高数中需要掌握证明过程的定理.doc

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高数中的重要定理与公式及其证明

（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。

如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。

但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。

而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。

因此，在这方面可以有所取舍。

应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。

这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。

1）常用的极限

，，，，

【点评】：

这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？

事实上，这几个公式都是两个重要极限与的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。

证明：

：

由极限两边同时取对数即得。

：

在等式中，令，则。

由于极限过程是，此时也有，因此有。

极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的换成，再取倒数即得。

：

利用对数恒等式得，再利用第二个极限可得。

因此有。

：

利用对数恒等式得

上式中同时用到了第一个和第二个极限。

：

利用倍角公式得。

2）导数与微分的四则运算法则

【点评】：

这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。

而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。

具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。

3）链式法则

设，如果在处可导，且在对应的处可导，则复合函数在处可导可导，且有：

【点评】：

同上。

4）反函数求导法则

设函数在点的某领域内连续，在点处可导且，并令其反函数为，且所对应的的值为，则有：

【点评】：

同上。

5）常见函数的导数

，

，，

，，

，

【点评】：

这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。

实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。

现选取其中典型予以证明。

证明：

：

导数的定义是，代入该公式得

。

最后一步用到了极限。

注意，这里的推导过程仅适用于的情形。

的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

：

利用导数定义，由和差化积公式得。

的证明类似。

：

利用导数定义。

的证明类似（利用换底公式）。

：

利用导数定义。

的证明类似（利用对数恒等式）。

6）定积分比较定理

如果在区间上恒有，则有

推论：

ⅰ如果在区间上恒有，则有；

ⅱ设是函数在区间上的最大值与最小值，则有：

【点评】：

定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。

掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。

具体的证明过程教材上有。

7）定积分中值定理

设函数在区间上连续，则在积分区间上至少存在一点使得下式成立：

【点评】：

微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。

考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。

具体证明过程见教材。

8）变上限积分求导定理

如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是

设函数，则有。

【点评】：

不说了，考试直接就考过该定理的证明。

具体证明过程见教材。

9）牛顿-莱布尼兹公式

如果函数在区间上连续，则有，其中是的原函数。

【点评】：

微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。

具体证明过程见教材。

10）费马引理：

设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有，那么

【点评】：

费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。

具体证明过程见教材。

11）罗尔定理：

如果函数满足

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即

那么在内至少存在一点，使得。

【点评】：

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。

这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。

中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。

具体证明过程见教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函数满足

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导

那么在内至少存在一点，使得。

【点评】：

同上。

13）柯西中值定理：

如果函数和满足

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导

那么在内至少存在一点，使得。

【点评】：

同上。

14）单调性定理：

设函数在上连续，在上可导。

如果在上有，那么函数在上单调递增。

如果在上有，那么函数在上单调递减。

【点评】：

这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。

证明：

仅证明的情形，的情形类似。

，假定

则利用拉个朗日中值定理可得，使得。

由于，因此。

由的任意性，可知函数在上单调递增。

14）（极值第一充分条件）

设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。

ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值

ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值；

ⅲ）若时，符号保持不变，则在处没有极值；

【点评】：

单调性定理的推论，具体证明过程见教材。

15）（极值第二充分条件）

设函数在处存在二阶导数且，那么

ⅰ）若则在处取得极小值；

ⅱ）若则在处取得极大值。

【点评】：

这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。

证明：

仅证明的情形，的情形类似。

由于在处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。

在的某领域内成立

由于，因此

由高阶无穷小的定义可知，当时，有，又由于，因此在的某领域内成立。

进一步，我们有。

也即，在的某领域内成立。

由极值点的定义可知在处取得极小值。

16）洛必达法则

设函数在的空心邻域内可导，，且

则有，其中可以是有限数，也可以是。

【点评】：

洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。

洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。

具体证明过程见教材。