo,y°）的全微分
二元函数全微分的几何意义如图
z=f（x,y）增量心z是竖坐标上的一段NQ而二元函数z=
dz=fx（x°,y°）.：
xfy（x°,yo）.：
y
的值是过P的切平面二二hw上，当自变量x,y分别Xo,y。
由增加到X。
xy。
y时的增量，即
Pt
那一段，于是z与dz之差是MQ它的值随着而趋于零，而且是较匸高阶的无穷小量.
例6试求抛物面z-ax2by2在
M（xo,yo,zo）处的切平面方程与法线方程。
解因为
fx（X0,y°）=2ax°,fy（x0,y°）=2by°,
由公式（13）,过M的切平面方程为
1.083.96二f（x。
.xy。
・：
y）
:
f（1,4）fx（1,4）.，xfy（1,4）：
y
=1440.0814Jn1.（—Og）
=10.32=1.32
1
8应用公式SabsinC计算某三角形面积，
2
a=12.50,b=8.30,C=30°•若测量a,b的误差为-0.01,C的误差为-0.1°，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.
ji
1800
解依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为
a=0.01,b=0.01,C=0.1
由于
cS
cS
SS—
dS
=
也a十
——山b+
AC
ca
cb
cC
S二
cS
.,cS
.,1cS1._
〔△a+
3d
△C
<
asinc|9b
1
=—|bsinc|#a
1
+—|abcosC|AC,2
因为
S:
0.13.
S
所以S的相对误差限为
111
absinC12.50*8.3025.94.
222
作业布置：
P1161
：
S
S
0.13
25.94
0.5%.
（7）;
P1177.
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