二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选.doc

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九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》

二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选

【例1】.已知：

如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线

段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P

运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设，当

t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。

（3）在

（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t

的值；若不存在，请说明理由。

【答案】解：

（1）在中，由x=0得y=－2，∴C（0，－2）。

由y=0得x=2，∴A（2，0）。

∵AB=2，∴B（4，0）。

∴可设抛物线的解析式为，代入点C（0，－2）得。

∴抛物线的解析式为。

（2）由题意：

CE=t，PB=2t，OP=4－2t。

∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。

∴，即。

∴ED=2t。

∴。

∴当t=1时，有最大值1。

∴当t=1时，的值最小，最小值是1。

（3）存在。

设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，－2）得

，解得，∴C所在直线的解析式为。

由题意可得：

D点的纵坐标为t－2，则D点的横坐标为2t。

∴。

又。

∵∠PBD=∠ABC，∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：

当时，即，解得；

当时，即，解得。

综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】

（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x－2）（x－4），代入点C的坐标求出a即可。

（2）由题意：

CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB，从而，求出ED=2CE=2t，根据，根据二次函数的最值求出即可。

（3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：

和代入求出即可。

【例2】.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）直接写出点A、B的坐标：

A（，）、B（，）；

（2）若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是；

（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（4）当≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．

【答案】解：

（1）（6，0），（0，－8）。

（2）。

（3）存在。

设M，

则N（m，0）MN=，NA=6－m。

又DA=4，CD=8，

①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。

∴，即，解得m=6或m=10。

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。

②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。

∴，即，解得m=－2或m=6。

与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。

③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。

∴，即，方程无解。

∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。

④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。

∴，即，解得m=或m=6。

当m=时符合条件。

∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。

综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。

（4）设P（p，），

在中，令y=0，得x=4或x=6。

∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：

①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H

则OH=p，HA=6－p，PH=。

∴

∴当≤x＜4时，随p的增加而减小。

∴当x=时，取得最大值，最大值为。

②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。

则BH=p，HG=6－p，PH=，

∴

∴当4≤x＜6时，随p的增加而减小。

∴当x=4时，取得最大值，最大值为8。

③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。

则OH=p，HA=p－6，PH=。

∴

∴当6≤x≤7时，随p的增加而增加。

∴当x=7时，取得最大值，最大值为7。

综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。

【分析】

（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6。

∴A（6，0），B（0，－8）。

（2）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，

∴，解得。

∴这条抛物线的解析式是。

（3）分①若点M在点N上方，，②若点M在点N下方，，③若点M在点N上方，，④若点M在点N下方，四种情况讨论即可。

（4）根据二次函数的性质，分≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。

【例3】.在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB

在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：

B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与

（1）

中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：

抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求

点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（1）B（3，0），C（0，）。

∵A（—1，0）B（3，0）

∴可设过A、B、C三点的抛物线为。

又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式即。

（2）①当△OCE∽△OBC时，则。

∵OC=，OE=AE—AO=x－1，OB=3，∴。

∴x=2。

∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

②存在点P。

由①可知x=2，∴OE=1。

∴E（1，0）。

此时，△CAE为等边三角形。

∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=60°。

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。

∵C（0，），∴M（2，）。

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=。

∴EN=1。

∴。

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ）当EP=EM时,∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P（1，2）或P（1，－2）。

ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P（1，2）。

ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P（1，）

∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，

△EPM为等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点

B、C的坐标。

设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。

（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。

②求得EM的长，分EP=EM，EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。

【例4】.已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？

若存在，

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

【答案】解：

（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）。

当顶点M与点A重合时，∴M（，0）。

∴抛物线的解析式是：

，即。

②∵N是直线与在抛物线的交点，

∴，解得或。

∴N（，－4）。

如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C。

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=。

∴。

（2）存在。

点M的坐标为（2，－1）或（4，3）。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。

②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出线段MN的长。

（2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似：

情况1，∠OMN=900，过M作MD⊥x轴，垂足为D。

设M（m，），则OD=m，DM=。

又OA=，OB=5，

则由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。

∴M（2，－1）。

情况2，∠ONM=900，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN。

∴OM=OB=5。

设M（m，），则解得m=4。

∴M（4，3）。

综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似。

【例5】.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

考生注意：

下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：

（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则

　　　　　　，解得。

　　　　　　∴二次函数的关系解析式为。

（2）设点P坐标为（m，n），则。

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。

PM=，，AO=3。

当时，，所以OC=2。

　　　　　　[

∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。

此时。

∴存在点，使△ACP的面积最大。

（3）存在。

点。

（4）存在。

点。

（5）点。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】

（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。

（2）设点P坐标为（m，n），则。

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。

（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。

（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。

（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。

【例6】.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。

设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？

若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；

  （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。

【答案】解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，

∴抛物线的解析式可设为，

将C（0，3）代入得，解得。

∴抛物线的解析式为，即。

（2）存在。

如图，

由得对称轴l为，

由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，

∴∠OBC==300。

由轴对称的性质和三角形外角性质，得

∠ADP==1200。

由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。

∴DP=CP=1，AD=4。

①在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP，

此时，Q1的坐标为（0，7）。

②由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP，

过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=600可得

CG=2，Q2G=2。

∴OG=1。

∴Q2的坐标为（－2，1）。

③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则△Q3DC≌△ADP，

此时，Q3的坐标为（，－2）。

④由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP，

过点Q4作Q4H⊥l于点H，则在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得

DH=2，HQ4=2。

∴Q4的坐标为（3，4）。

综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。

（3）（）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质。

【分析】

（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。

（2）求出△ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。

（3）如图，作做EF⊥l于点F，

由题意易证明△PMD≌△EMD，△CME≌△DNE，

∴PM=EM=EN=2DN。

由题意DF=1，EF=，NF=1-DN

在Rt△EFN中，，

∴，整理得，解得（负值舍去）。

∴。

∴点N的纵坐标为。

∴N（）。

【例7】.如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得

，解得。

∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。

（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，

∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。

又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。

∴△ADG为等腰直角三角形。

∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。

∴D（2，6）。

（3）存在。

由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），

将D（2，6）代入，得a=。

∴抛物线解析式为y=x（x﹣4）。

由

（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。

设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，

①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。

则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，

将E（x，x）代入抛物线y=x（x﹣4）中，

得x=x（x﹣4），解得x=0或，

∴P（，0）。

②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。

则PE=MC=2，

将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，

得2=x（x﹣4），解得x=或。

∴P（，0）。

综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

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【分析】

（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。

（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标。

（3）存在。

已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：

∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。

【例8】.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。

直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。

抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。

PM⊥x轴，垂足为点F。

点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？

若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：

（1）∵抛物线的顶点为B（2，1），

∴可设抛物线的解析式为。

将A（0，2）代入，得，解得。

∴该抛物线的表达式。

（2）将代入，得，

∴点C的坐标为（2，2），即CG=2。

∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。

∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。

∴CM=4，GM=。

∴OM=，PM=4。

∴点P的坐标为（，4）。

（3）相等。

理由如下：

联立和得，解得，。

∵不合题意，舍去，

∴EF=，点E的坐标为（，）。

∴。

又∵，∴。

∴CE=EF。

（4）不存在。

理由如下：

假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。

∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。

∴△CNE是等边三角形。

∴EN=CE，∠CEN=600。

又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。

又∵点E是直线上的点，∴∠CEF=450。

∴点N与点F不重合。

∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。

【分析】

（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。

（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。

（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。

（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。

【例9】.如图，顶点坐标为（2，－1）的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），

与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使

得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．[来源:

【答案】解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），

∴可设抛物线的表达式为。

∵点C（0，3）在上，∴，解得。

∴抛物线的表达式为，即。

（2）令，即，解得。

∴A（1，0），B（3，0）。

设B