均匀设计方法简介Word文档格式.doc

1、 列 号 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 1 5 5 5 5 5 2 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 2 4 5 1 2 3 2 5 1 2 3 4表1. L25（56）（续） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3 1 3 5 2 4 3 2 4 1 3 5 3 3 5 2 4 1 3 4 1 3 5 2 3 5 2 4 1 3 4 1 4 2 5 3 4 2 5 3 1 4

2、 4 3 1 4 2 5 4 4 2 5 3 1 4 5 3 1 4 2 5 1 5 4 3 2 5 2 1 5 4 3 5 3 2 1 5 4 5 4 3 2 1 5 5 5 4 3 2 1十分明显，不计重复试验总共需做52=25次试验。观察此表，可知有如下特点：1）每个因素的水平都重复了五次试验；2）每两个因素的水平组成了一个全面试验方案。这两个特点反映了试验点在试验范围内排列规则整齐，人们称为“整齐可比”，另一方面，这些试验点在试验范围内散布均匀，人们称此特点为“均匀分散”。正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比”这两个特点。4 均匀设计法1978年，我国七机部由于导弹设计的要求，

3、提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验次数又不超过50。为了解决这一问题，我国数学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究，应用数论方法，舍弃正交设计的“整齐可比”性，创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方法，即所谓“均匀设计”，很好地解决了七机部的导弹设计问题。 均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验。所谓均匀设计表是根据均匀设计理论得到的，类比正交设计表，记为Un（qm），n总试验次数，q各因素的水平数，m可能安排的因素数。例如，我们前面提到的Cu13X分子筛的制备问题，就可以用如下的U5（54）表来安排。表2. U5（54） 1 2 3 4

4、1 2 3 4 5 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 5 5 5 5由该表我们可以看到：该法有其独特的布点方式，其特点有：1） 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；2） 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点；3） 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。此点要求每个均匀设计表必须有一个附加的使用表；4） 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。二、 均匀设计表的构造均匀设计表是一个方阵。设方阵有n行m列，每一行是1，2，,n的一个置换（即1，2，,n的重新排列），表的第一行是1，2，,n的一个子集，但不一定是真子集。可以用好格子点法

5、来构造符合上述定义的均匀设计表。方法如下：1. 给定试验次数n，寻找比n 小的整数h，且使n和h的最大公约数为1，符合这些条件的正整数组成一个向量h=（h1，h2，,hm）例如：n=7，h=（1，2，3，4，5，6）；n=9，h=（1，2，4，5，7，8）2. 均匀设计表的第j列由下法生成uij = ihj mod n这里mod n表示同余运算，若ihj超过n，则用它减去n的一个适当倍数，使差落在1，n之中。ihj 可以递推生成： uij = hjui+1，j = uij+hj若uij+hjnui+1，j = uij+hj-n若uij+hj ni = 1，2，,n-1例如，对于n=7，h=（1

6、，2，3，4，5，6）而言，有：若h4=4，则u14=4，u24= u14+ h4-n=8-7=1，u34=u24+h4=5mod n u44=u34+h4-n=9-7=2，u54=u44+h4=6，u64=u54+h4-n=10-7=3mod n u74=u64+h4=7mod n依此类推，易得uij （i=1，n；j=1，2，3，4，5，6） ，於是得U7（76）如下：表3. U7（76） 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 1 3 5 3 6 2 5 1 4 4 1 5 2 6 3 5 3 1 6 4 2 6 5 4 3 2 1 7 7 7 7 7 7这样生成

7、的均匀设计表特记作Un（nm），向量h称为该均匀设计表的生成向量，有时为强调h的作用，将Un（nm）记成Un（h）。给定n，相应的h可如上述方便地求得，从而m也即确定，故m是n的一个函数，其曾由欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E（n）。由数论得出下列结论：1） 当n为素数（一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1）时，E（n-1）=n-1。2） 当n为素数幂时，即n可表成n=pL，p素数，L正整数，有E（n）=n（1-）例，n=9，可表为n=32，于是E（9）=9（1-）=63） 若n不属于上述两种情况，n一定可表为不同素数的方幂积，即n=这里为不同素数，为正整数。这时E（n）=n

