高中数学第一章计数原理12排列与组合122组合第2课时组合的综合应用讲义新人教A版选修23Word格式.docx

1、同的分法答案 （1）24 （2）34 （3）36033解析（1）C4A = 24（种）.（2）C4 C4 = 34（种）.（3）C 6C5c3a3= 360（种）.探究 1 有限制条件的组合问题例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列 情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有 C3种选法；第二步：选 2名女运动员，有 &种选 法，故共有C3C = 120种选法.（2）解法一： （ 直接法 ） “至少有 1 名女运动

2、员”包括以下几种情况， 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3女2男， 4女1男.由分类加法计数原理知共有 dC+ c4C+ cTC+c4C= 246种选法.解法二：（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C；。种选法，其中全是男运动员的 选法有C5种，故“至少有1名女运动员”的选法有 C?0- d= 246（种）.（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有 c9种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C4种选法，其中不含女运动员的选法有 c5种，故不选女队长时共有 c8- C种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 c9+ C!-C4= 191（种）.拓展提升解答有限制条件的组合问题的基本方

3、法是“直接法”和“间接法 （排除法）”，其中用直接法求解时， 应依据“特殊元素优先安排”的原则， 即优先安排特殊元素， 再安排其他元素. 而 选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时， 不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更 是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这 些组合问题的关键.跟踪训练 1 有 11 名外语翻译人员，其中 5名是英语译员， 4名是日语译员，另外两名 英、日都精通，从中找出 8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中 4人翻译英语， 4人翻译日语，这两个小组

4、能同 时工作，问这样的 8 人名单共可开出几张？解 解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：第一类，“英日都会”的人不参加，有 66种；第二类，“英日都会”的人有 1 人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有 C21C53C446cfc4 种；第三类，“英日都会”的均参加共有 c3c4a2+ de4+ c5c4种.由分类加法原理可得共有 Ck4+ CGC： + GUck &嵌+広匕+ c5c4= 185种. 解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类.第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有 c5C种；第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有 c2c3C5

5、种；第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有 C5C4种.由分类加法原理可得共有 c5c6+ c2c5c5 + c5c4= 185种.探究 2 与几何有关的组合问题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于 A, B的六个点C, C2, C3, G, C5, C6, 直径AB上有异于代B的四个点D, D2, D3, d问：（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含 C点的有多少个？（2）以图中的12个点（包括 代B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？解（1）C：+ C6 C+ C6 116（个）.其中以 C1 为顶点的三角形有c5+ d 4+ c4= 36（个）.（2）

6、c4 + c6 c6 + C6 c6 = 360（个）.（1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问 题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.（2）图形多少的问题通常是组合问题， 要注意共点、 共线、共面、异面等情形， 防止多算. 常 用直接法，也可采用排除法.（3）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明 确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.跟踪训练2 （1）四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 3个点，使它们和点A在同一平面上，有

7、多少种不同的取法？（2） 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取 法.解（1）（直接法）如图，含顶点 A的四面体的3个面上，除点 A外都有5个点，从中取出 3点必与点A共面共有3C3种取法；含顶点 A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点3共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理， 与顶点A共面的三点的取法有 3C5+ 3= 33（种）.（2）（间接法）如图，从10个点中取4个点的取法有 Co种，除去4点共面的取法种数可以 得到结果从四面体同一个面上的 6个点取出的4点必定共面有4C6 = 60（种），四面体的每一棱上 3点与相对棱中点共面，共有

8、 6种共面情况，从 6条棱的中点中取 4个点时有 3种共 面情形 （对棱中点连线两两相交且互相平分 ），故 4 点不共面的取法为 C140（60+6+3）=141（ 种） .探究 3 分组、分配问题角度 1：不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解（1）先从6本书中选2本给甲，有C2种选法；再从其余的 4本中选2本给乙，有C2 种选法；最后从余下的 2本书中

9、选2本给丙，有C2种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有C2c4c2= 90种方法.（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C6GC2种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A3种方法.根据分步乘法计数原理可得：c6c4C = xa3,所以x=石厂=15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 cic5d=60种方法.（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 c6c5c3a3= 360种方法.（5）可以分为三类情况：“ 2、 2、2型”即（1）中的分配情况，有 C2

10、C2C2= 90种方法； “1、2、3型”即 中的分配情况，有 c6Cc3a3= 360种方法；“ 1、1、4型”，有 住足=90种方法.所以一共有 90 + 360 + 90= 540种方法.“分组”与“分配”问题的解法（1）本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨 益.要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的.（2）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：1完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；2部分均匀分组，应注意不要重复，有 n组均匀，最后必须除以 n!；3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.（3）分配问题属于“排列”

11、问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 跟踪训练3按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2,4,6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间.解 （1）C ?2C4gC6= 13860. （2）飞=5775.=C?2 c 8 c 1= 34650种不同的分法.角度2:相同元素分配问题1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.例4 6个相同的小球放入 4个编号为（1）每个盒子都不空；（2）恰有一个空盒子；（3）恰有两个空盒子. 解 （1） 先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空

12、隙中任选3个空隙各插一块隔板，有 Ce= 10（种）.（2）恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00| ，有Cl种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00| ，有C种插法，故共有 CC= 40（种）.（3）恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有 c5种插法，如|00|0000| ，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒1这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如 |oo|oooo| ，有c3种插法.12将两块板与

