二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选.doc

1、 九年级数学优辅专项训练题二次函数学专项训练二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与AB

2、C相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在中，由x=0得y=2，C（0，2）。 由 y=0得 x=2，A（2，0）。 AB=2，B（4，0）。 可设抛物线的解析式为，代入点C（0，2）得。抛物线的解析式为。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=42t。EDBA，CEDCOB。 ，即。ED=2t。当t=1时，有最大值1。当t=1时，的值最小，最小值是1。（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，2）得 ，解得，C所在直线的解析式为。 由题意可得：D点的纵坐标为t2，则D点的横坐标为2t。又。PBD=ABC，以P、B、D为顶点的三角形与

3、ABC相似有两种情况：当时，即，解得；当时，即，解得。综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x2）（x4），代入点C的坐标求出a即可。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由EDBA得出CEDCOB ，从而，求出ED=2CE=2t，根据 ，根据二次函数的最值求出即可。（3）以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情况：和代入求出即可。【例2】. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在

4、x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD10，OB8将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；(2)若抛物线yx2bxc经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N问是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当x7，在抛物线上存在点P，使ABP的面积最大，求ABP面积的最大值【答案】解：（1）（6，0），（0，8）。 （2）。 （3）存在。设M，则N（m，0）MN=，NA=6m。 又DA=4，CD=8，若点M在点N上方，则AM

5、NACD。，即，解得m=6或m=10。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=2或m=6。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N上方，则AMNACD。，即，方程无解。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=或m=6。当m=时符合条件。此时存在点M（，），使AMN与ACD相似。综上所述，存在点M（，），使AMN与ACD相似。（4）设P（p，）， 在中，令y=0，得x=4或x=6。 x7分为x4，4x6和6x

6、7三个区间讨论： 如图，当x4时，过点P作PHx轴于点H则OH=p，HA=6p ，PH=。 当x4时，随p的增加而减小。当x=时，取得最大值，最大值为。如图，当4x6时，过点P作PHBC于点H，过点A作AGBC于点G。则BH= p，HG=6p，PH=， 当4x6时，随p的增加而减小。当x=4时，取得最大值，最大值为8。如图，当6x7时，过点P作PHx轴于点H。则OH=p，HA= p6，PH=。当6x7时，随p的增加而增加。当x=7时，取得最大值，最大值为7。综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角

7、形的判定，二次函数的性质。【分析】（1）由OD10，OB8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2OB2=10282=36，OA=6。A（6，0），B（0，8）。（2）抛物线yx2bxc经过点A、B， ，解得。 这条抛物线的解析式是。（3）分若点M在点N上方，若点M在点N下方，若点M在点N上方，若点M在点N下方，四种情况讨论即可。（4）根据二次函数的性质，分x4，4x6和6x7三个区间分别求出最大值，比较即可。【例3】. 在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请

8、直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又C（0，）在抛物线上，解得。

9、经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段

10、EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可

11、。【例4】. 已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式；（4分）点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4分）【答案】解：（1）直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，A（，0），B（0，5）。当顶点M与点A重合时，M（，0）。抛物线的解析式是：，即。N是直线与在抛物线的交点，解得或。N（，4）。如图，过N作NCx轴，垂足为C。N（，4），C（，0）NC=4MC=OMOC=。

12、。（2）存在。点M的坐标为（2，1）或（4，3）。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。 联立和，求出点N的坐标，过N作NCx轴，由勾股定理求出线段MN的长。（2）存在两种情况，OMN与AOB相似： 情况1，OMN=900，过M作MDx轴，垂足为D。 设M（m，），则OD= m，DM=。 又OA=，OB=5， 则由OMDBAO得，即，解得m=2。M（2，1）。 情况2，ONM=900，若O

13、MN与AOB相似，则OMN=OBN。 OM=OB=5。 设M（m，），则解得m=4。M（4，3）。综上所述，当点M的坐标为（2，1）或（4，3）时，OMN与AOB相似。【例5】. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰

14、的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）由抛物线过A（3，0），B（1，0），则 ，解得 。 二次函数的关系解析式为。 （2）设点P坐标为（m，n），则。 连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N。 PM =， ，AO=3。 当时，所以

