高一函数的概念及其表示法Word格式.docx
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axb的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为a,b；
说明：
①对于a,b，a,b，a，b，a,b都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；
2引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
不等式表示法：
3<
x<
7（一般不用）；
集合表示法：
x3x7；
区间表示法：
3，7；
3在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区
间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
4实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa,x>
a,xb,x<
b的实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、（-∞,b）、（-∞,b）。
（见演示）
题型一、函数概念
例1、设集合M＝｛x|0≤x≤2｝，N＝｛y|0≤y≤2｝，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是．
解析：
由函数的定义，对定义域内的每一个
x对应着唯一一个y，据此排除①④，③中值域为｛y|0≤y≤3｝不合
题意．答案：
②
例2、下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1）y（x）2；
（2）y3x3；
（3）yx2
〖解析〗解：
（1）y=x，x≥0，y≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；
（2）y=x，x∈R，y∈R，定义域值域都相同，是同一个函数；
x（x0）
（3）y=|x|=，y≥0；
值域不同，不是同一个函数。
例3、下列各组，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）
x2
A．f（x）=1，g（x）=x0B．f（x）=x0，g（x）=
x
C．f（x）=x2，g（x）=（x）4D．f（x）=x3，g（x）=（3x）9
答案：
D
例4、已知函数f（x）=2x－3，求：
（1）f（0），f
（2），f（5）；
（2）f[f（x）]；
（3）若x∈{0，1，2，3}，求函数的值域。
（1）f（0）=－3，f
（2）=1，f（5）=7；
（2）f[f（x）]=4x－9；
例5、已知a、b为实数，集合M＝{ab，1}，N＝{a,0}，f：
x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，a
则a＋b等于（）
A．－1B．0
C．1D．±
1
a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
C
3）f（x）=2n1x2n1，g（x）=（2n1x）2n－1（n∈N*）；
4）f（x）=xx1，g（x）=x2x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1
剖析：
对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和
y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然
解：
（1）由于f（x）=x2=|x|，g（x）=3x3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函
数
|x|1x0,
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，
x1x0;
所以它们不是同一函数
（3）由于当n∈N*时，2n±
1为奇数，∴f（x）=2n1x2n1=x，g（x）=（2n1x）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数
（4）由于函数f（x）=xx1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2x的定义域为{x|x≤－1或x≥
0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
【总结】
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数
题型二：
求函数的定义域
例1、求下列函数的定义域：
①f（x）4x21②f（x）x3x4
x12
③f（x）1
③11
④f（x）
（x1）0
xx
333x7
①要使函数有意义，必须：
4
x21
即：
∴函数f（x）4
1的定义域为：
3,3]
②要使函数有意义，必须：
3x
4或x
3且x
x3或3
∴定义域为：
x{x|x
1或x或3
1或x
4}
③要使函数有意义，必须：
11
∴函数的定义域为：
{x|x
R且x
0,
1,
12}
④要使函数有意义，必须：
x|x
1x
⑤要使函数有意义，必须：
即x<
7或x>
7
33
{x|x
例2、若函数yax2
ax
1的定义域是
a
R，求实数a
的取值范围
∵定义域是R,∴
ax2
10恒成立，
∴等价于
4a
10
0a2
例3、已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（2x－1）的定义域。
分析：
法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；
或者从位置上思考f（2x－1）中2x－1与f（x）中的
x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：
f（x）中的x与f（2x－1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）解：
∵f（x）的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f（2x－1）的定义域为[0，1]
例4、已知f（2x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域。
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f（x）的定义域。
例5、若函数yf（x）的定义域为[1，1]，求函数yf（x）f（x）的定义域
44解：
要使函数有意义，必须：
5
3
4
函数yf（x
1）f（x
）的定
义域为：
x|
求用解析式y=f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
1若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；
2若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
3若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
4若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
5若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
题型三：
求函数的值域
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值
域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；
（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
1直接法：
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R，值域为R；
k
反比例函数y（k0）的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数f（x）ax2bxc（a0）的定义域为R，
2
当a>
0时，值域为{y|y（4acb）}；
当a<
0时，值域为{y|y（4acb）}4a
2配方法：
转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为型如：
f（x）ax2bxc,x（m,n）的形式；
3分式转化法（或改为“分离常数法”）
4换元法：
通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
5三角有界法：
转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
k
6基本不等式法：
转化成型如：
yx（k0），利用平均值不等式公式来求值域；
x
7单调性法：
函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
8数形结合：
根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
9逆求法（反求法）：
通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
常用来解，型如：
yaxb,x（m,n）
cxd
例1、求函数yx21x的值域
（换元法）设1xt，则yt22t1（t0）
对称轴t10,，且开口向下
当t1时，ymax2
值域为,2
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
例2、（选）求函数yx35x的值域
（平方法）函数定义域为：
x3,5
x）
8x15
y2（x3）（5
2x2
由x3,5,得
2x
0,1
y22,4
原函数值域为
2
x1例4、求函数yxx12的值域。
解法一：
（逆求法）解出x,x12y观察得原函数值域为yy1
1y
x233
解法二：
（分离常数法）由y11，可得值域yy1
x2x2axb
小结：
已知分式函数y（c0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域cxd
为yya；
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为c
ad
bacyc（adbc），用复合函数法来求值域。
ccxd
t
原函数值域即得
解法三：
（判别式法）原函数可化为
（y1）x20xy10
2）y
1时，0
04（y1）（y1）
综合1）
、2）值域{y|
1y1}
例7、
求函数y
5的值域
2x2
4x3
解法
一：
（判别式法）
化为2yx24yx
（3y
1）y0时，
不成立
2）y0时，
0得
（4y）8y（3y
5）00y
0y
1）y1时不成立
综合1）、2）值域{y|0y5}
1例8、函数yx1的值域
（判别式法）原式可化为x2（1y）x10
0（1y）240
原函数值域为,13,
（判别式法）原式可化为x2（2y）x2y0
0（2y）24（2y）0
x1y2舍去原函数值域为2
题型四：
函数解析式的求法
例1、已知函数f（x）=4x+3，g（x）=x2,求f[f（x）]，f[g（x）]，g[f（x）]，g[g（x）].
