高数中需要掌握证明过程的定理.doc

1、高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。由于

2、水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）常用的极限，【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限与的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明：由极限两边同时取对数即得。：在等式中，令，则。由于极限过程是，此时也有，因此有。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的换成，再取倒数即得。：利用对数恒等式得，再利用第二个极限可得。因此有。：利用对数恒等式得上式中同时用到了第一个和第二个极限。：利用倍角公式得。2）导数与微分的四则运算法则【点评】：

3、这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设，如果在处可导，且在对应的处可导，则复合函数在处可导可导，且有：【点评】：同上。4）反函数求导法则设函数在点的某领域内连续，在点处可导且，并令其反函数为，且所对应的的值为，则有：【点评】：同上。5）常见函数的导数， ，【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练

4、习。现选取其中典型予以证明。证明：导数的定义是，代入该公式得。最后一步用到了极限。注意，这里的推导过程仅适用于的情形。的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。：利用导数定义，由和差化积公式得。的证明类似。：利用导数定义。的证明类似（利用换底公式）。：利用导数定义。的证明类似（利用对数恒等式）。6）定积分比较定理如果在区间上恒有，则有推论：如果在区间上恒有，则有； 设是函数在区间上的最大值与最小值，则有：【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理设函数在区间上连续，则在积分区

5、间上至少存在一点使得下式成立：【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是设函数，则有。【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式如果函数在区间上连续，则有，其中是的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果

6、对任意的，有，那么【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导（3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在内至少存在一点，使得。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数满足（1）在闭区

7、间上连续；（2）在开区间上可导那么在内至少存在一点，使得。【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数和满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导那么在内至少存在一点，使得。【点评】：同上。14）单调性定理：设函数在上连续，在上可导。如果在上有，那么函数在上单调递增。如果在上有，那么函数在上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明的情形，的情形类似。，假定则利用拉个朗日中值定理可得，使得。由于，因此。由的任意性，可知函数在上单调递增。14）(极值第一充分条件) 设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。

8、）若时，而时，则在处取得极大值）若时，而时，则在处取得极小值；）若时，符号保持不变，则在处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件) 设函数在处存在二阶导数且，那么）若则在处取得极小值；）若则在处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：仅证明的情形，的情形类似。由于在处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在的某领域内成立由于，因此由高阶无穷小的定义可知，当时，有，又由于，因此在的某领域内成立。进一步，我们有。也即，在的某领域内成立。由极值点的定义可知在处取得极小值。16）洛必达法则 设函数在的空心邻域内可导，且则有，其中可以是有限数，也可以是。【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。