13、前面三块板之一并放，如 |00|0000| ，有C3种插法.故共有 cC （oi+ c3）= 30（种）.相同元素分配问题的处理策略（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙 中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入 盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题（2）将n个相同的元素分给 m个不同的对象（nn），有 專1种方法.可描述为n 1个空中 插入 m1 块板跟踪训练 4 将 4个编号为 1,2,3,4 的小球放入 4个编号为 1,2,3,4 的盒子中（1）每盒至多一球，有多少种放法？（2）每

14、个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（3）把 4 个不同的小球换成 4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？（4）把 4 个不同的小球换成 20 个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数， 有多少种放法？解 （1） 这是全排列问题，共有 A44= 24 种放法（2）1个球的编号与盒子编号相同的选法有 C4种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余 3个球的投放方法有 2种，故共有C4 2= 8种放法.（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问

15、题，故共有 64= 12种放法.（4）（ 隔板法）先将编号为 1,2,3,4 的 4个盒子分别放入 0,1,2,3 个球，再把剩下的 14个球分成四组，即在OOOOOOOOOOOOOO这 14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有 C133= 286 种放法，如OO| OOOOO IOOOIOOOO,即编号为 1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球.探究 4 排列、组合的综合应用例5 有 5个男生和 3个女生，从中选出 5人担任 5门不同学科的科代表， 求分别符合下 列条件的选法数（1） 有女生但人数必须少于男生；（2） 某女生一定担任语文科代表；（3） 某男生必须包括在内，但不担任数

16、学科代表；（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解（1）先取后排，先取可以是 2女3男，也可以是1女4男，先取有c5ci+ c5c3种，后 排有 a!种，共（c5c3+ Cd） 5400（种）.（2）除去该女生后，先取后排，有 c7 A 4= 840（种）.（3）先取后排，但先安排该男生，有 C4A：= 3360（种）.（4）先从除去该男生、该女生的 6人中选3人有C3种，再安排该男生有 C3种，其中3人全排有种，共c6a3= 360（种）.解决排列、组合综合问题要遵循的两个原则（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径

17、考虑：1以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；2以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数. 跟踪训练 5 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4张分别标有数字 1,2,3,4 的 蓝色卡片，从这 8张卡片中取出 4张卡片排成一行.如果取出的 4张卡片所标的数字之和等 于 10，则不同的排法共有多少种？解 分三类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字 1,2,3,4时,不同的排法有 CCCCa4种.第 2 类，当取出的 4张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有 c

18、22 C22 A 44种.第 3 类，当取出的 4张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 c22 C22 A 44种.故满足题意的所有不同的排法种数共有 c12 C12 C21 C12 A442c22 C22 A 44= 432.1. 无条件限制的组合应用题其解题步骤为：（1） 判断； （2） 转化； （3） 求值； （4） 作答 .2. 有限制条件的组合应用题（1） “含”与“不含”问题： 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置， 一般来讲， 特殊要先满足， 其余则“一视同仁” 若正面入手不易， 则从反面入手， 寻找问题的突破口， 即采用排除法 解 题时要注意分清

19、“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确 切含义，准确把握分类标准 .（2） 几何中的计算问题： 在处理几何问题中的组合应用问题时， 应先明确几何中的点、 线、 面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问 题来解决 .（3） 分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相 同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的 .1市内某公共汽车站有 6 个候车位 （成一排 ），现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车， 则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是 （ ）A48 B

20、54 C 72 D 84答案 C解析 根据题意，先将3名乘客进行全排列，有 足=6（种）排法，排好后，有 4个空当， 再将1个空位和余下的两个连续的空位插入 4个空当中，有 A4= 12（种）方法，根据分步乘法 计数原理，共有6X 12= 72（种）候车方式.选 C.2如图是由 6个正方形拼成的矩形图案， 从图中的 12个顶点中任取 3个点作为一组 其 中可以构成三角形的组数为 （ ）A. 208 B . 204C. 200 D . 196解析 任取的 3 个顶点不能构成三角形的情形有 3 种：一是 3 条横线上的 4个点，其组 数为3C3;二是4条竖线上的3个点，其组数为4C1;三是4条对角

21、线上的3个点，其组数为 403,所以可以构成三角形的组数为： C?2 3C4- 8C3= 200,故选C.3若从1,2,3，9这9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法 共有（ ）A. 60 种 B . 63 种 C . 65 种 D . 66 种答案 D解析 分三种情况： （1）4 个都是偶数; （2） 两个为偶数, 两个为奇数; （3）4 个都是奇数. 故 共有 C44C42C25C54= 66（ 种） .故选 D.4. 2016年 3月10日是第十一届世界肾脏日,某社区服务站将 5位志愿者分成 3组,其 中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：

22、“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有 种（用数字作答）答案 90C1 c? c解析 a A 3= 90 种.5 .现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1张，求不同取法的种数.解 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C4XC4XC4 =64（种），若2张同色，则有 C3xc2xc2xc4= 144（种）；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有cixc? xc4xc4= 192（种），剩余2张同色，则有Cxc；xc = 72（种）,所以共有64 + 144 + 192+ 72 = 472种不同的取法.