高一函数的概念及其表示法Word格式.docx

1、a x b的实数的 x集合叫做也叫半开半闭 区间，表示为 a,b ；说明： 对于 a,b ， a,b ， a，b ， a,b 都称数 a和数 b 为区间的端点，其中 a为左端点， b 为右端点， 称 b-a 为区间长度；2引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法： 3xa, x b, xb 的 实数 x 的集合分别表示为 a,+ 、（ a,+ ）、 （- ,b） 、（- ,b） 。（见演示）题型一、函数概念例1、设集合 Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的 4个图形中，能表示集合 M 到集合 N的函数关 系的是 解析： 由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一

2、个 y，据此排除，中值域为 y|0y3 不合题意 答案： 例 2、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数？（1） y （ x）2 ； （2） y 3 x3 ； （3） y x2解析解：（ 1） y = x， x0， y 0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2） y=x ， x R， y R ，定义域值域都相同，是同一个函数；x（x 0）（3）y=| x|= ， y 0；值域不同，不是同一个函数。例 3、下列各组，函数 f （x）与 g（x） 表示同一个函数的是（ ）x2A f （x）=1， g（x）= x0 B f （x）=x0 ， g（x） =xC f （x）=x 2， g（

3、x）=（ x）4 D f（x）= x3， g（x）=（3 x）9答案： D例 4、已知函数 f （x） =2 x 3 ，求：（1） f （0）， f （2）， f （5）；（2） ff （x） ；（3）若 x 0，1，2，3 ，求函数的值域。（ 1） f（0） =3， f （2）=1， f （5） =7； （2） f f （x） =4x9；例 5、已知 a、b为实数，集合 M ab，1 ， N a, 0 ， f ： x x 表示把 M中的元素 x映射到集合 N中仍为 x， a则 ab等于 （ ）A 1 B 0C 1 D 1a1，b0， ab1.C3）f（x）=2n 1x2n 1 ，g（x）=（

4、2n 1x）2n1（nN*）；4）f（x）= x x 1，g（x）= x2 x ；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1剖析：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（ x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时， y= f（ x）和y=g（ x）才表示同一函数 若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然解：（ 1）由于 f（ x） = x2 =|x|，g（x）= 3 x3 =x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数|x| 1 x 0,（2）由于函数 f（x）= 的定义域为（， 0）（ 0，+），而 g（ x）= 的定义域为 R，x 1 x 0;所以它

5、们不是同一函数（3）由于当 nN*时，2n1为奇数， f（x）=2n 1x2n1 =x，g（x）=（2n 1x）2n1=x，它们的定义域、 值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数（4）由于函数 f（x）= x x 1的定义域为 x|x0，而 g（x）= x2 x的定义域为 x|x1或 x0 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数 （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数【总结】（1）第（ 5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透 要知道，在函数的定义域及对 应法则 f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响

6、，比如 f（ x） =x2+1 ，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1 ）2+1 都可视为同一函数（ 2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数题型二：求函数的定义域例 1、 求下列函数的定义域： f（x） 4 x2 1 f （x） x 3x 4x12 f（x） 1 1 1 f （x）（x 1）0xx3 3 3x 7要使函数有意义，必须： 4x2 1即：函数 f （x） 41 的定义域为：3, 3 要使函数有意义，必须：3x4或x3且xx 3或 3定义域为：x x| x1或x 或31或x4要使函数有意义，必须：11函数的定义域为： x|xR且x

7、0,1,12要使函数有意义，必须： x|x1x要使函数有意义，必须：即 x 733x|x例 2、 若函数 y ax2ax1 的定义域是aR，求实数 a的取值范围定义域是 R,ax21 0恒成立， 等价于4a100a2例 3、已知 f（x） 的定义域为 1，1 ，求 f（2x 1）的定义域。分析：法则 f 要求自变量在 1，1内取值，则法则作用在 2x1上必也要求 2x1在 1，1内取值，即 12x11,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域； 或者从位置上思考 f（2x 1）中2x1与 f（x） 中的x 位置相同，范围也应一样， 1 2x 11, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域。（注

