西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc

1、西南大学2014年春高等几何作业及答案(已整理)第一次作业1 写出下列点的齐次坐标（1）（2,0），（0，2），（1，5）;（2）2x+4y+1=0的无穷远点.2 求下列直线的齐次线坐标（1）x轴 （2）无穷远直线 （3）x+4y+1=0.3 求下列各线坐标所表示直线的方程： （1）0,-1,0 (2) 0,1,14 求联接点（1,2,1）与二直线2,1,3，1，1，0之交点的直线方程.5 经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比(ABP).6 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线的线坐标.7 求直线1,1,2与二点3，4，1,5,3,1

2、之联线的交点坐标.答案：1解:(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0).2解:(1)0,1,0 (2)0,0,1 (3)1,4,13解:(1) (2)4解: 二直线2,1,3，1，1，0的交点坐标为(3,3,-3),故两点（1,2,1）, (3,3,-3)联线的方程为,即.5解: 设=，则点P的坐标为P（，），因为点P在直线x3y60上，所以有+3（）6=0 ,有,.6 解: 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是 ,即.故线坐标为4,-3,9.7 解: 二点（3，4，1）,(5,3,1)联线的方程是,即，该直线的线坐标为1,-8,

3、-29.直线1,-8,-29.与直线1,1,2的交点为(13,31,9).第二次作业1已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_2试证四直线2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0共点，并顺这次序求其交比。3、设共线四点，求4 设两点列同底,求一射影对应0,1,分别变为1,0.5 求射影变换的自对应元素6一直线上点的射影变换是x=，则其不变点是7 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点.答案：1 解: -1 2 解: 四直线2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0的线坐标为2,-1,1,3,1,-2,7,-1,0,5,0,-1

4、.由于, .所以四直线共点.由于, , 故 , ,所求交比.3 解:因为, ,所以,所求交比.4 解:设第四对对应点,由于射影对应保留交比,所以,得到,因此.5 解: 射影变换的自对应元素参数满足方程,解得.6 解: 射影变换x=的不变元素满足=,解得,或.7 证明:设C为线段AB的中点,为线段AB上的无穷远点,则,命题得证.第三次作业1举例我们已经学习过的变换群 2下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？非平行线段的相等； 不垂直的直线；四边形； 梯形；菱形； 平行移动；关于点的对称； 关于直线的对称；绕点的旋转； 面积的相等。3从原点向圆（x2）2+(y2)2=1作切线t1,t2。试求x轴，

5、y轴，t1,t2顺这次序的交比。4若有两个坐标系，同以A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？5在二维射影坐标系下，求直线A1E，A2E，A3E的方程和坐标。6设点A（3，1，2），B（3，-1，0）的联线与圆x2+y25x7y6=0相交于两点C和D，求交点C，D及交比（AB，CD）。答案：1解: 射影变换群，仿射变换群, 欧氏变换群.2解: 是仿射的 是欧氏的.3 解:设直线y=kx与圆相切,则,两边平方得到,因此的方程为,的方程为,故.4 解:设两坐标系单位点分别为,由, (i=1,2,3)由上两式得到即 其中, ,。5 解:由于,故直线的方程直线的方程直线的方

6、程.线坐标分别为0,1,-1,1,0,-1,1,-1,0.6 解:圆的齐次方程为,设直线上任一点的齐次坐标是,若此点在已知圆上,则,化简得，所以,于是得到交点的坐标,且第四次作业1写出下列的对偶命题（1） 三点共线（2） 射影平面上至少有四个点，其中任何三点不共线2 已知是共线不同点，如果3证明巴卜斯定理：设A1,B1,C1三点在一直线上,A2,B2,C2三点在另一直线上,B1C2与B2C1的交点为L,C1A2与C2A1的交点为M,A1B2与A2B1的交点为N,证明:L,M,N三点共线.4求二次曲线xy+x+y=0的渐近线方程.5 . 求通过两直线交点且属于二级曲线的直线6 求点（5，1，7）

7、关于二阶曲线的极线答案：1 解：(1) 三线共点 (2) 射影平面上至少有四条直线,其中任何三线不共点.2 解: 由得到,又因为=-2.3 证明: 设,那么 从而 .这两个射影点列的公共点自对应,所以是透视点列. 因此应交于一点,即三点L,M,N三点共线.4 解: 二次曲线xy+x+y=0的中心坐标为(-1,1),故二次曲线的渐进线的方程可设 由于， 故 其中 ，所以渐进线方程为 , 5 解:设通过两直线 交点的线坐标为 ,若此直线属于二级曲线 ,则有 ，解得，。所求直线的坐标为1,2,2和-1,-14,10。6 解: 二阶曲线的矩阵是，所以点（5，1，7）关于二阶曲线的方程为（5,1,7）=

8、0，即。第五次作业1 求（1）二阶曲线的切线方程 （2）二级曲线在直线L1，4，1 上的切点方程2(1)求二次曲线 x2+3xy-4y2+2x10y=0的中心与渐近线。(2)求二阶曲线的过点的直径及其共轭直径.3已知二阶曲线（C）：（1） 求点关于曲线的极线（2） 求直线关于曲线的极点4证明双曲线：的两条以，为斜率的直径成为共轭的条件是=5 求射影变换的不变元素6求射影变换的固定元素。答案：1 解: (1)易验证点P在二阶曲线上,故过点P的切线方程是,即.(2) 类似地可验证直线L在二级曲线上,故直线L1,4,1上的切点方程是,即.2 解(1) 二次曲线 x2+3xy-4y2+2x10y=0的

9、矩阵是,=, ,.故中心坐标是(,)设渐进线方程,即，其中,故渐进线方程是或(2) 二阶曲线的矩阵是，易求出中心坐标(-3,1,1)，由于直径过中心,故过点的直径方程是,该直径上的无穷远点的坐标是(1,0,0)，所以共轭直径的方程是=0即3 解：(1) 二阶曲线的矩阵是点关于曲线的极线方程是(1,2,1) =0,即(2)设直线关于曲线的极点为(a,b,c),则有=，解得a=2,b=-30,c=37.所求极点是(2,-30,37)4 解：解方程组得说明无穷远直线与双曲线的交点满足此方程,即()()=0,双曲线上的两个无穷远点分布在=0和=0上，故=0和=0为渐进线，两直线的斜率是，为一对共轭直径的斜率,所以,整理得到=0,因为=-，所以=.5解：射影变换的特征方程是=0,即.把代人方程组,解得不变点是一条直线=0.把代人方程组，解得不变直线是即过(1,0,0)所有直线都是不变直线.6 解：射影变换的特征方程是=0，即或把代人方程组,解得不变点是一条直线把代入上述方程组，解得不变点(1,0,0).把代人方程组,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线.把代入上述方程组，解得不变直线