15、OC=2。 0，函数有最大值，当时，有最大值。 此时。存在点，使ACP的面积最大。 （3）存在。点。 （4）存在。点。 （5）点。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。（4）分BQEAOC，EBQAOC，QEBAOC三种情况讨论即可。

16、（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。【例6】. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A

17、（，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， 抛物线的解析式可设为， 将C（0，3）代入得，解得。 抛物线的解析式为，即。 （2）存在。如图， 由得对称轴l为， 由B（3，0）、C（0，3）得tanOBC=， OBC=300。 由轴对称的性质和三角形外角性质，得ADP=1200。由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。DP=CP=1，AD=4。在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断Q1CDADP，此时，Q1的坐标为（0，7）。由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足Q2CDADP，过点Q2作Q2Gy轴于点G，则在RtCQ2G中，由Q2C=4，Q2CG=600可得C

18、G=2，Q2G=2。OG=1。Q2的坐标为（2，1）。在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则Q3DCADP，此时，Q3的坐标为（，2）。由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足Q2DCADP，过点Q4作Q4Hl于点H，则在RtDQ4H中，由Q4D=4，Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2。Q4的坐标为（3，4）。综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（2，1）或（，2）或（3，4）。（3）（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角

19、形的判定和性质，旋转的性质。【分析】（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。 （2）求出ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。（3）如图，作做EFl于点F，由题意易证明PMD EMD，CME DNE， PM=EM=EN=2DN。由题意DF=1，EF=，NF=1-DN 在RtEFN中， ，整理得，解得（负值舍去）。 。点N的纵坐标为。N（）。【例7】. 如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DMx轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，DAC=90（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，

20、过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE是否存在点P，使BPF与FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得，解得。直线AB的解析式为y=x+4。（2）过D点作DGy轴，垂足为G，OA=OB=4，OAB为等腰直角三角形。又ADAB，DAG=90OAB=45。ADG为等腰直角三角形。DG=AG=OGOA=DMOA=54=2。D（2，6）。（3）存在。由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x4），将D（2，6）代入，得a=。

21、抛物线解析式为y=x（x4）。由（2）可知，B=45，则CFE=BFP=45，C（2，2）。设P（x，0），则MP=x2，PB=4x，当ECF=BPF=90时（如图1），BPF与FCE相似，过C点作CHEF，此时，CHE、CHF、PBF为等腰直角三角形。则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4x+2（x2）=x，将E（x，x）代入抛物线y=x（x4）中，得x=x（x4），解得x=0或，P（，0）。当CEF=BPF=90时（如图2），此时，CEF、BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=x（x4）中，得2=x（x4），解得x=或。P（，0）。综上所述，点P的坐标为

22、（，0）或（，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。1367104【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。 （2）作DGy轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，OAB为等腰直角三角形，而ADAB，利用互余关系可知，ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OGOA=DMOA=54=2，可求D点坐标。（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角CFE=BFP=45，故当BPF与FCE相似时，分为：ECF=BPF=90，CEF

23、=BPF=90两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。【例8】. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PMx轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点M，PCM为等边三角形。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求点P的坐标； （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）抛物线的顶点为B（2，1），

24、 可设抛物线的解析式为。 将A（0，2）代入，得，解得。 该抛物线的表达式。（2）将代入，得， 点C的坐标为（2，2），即CG=2。 PCM为等边三角形，CMP=600，CM=PM。 PMx轴，CMG=300。CM=4，GM=。OM=，PM=4。 点P的坐标为（，4）。（3）相等。理由如下： 联立和得，解得，。 不合题意，舍去，EF=，点E的坐标为（，）。 。 又，。 CE=EF。（4）不存在。理由如下： 假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使CMNCPE，则CN=CE，MCN=PCE。 MCP=600，NCE=600。CNE是等边三角形。EN=CE，CEN=600。又由（3）CE=EF，EN=

25、EF。又点E是直线上的点，CEF=450。点N与点F不重合。EFx轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点N不存在。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧

26、存在一点N，使CMNCPE，推出与公理矛盾的结论。【例9】. 如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由来源:【答案】解：（1）抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为(2，1)， 可设抛物线的表达式为。 点C(0，3)在上，解得。 抛物线的表达式为，即。 （2）令，即，解得。A（1，0），B（3，0）。 设B