高中数学第一章计数原理12排列与组合122组合第2课时组合的综合应用讲义新人教A版选修23Word格式.docx
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同的分法．
答案
（1）24
（2）34（3）360
33
解析
（1）C4A=24（种）.
（2）C4—C4=34（种）.
（3）C6C5c3a3=360（种）.
探究1有限制条件的组合问题
例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
［解］
（1）第一步：
选3名男运动员，有C3种选法；
第二步：
选2名女运动员，有&
种选法，故共有C3・C=120种选法.
（2）解法一：
（直接法）“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理知共有d・C+c4・C+cTC+c4・C=246种选法.
解法二：
（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C；
。
种选法，其中全是男运动员的选法有C5种，故“至少有1名女运动员”的选法有C?
0-d=246（种）.
（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有c9种选法；
不选女队长时，必选男队长，共有
C4种选法，其中不含女运动员的选法有c5种，故不选女队长时共有c8-C种选法•所以既有队
长又有女运动员的选法共有c9+C!
-C4=191（种）.
拓展提升
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法（排除法）”，其中用直
接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素.而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.
［跟踪训练1］有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8
人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？
解解法一：
按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：
第一类，“英日都会”的人不参加，有66种；
第二类，“英日都会”的人有1人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有C21C53C44＋
6cfc4种；
第三类，“英日都会”的均参加共有c3c4a2+de4+c5c4种.
由分类加法原理可得共有Ck4+CGC：
+GUck&
嵌+広匕+c5c4=185种.解法二：
按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类.
第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有c5C种；
第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有c2c3C5种；
第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有C5C4种.
由分类加法原理可得共有c5c6+c2c5c5+c5c4=185种.
探究2与几何有关的组合问题
例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点C,C2,C3,G,C5,C6,直径AB上有异于代B的四个点D,D2,D3,d
问：
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？
其中含C点的有多少个？
（2）以图中的12个点（包括代B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？
［解］
（1）C：
+C6・C+C6116（个）.
其中以C1为顶点的三角形有
c5+d4+c4=36（个）.
（2）c4+c6・c6+C6・c6=360（个）.
（1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.
（2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.
（3）在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
［跟踪训练2］
（1）四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和
点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.
解
（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C3种取法；
含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点
3
共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C5+3=33（种）.
（2）（间接法）如图，从10个点中取4个点的取法有Co种，除去4点共面的取法种数可以得到结果•从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面•有4C6=60（种），四面体的每
一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分），故4点不共面的取法为C140－（60+6+3）=
141（种）.
探究3分组、分配问题
角度1：
不同元素分组、分配问题
例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
［解］
（1）先从6本书中选2本给甲，有C2种选法；
再从其余的4本中选2本给乙，有C2种选法；
最后从余下的2本书中选2本给丙，有C2种选法；
所以分给甲、乙、丙三人，每人2
本，共有C2c4c2=90种方法.
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6GC2种方法，这个过程可以分两步完成：
第一步
分为三份，每份两本，设有x种方法；
第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A3种方
法.根据分步乘法计数原理可得：
c6c4C=xa3,所以x=—石厂=15.因此分为三份，每份两本
一共有15种方法.
（3）这是“不均匀分组”问题，一共有cic5d=60种方法.
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有c6c5c3a3=360种方法.
（5）可以分为三类情况：
①“2、2、2型”即
（1）中的分配情况，有C2C2C2=90种方法；
②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有c6Cc3a3=360种方法；
③“1、1、4型”，有住足=90
种方法.所以一共有90+360+90=540种方法.
“分组”与“分配”问题的解法
（1）本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的.
（2）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
1完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；
2部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!
；
3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（3）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.［跟踪训练3］按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
（1）各组人数分别为2,4,6人；
（2）平均分成3个小组；
（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间.
解
（1）C?
2C4gC6=13860.
（2）飞―=5775.
=C?
2•c8•c1=34650种不同的分法.
角度2:
相同元素分配问题
1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.
例46个相同的小球放入4个编号为
（1）每个盒子都不空；
（2）恰有一个空盒子；
（3）恰有两个空盒子.
[解]
（1）先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之
间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Ce=10（种）.
（2）恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙
中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有Cl种插法；
然后将剩下的一块隔板与前面
任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C・C=40（种）.
（3）恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙
中任选1个空隙各插一块隔板，有c5种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成
空盒．
1这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||oo||oooo|，有c3种插法.
1
2将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C3种插法.
故共有cC•（oi+c3）=30（种）.
相同元素分配问题的处理策略
（1）隔板法：
如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
（2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n》n），有專1种方法.可描述为n—1个空中插入m－1块板．
[跟踪训练4]将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
（1）每盒至多一球，有多少种放法？
（2）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
解
（1）这是全排列问题，共有A44=24种放法．
（2）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C4种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用
局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C4•2=8种放法.
（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个
盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有64=12种放法.
（4）（隔板法）先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个
球分成四组，即在OOOOOOOOOOOOOO这14个球中间的13个空中放入三块隔板，
共有C133=286种放法，如
OO|OOOOOIOOOIOOOO,即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球.
探究4排列、组合的综合应用
例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
[解]
（1）先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有c5ci+c5c3种，后排有a!
种，共（c5c3+Cd）5400（种）.
（2）除去该女生后，先取后排，有c7•A4=840（种）.
（3）先取后排，但先安排该男生，有C4・A：
=3360（种）.
（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C3种，再安排该男生有C3种，其中3人全
排有种，共c6・a3=360（种）.
解决排列、组合综合问题要遵循的两个原则
（1）按事情发生的过程进行分步；
（2）按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考虑：
1以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
2以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.
[跟踪训练5]有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
解分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有C・C・C・C・a4种.
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有c22•C22•A44种.
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有c22•C22•A44种.
故满足题意的所有不同的排法种数共有c12•C12•C21•C12•A44＋2c22•C22•A44=432.
1.无条件限制的组合应用题．其解题步骤为：
（1）判断；
（2）转化；
（3）求值；
（4）作答.
2.有限制条件的组合应用题
（1）“含”与“不含”问题：
这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
（2）几何中的计算问题：
在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
（3）分组、分配问题：
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.
1．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）
A．48B．54C．72D．84
答案C
解析根据题意，先将3名乘客进行全排列，有足=6（种）排法，排好后，有4个空当，再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空当中，有A4=12（种）方法，根据分步乘法计数原理，共有6X12=72（种）候车方式.选C.
2．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为（）
A.208B.204
C.200D.196
解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：
一是3条横线上的4个点，其组数为3C3;
二是4条竖线上的3个点，其组数为4C1;
三是4条对角线上的3个点，其组数为403,所以可以构成三角形的组数为：
C?
2—3C4-8C3=200,故选C.
3•若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）
A.60种B.63种C.65种D.66种
答案D
解析分三种情况：
（1）4个都是偶数;
（2）两个为偶数,两个为奇数;
（3）4个都是奇数.故共有C44＋C42C25＋C54=66（种）.故选D.
4.2016年3月10日是第十一届世界肾脏日,某社区服务站将5位志愿者分成3组,其
中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：
“尽快行动，
尽快预防”，不同的分配方案有种（用数字作答）•
答案90
C1•c?
•c
解析a•A3=90种.
5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，
要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数.
解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C4XC4XC4=64（种），
若2张同色，则有C3xc2xc2xc4=144（种）；
若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有cixc?
xc4xc4=192（种），
剩余2张同色，则有Cxc；
xc=72（种）,
所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.
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