8、意： f（x） 中的 x 与 f（2x 1） 中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。） 解： f（x） 的定义域为 1，1 ， 12x11，解之 0x1，f（2x 1）的定义域为 0 ，1例 4、已知 f（2x 1）的定义域为 0 ，1，求 f（x） 的定义域。因为 2x1是 R上的单调递增函数，因此由 2x1， x 0,1 求得的值域 1，1是 f（x） 的定义域。例 5、若函数 y f （x）的定义域为 1，1，求函数 y f （x ） f（x ）的定义域44 解：要使函数有意义，必须：534函数 y f （x1） f（x）的定义域为：x|求用解析式 y=f（x） 表示的函数的定义域时

9、，常有以下几种情况：1若 f（x） 是整式，则函数的定义域是实数集 R；2若 f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集；3若 f（x） 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0的实数集合；4若 f（x） 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；5若 f（x） 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 .题型三：求函数的值域函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类： （1） 求常见函数值域； （2）求由常见函数复合而成的函数的值域； （3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的

10、值域1直接法： 利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b（a 0）的定义域为 R，值域为 R ；k反比例函数 y （k 0）的定义域为 x|x 0 ，值域为 y|y 0；二次函数 f （x） ax2 bx c（a 0） 的定义域为 R，2当 a0时，值域为 y| y （4ac b ）；当 a0， 3x故 B 不对；选项 C 中 x R，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x 0 2、已知已知 f（x） 的定义域为 1，1 ，求 f（x 2）的定义域。 1 x2 1 x 21 1x13、已知 f（3x 1）的定义域为5,2）值域为 0,1） 3）解

11、：令 x 1 t （t 0） ，则 x t2 1， y t2 2t 1 （t 1）2 2，当 t 0 时， y2 ，故函数值域为 2, ） 5、若 f（x） 对于任意实数x 恒有 2f（x）f（x）3x 1，则 f（x）（ ）Ax1Bx1C2x1D3x3 选 B 由题意知 2f（x）f（ x）3x1.将中 x 换为 x，则有 2f（ x） f（x） 3x 1. 2得 3f（x）3x 3，即 f（x） x 1.6、已知 f（x） x2 pxq 满足 f（1） f （2） 0，则 f（1） 解析： 由 f（1）f（2） 0，得 122p q0，222pq0，p 3， 所以q2.故 f（x）x23x

12、 2. 所以 f（ 1）（1）2326. 答案： 67、二次函数 f（x）满足 f（x1） f（x） 2x，且 f（0） 1.（1）求 f（x） 的解析式；（2）解不等式 f（x）2x 5. （1）设二次函数 f（x） ax2bxc（a0） f（0）1，c 1.把 f（x）的表达式代入 f（x1）f（x） 2x，有 a（x 1）2 b（x 1）1 （ax2 bx 1） 2x. 2axa b2x.a1，b 1.f（x）x2x1.（2）由 x2x 12x 5，即 x23x40， 解得 x4 或 x4，或 x1 1、求 函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义

13、的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知 f （ x）的定义域求 fg（x）的定义域或已知 f g（ x）的定义域求 f （x）的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知 f （x）的定义域 a,b ，其复合函数 f g（x） 的定义域应由 a g（x） b 解出2、求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较 简捷，同学们要通过

14、不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法3、求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 f（x）求 f g（x）或已知 fg（x）求 f （x） ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4） f （x）满足某个等式，这个等式除 f （ x）外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。【巩固练习】1、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） y1（x 3）（x 5）， y2x 5 ； y1x 1 x 1， y2（x1）（x 1） ；x3 f （x）x， g（x）x2 ； f（

15、x）3 x4 x3 ， F（x）x 3 x1； f1（x）（ 2x 5）2 ，f2（x）2x 5.A. 、 B.、C. D. 、C （ 1 ）定义域不同；（ 2 ）定义域不同；（ 3 ）对应法则不同；4）定义域相同，且对应法则相同；（ 5）定义域不同；4 2 *2、已知集合 A 1,2,3,k ,B 4,7, a4, a2 3a ，且 a N*,x A,y B使 B中元素 y 3x 1和 A中的元素 x对应，则 a,k 的值分别为（ ）A. 2,3 B. 3,4 C. 3,5 D. 2,5A 项定义域为 2，0，D 项值域不是 0，2，C 项对任一 x都有两个 y与之对应，都不符 故选4、若函数 yf （ x）的定义域为 Mx|2x2，值域为 N y|0 y2 ，则函