1、解归一问题时要记住:先求出“单一量”;分析是“顺归一”还是“逆归一”;注意有时要用倍比方法来解。通过分析和解题,我们得到解归一问题的基本方法: 先求出“单一量”。 顺归一:单一量份数=总量 逆归一:总量单一量=份数 运用上面的方法我们就可以顺利解题:鸡兔同笼例题1.笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有多少只?解题方法:1 假设法:如果笼子里都是鸡,那么就有82=16只脚,这样就多出26-16=10只脚;一只兔子比一只鸡多2只脚,也就是有102=5只兔。所以笼子里有3只鸡,5只兔。(总脚数总头数2)2=兔子数 总头数兔子数=鸡数2 假设法:如果笼子里都是兔,
2、那么就有84=32只脚,这样就少了32-26=6只脚;一只鸡比一只兔子少2只脚,也就是有62=3只鸡。(总头数4-总脚数)2=鸡数 总头数鸡数=兔子数3 抬腿法:假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起两只脚,还有262=13只脚;这时每只鸡一只脚,每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1;这时脚的总数与头的总数之差13-8=5,就是兔子的只数。总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数4 解方程法:解:设有只兔子,那么就有(8-)只鸡。 鸡兔总共26只脚,就是:4+2(8-)=26 则=5 8-5=3只例题2. 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮
3、票多40张,那么两种邮票各买了多少张?解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张。因此8分邮票有40+30=70(张).答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张。也可以用任意假设一个数的办法.解二:譬如,假设有20张4分,根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。以分作为计算单位,此时邮票总值是420+860=560.比680少,因此还要增加邮票。为了保持差是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是(680-420-860)(4+8)=10(张).因此4
4、分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).例3. 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成。倘若下雨,雨天比晴天多3天,工程要多少天才能完成解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有(150-83)(10+8)= 7(天).雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天).这项工程17天完成。请注意,如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个。这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之
5、差,又应该怎样去解呢例4.鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是(100+28(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).鸡62只,兔38只。当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是(100-284)(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法。假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是50-250=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换
6、成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)(4+2)=12(只).兔只数是50-12=38(只).另外,还存在下面这样的问题:总头数换成,总脚数也换成.例5. 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差1354+20=280(字).每首字数相差74-54=8(字).因此,七言绝句有280(28-20)=35(首).五言绝句有35+13=48(首).五言绝句48
7、首,七言绝句35首。假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是2023=460(字),2810=280(字),五言绝句的字数,反而多了460-280=180(字).与题目中少20字相差180+20=200(字).说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25(首).23+25=48(首).七言绝句有10+25=35(首).例6 .从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地,李
8、强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米?把来回路程452=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是(90-421)(5-4)=6(小时).单程平路行走时间是62=3(小时).从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是:45-53=30(千米).又是一个问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是:(67-30)(6-3)=4(小时).行走
9、路程是34=12(千米).下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是63=18(千米).从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米。例7. 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支?从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作(0.604+2.7)5=1.02(元).现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用公式可算出,钢笔支数是(300-1.02232)(6.3-1.02)
10、=12(支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支).其中圆珠笔220(4+1)=44(支).铅笔220-44=176(支).其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支。例12. 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?如果小明第一次测验24题全对,得524=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是86-2(15-6)=30(分).两次相差120-30=90(分).比题目中条件相差10分,多
11、了80分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分).(90-10)(6+10)=5(题).因此第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题).第一次得分519-1(24- 19)=90.第二次得分11-2(15-11)=80.第一次得90分,第二次得80分。答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9(题).第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去69.但两次满分都是120分。比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此,第二次答错题数是9+10)(6+10)=4(题)第一次答错9-4=5(题).第一次得分5(24-5)-15=90(分).第二次得分8(15-4)-24=80(分).
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