f[f（x）]=4f（x）+3=4（4x+3）+3=16x+15
f[g（x）]=4g（x）+3=4x+3；
222
g[f（x）]=[f（x）]2=（4x+3）2=16x2+24x+9；
g[g（x）]=[g（x）]
2224
=（x）=x
例2、若f（x1）x2x,求f（x）
换元法）
令t=x1则x=t21,t≥1代入原式有
22
f（t）（t1）22（t1）t21
f（x）x1（x≥1）
（1）已知fx＋1x
（2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，求f（x）．
12112
[自主解答]
（1）由于fx＋x＝x2＋x2＝x＋x2－2，
所以f（x）＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f（x）的解析式是f（x）＝x2－2（x≥2或x≤－2）．
（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax2＋bx，
又由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，
得a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1，
2a＋b＝b＋1，所以
a＋b＝1，
解得a＝b＝12.
所以f（x）＝12x2＋12x（x∈R）．
例4、已知f（x）满足2f（x）f
（1）3x，求f（x）；
∵已知2f（x）f
（1）
①，
将①中x换成1得2f
（1）
f（x）3②，
①2-②得3f（x）6x
3x
∴f（x）2x.
总结】
函数解析式的求法：
（1）配凑法：
由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式（如例
（1））；
（2）待定系数法：
若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法（如例（3））；
（3）换元法：
已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围（如例
（2））；
（4）方程思想：
已知关于f（x）与fx或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，
x通过解方程组求出f（x）（如A级T6）．
1．下列函数中，与函数
y＝1定义域相同的函数为
（）
lnx
C．y＝xex
sinx
A．y＝sinx
B．y＝
D．y＝x
选D函数y＝的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0?
x≠kπ，k∈Z，故A不对；
选项B中x>
0，3x
故B不对；
选项C中x∈R，故C不对；
选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为
{x|x≠0}．
2、已知已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（x2）的定义域。
－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1
3、已知f（3x－1）的定义域为
5,2）
值域为[0,1）．
3）解：
令x1t（t0），则xt21，yt22t1（t1）22，
当t0时，y
2，故函数值域为[2,）．
5、若f（x）对于任意实数
x恒有2f（x）－f（－x）＝3x＋1，则f（x）＝（）
A．x－1
B．x＋1
C．2x＋1
D．3x＋3
选B由题意知2f（x）－f（－x）＝3x＋1.①
将①中x换为－x，则有2f（－x）－f（x）＝－3x＋1.②①×
2＋②得3f（x）＝3x＋3，
即f（x）＝x＋1.
6、已知f（x）＝x2＋px＋q满足f
（1）＝f
（2）＝0，则f（－1）＝解析：
由f
（1）＝f
（2）＝0，
得122＋p＋q＝0，
22＋2p＋q＝0，
p＝－3，所以
q＝2.
故f（x）＝x2－3x＋2.所以f（－1）＝（－1）2＋3＋2＝6.答案：
6
7、二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）>
2x＋5.
（1）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．∵f（0）＝1，∴c＝1.
把f（x）的表达式代入f（x＋1）－f（x）＝2x，有a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由x2－x＋1>
2x＋5，即x2－3x－4>
0，解得x>
4或x<
－1.
故原不等式解集为{x|x>
4，或x<
－1}．
1、求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知f（x）的定义域求f[g（x）]的定义域或已知f[g（x）]的定义域求f（x）的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知f（x）的定义域a,b，其复合函数fg（x）的定义域应由ag（x）b解出
2、求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和
经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法
3、求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：
待定系数法；
（2）已知f（x）求f[g（x）]或已知f[g（x）]求f（x）：
换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
【巩固练习】
1、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴y1
（x3）（x5）
，y2
x5；
⑵y1
x1x1，y2
（x
1）（x1）；
x3
⑶f（x）
x，g（x）
x2；
⑷f（x）
3x4x3，F（x）
x3x
1；
⑸f1（x）
（2x5）2，
f2（x）
2x5.
A.⑴、⑵B.
⑵、⑶
C.⑷
D.⑶、
⑸
C
（1）定义域不同；
（2）定义域不同；
（3）对应法则不同；
4）定义域相同，且对应法则相同；
（5）定义域不同；
42*
2、已知集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a，且aN*,xA,yB
使B中元素y3x1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为（）
A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5
A项定义域为[－2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符故选
4、若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函
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