8、（1-）（1-）（1-）例如，n=12，可表为n=223，于是E（12）=12（1-）（1-）=4，即U12最多只可能有4列。上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可能获得n-1列；非素数情形，上述表的结构中永远不可能有n-1列。王元，方开泰（1981年）建议，对n=偶数情形，均匀设计表由n+1的U表去掉最后一行来构造。例如，可将U7（76）表的最后一行去掉构造U6表如下：表4. U6（66）为和由好格子点法构造的U6表即U6（66）相区别，上述方法构造的U6表记为，两者关系和各自特点如下：1） 所有表是由Un+1表中划去最后一行而得2） Un表的最后一行全部由水平n组成，表的最后一行则不然3

9、） 若n为偶数，表比Un表有更多的列4） 若n为奇数，则表的列数通常少于Un表5） 表比Un表有更好的均匀性，应优先采用表6） 若将Un或的元素组成一个矩阵的秩最多分别为及。三、 均匀性准则和使用表的产生1、 均匀性准则偏差（略）2、 均匀设计使用表的产生整数同余幂法我们已经知道，产生均匀设计使用表，实际上就是从Un（nm）中选出S列，使其相应的均匀设计有最小的偏差。当m和S较大时，从m列中取出S列的数目有之多，要比较这么多组点集的均匀性，工作量很大。故需有简化计算和近似求解的方法，这里介绍整数同余幂法。 令a为小于n的整数，且a，a2（mod n），at（mod n）互不相同，at+1=1（

10、mod n），则称a对n的次数为t。 21=2，22=4，23=3，24=1 （mod 5）则2对5的次数为3。 31=3，32=9，33=5，34=4，35=1 （mod 11）则3对11的次数为4。 一般若a对n的次数大于或等于S-1，且（a，n）=1，则可用 （a0，a，a2，aS-1） （mod n）作为生成向量，故a称为均匀设计的生成元。在一切可能的a（最多n-1个）中去比较相应实验点的均匀性，工作量则大大减少，理论和实践都证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性。于是，只要求得最优的a，给定n和S，便可获得生成向量，从而获得相应的均匀设计表及使用表。附录1给出了奇数n

11、（5n31及n=37）的Un表生成元及其相应均匀设计的偏差。同时对偶数n（6n30）给出了表的生成元和相应均匀设计的偏差。附录2给出了奇数n的表的生成向量和相应均匀设计表的偏差。由附录1和附录2，我们即可获得一系列均匀设计表或Un及其使用表。例如由试验需要构造U9（95）均匀设计表及使用表，则根据附录1示知：n=9，m=4，a=2，故U9（95）的第一行元素为1，2，4，8，7；按升幂排列成1，2，4，7，8。利用前已述及的求Uij的递推公式求算Uij，即得到如下U9（95）表:表5. U9（95）1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 4 7 82 4 8 5 73 6 3 3 64 8

12、7 1 55 1 2 8 46 3 6 6 37 5 1 4 28 7 5 2 19 9 9 9 9综合考虑m=2，a=4及m=3，a=4的情况，易得到下列的相应使用表及偏差表5. U9（95）的使用表 S 列 号 D 1 3 0.1944 1 3 4 0.3102 1 2 3 5 0.4066四、 混合水平的均匀设计在多因素试验中，由于试验精度的限制，很多情况下各因素允许的水平数不同，有的因素水平多，有的少。例如；微波加热离子交换法制备Cu13X分子筛，微波加热功率，交换时间可以取8水平，而交换液浓度，在试验范围内，取8水平难于精确控制，所以取4水平，这时如何进行均匀设计呢？我们可以采用拟水

13、平法，即在安排交换液浓度这个因素时，令1，2水平为1水平；3，4为2；5，6为3；7，8为4（也有不少人令1，5为1；2，6为2；3，7为3；4，8为4），这样形成一个混合水平的均匀设计表：表6. U8（824） 1 2 3 2 1 4 4 2 8 3 3 3 2 4 7 1 8 5 2 4 6 6 3 7 1 2 8 5 1 D 0.2310可见，通过拟水平法，可以由或Un表得到相应的混合水平表，只是通常偏差比原或Un表的略大。五、 均匀设计的数据分析均匀设计的数据分析需要用回归分析。回归分析是数据分析的有力工具，它能揭示变量之间的相互关系，其方法和理论十分丰富，请参考有关书籍。如参考文献2

14、4，25，26。在此不再祥述。六、 均匀设计的应用当我们的试验是为了揭示变量Y（通常称为目标函数）与各因素之间的定性关系及寻求最优工艺条件时，即可考虑应用均匀设计，特别是各因素的水平较多时。应用均匀设计的一般步骤如下：1. 根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平；2. 选择适合该试验的均匀设计表；3. 根据该均匀设计表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了；4. 按试验安排进行试验；5. 将所得试验结果进行回归分析，找出变量Y与各因素间的函数关系；6. 根据5.函数关系，即可求出最优条件；7. 进行最优条件的验证试验。例如

15、，我们前面述及的制备Cu13X分子筛的例子。根据揭示变量Y（交换度）与各因素间定性关系及寻求最优工艺条件的目的，确定因素及各因素的水平如下：表7. 试验选取因素及其水平因 素 水 平12345678微波加热功率 （W）130195260325390455520585微波加热时间 （min）9101112交换液摩尔浓度（mol/L）AA：1，2，3，4分别为0.04015，0.0803，0.12045，0.1606于是，选择U8（824）表安排试验后，进行试验。试验安排及结果如表8所示：表8. 实验安排及结果交换度（%） 因素实验号微波加热功率交换时间交换液摩尔浓度 瓦（W）分（min） （mo

16、l/L） 1（1） 130（4） 12（4） 0.1606 85.87 2（2） 195（8） 8（3） 0.12045 70.69 3（3） 260（3） 11（2） 0.0803 64.54 4（4） 325（7） 7（1） 0.04015 42.20 5（5） 390（2） 10 88.44 6（6） 455（6） 6 80.34 7（7） 520（1） 9 72.45 8（8） 585（5） 5 44.90根据表8所得结果，进行回归分析，得回归方程及有关参数为：Y=8.998078+3.59272E-03X1X2+703.3843X3-1738. 756X32R2=0.9917402E

17、=2.955602 B1=3.59272E-03t1=3.39357B2=703.3843t2=5.278871B3=1738.756t3=2.651528在实验范围内，利用计算机对上述方程寻优可得：当微波加热功率为520瓦，交换时间为12分钟，交换液摩尔浓度为0. 1606摩尔/升时，预测的交换度已达99.44%，实际上，目前交换度达95%以上已足可满足实际需要，从节能考虑可将微波交换功率或交换时间取低一个水平为优化条件，就是说，微波交换功率取455瓦或交换时间取10分钟，而交换液摩尔浓度取最大水平值0. 1606摩尔/升。在上述优化条件下作验证实验所得结果及回归方程预测值列于表9。表9.

18、验证实验结果与回归方程预测值的比较 实 验 条 件 交 换 度（%）微波交换功率 交换液摩尔浓度实验值预测值 9 101240. 1606 （mol/L）96. 7312分阶段分 455瓦 10 9684 12 9150 13 9697 11 520瓦 10分01606（mol/L） 9814 958由表9可知，10, 11, 13三次实验结果与预测值的偏差都小于剩余标准差E （2.955）; 9,12两次实验结果与预测值的偏差较大，分别为4. 51和-5.23，但二者绝对值都小于5.91（2E），而除11号实验外，另外四次验证实验结果的平均值为96.64，与回归方程预测值偏差仅为-0.09。

19、总之，预测值和实验值符合较好。这时我们可以得出如下结论：1 在实验考查范围内，影响Cu2+与13X中的Na+离子交换反应的主要因素是：微波加热功率和交换时间的交互作用，交换液浓度。而交换液浓度影响呈二次函数关系。2 较优的交换条件为：微波加热功率为455或520瓦，交换时间为1012分钟，交换液浓度为0.1606摩尔/升。在此条件下铜离子交换度可达96%以上。3 均匀设计可以成功地应用于研究微波加热离子交换反应，是个获得寻找优化条件的好方法。七、 参考文献1. 方开泰（1978）, 均匀设计数论方法在试验设计中的应用, 概率统计通讯, 第一期, 5697, 中国科学院数学研究所, 北京.2.

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