西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc

西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc

《西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

西南大学2014年春《高等几何》作业及答案（已整理）

第一次作业

1写出下列点的齐次坐标

（1）（2,0），（0，2），（1，5）;

（2）2x+4y+1=0的无穷远点.

2求下列直线的齐次线坐标

（1）x轴

（2）无穷远直线（3）x+4y+1=0.

3求下列各线坐标所表示直线的方程：

（1）[0,-1,0]

（2）[0,1,1]

4求联接点（1,2,－1）与二直线[2,1,3]，[1，－1，0]之交点的直线方程.

5经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）.

6经过A（-3，2，2），B（3，1，-1）两点的直线的线坐标.

7求直线[1,－1,2]与二点[3，4，－1],[5,－3,1]之联线的交点坐标.

答案：

1解:

（1）（2,0,1）,（0,2,1）,（1,5,1）;

（2）（2,-1,0）.

2解:

（1）[0,1,0]  

（2）[0,0,1]   （3）[1,4,1]

3解:

（1）

（2）

4解:

二直线[2,1,3]，[1，－1，0]的交点坐标为（3,3,-3）,故两点（1,2,－1）,（3,3,-3）联线的方程为,即.

5解:

设=λ，则点P的坐标为P（，），因为点P在直线x＋3y－6＝0上，所以有+3（）－6=0,有,.

6解:

经过A（-3，2，2），B（3，1，-1）两点的直线方程是

即.故线坐标为[4,-3,9].

7解:

二点（3，4，－1）,（5,－3,1）联线的方程是

即，该直线的线坐标为[1,-8,-29].

直线[1,-8,-29].与直线[1,－1,2]的交点为（13,31,9）.

第二次作业

1已知共线四点A、B、C、D的交比（AB，CD）=2，则（CA，BD）=_______

2试证四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0,7x－y=0,5x－1=0共点，并顺这次序求其交比。

3、设共线四点，，，，求

4设两点列同底,求一射影对应0,1,分别变为1,,0.

5求射影变换的自对应元素

6一直线上点的射影变换是x′=，则其不变点是

7证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点.

答案：

1解:

-1

2解:

四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0,7x－y=0,5x－1=0的线坐标为[2,-1,1],[3,1,-2],[7,-1,0],[5,0,-1].由于

.

所以四直线共点.

由于,,故,,所求交比.

3解:

因为,,所以,,所求交比.

4解:

设第四对对应点,,由于射影对应保留交比,所以,得到,因此.

5解:

射影变换的自对应元素参数满足方程,解得.

6解:

射影变换x′=的不变元素满足=,解得,或.

7证明:

设C为线段AB的中点,为线段AB上的无穷远点,则

命题得证.

第三次作业

1举例我们已经学习过的变换群

2下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？

①非平行线段的相等；②不垂直的直线；

③四边形；④梯形；

⑤菱形；⑥平行移动；

⑦关于点的对称；⑧关于直线的对称；

⑨绕点的旋转；⑩面积的相等。

3从原点向圆（x－2）2+（y－2）2=1作切线t1,t2。

试求x轴，y轴，t1,t2顺这次序的交比。

4若有两个坐标系，同以△A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？

5在二维射影坐标系下，求直线A1E，A2E，A3E的方程和坐标。

6设点A（3，1，2），B（3，-1，0）的联线与圆x2+y2－5x－7y＋6=0相交于两点C和D，求交点C，D及交比（AB，CD）。

答案：

1解:

射影变换群，仿射变换群,欧氏变换群.

2解:

①②③⑤⑦⑨⑩是仿射的④⑥⑧是欧氏的.

3解:

设直线y=kx与圆相切,则,两边平方得到,因此的方程为,的方程为,故.

4解:

设两坐标系单位点分别为,由,（i=1,2,3）

由上两式得到即

其中,,。

5解:

由于,,,,故直线的方程

直线的方程直线的方程.线坐标分别为[0,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,0].

6解:

圆的齐次方程为,设直线上任一点的齐次坐标是,若此点在已知圆上,则

化简得，所以,

于是得到交点的坐标,,,且

第四次作业

1写出下列的对偶命题

（1）三点共线

（2）射影平面上至少有四个点，其中任何三点不共线

2已知是共线不同点，如果

3证明巴卜斯定理：

设A1,B1,C1三点在一直线上,A2,B2,C2三点在另一直线上,B1C2与B2C1的交点为L,C1A2与C2A1的交点为M,A1B2与A2B1的交点为N,证明:

L,M,N三点共线.

4求二次曲线xy+x+y=0的渐近线方程.

5.求通过两直线交点且属于二级曲线的直线

6求点（5，1，7）关于二阶曲线的极线

答案：

1解：

（1）三线共点

（2）射影平面上至少有四条直线,其中任何三线不共点.

2解:

由得到,又因为==-2.

3证明:

设,,,那么

从而.

这两个射影点列的公共点自对应,所以是透视点列.因此应交于一点,即三点L,M,N三点共线.

4解:

二次曲线xy+x+y=0的中心坐标为（-1,1）,故二次曲线的渐进线的方程可设

由于，

故其中，所以渐进线方程为,

5解:

设通过两直线交点的线坐标为,若此直线属于二级曲线,则有，解得，。

所求直线的坐标为[1,2,2]和[-1,-14,10]。

6解:

二阶曲线的矩阵是，

所以点（5，1，7）关于二阶曲线的方程为

（5,1,7）=0，即。

第五次作业

1求

（1）二阶曲线的切线方程

（2）二级曲线在直线L[1，4，1]上的切点方程

2

（1）求二次曲线x2+3xy-4y2+2x－10y=0的中心与渐近线。

（2）求二阶曲线的过点的直径及其共轭直径.

3已知二阶曲线（C）：

（1）求点关于曲线的极线

（2）求直线关于曲线的极点

4证明双曲线：

的两条以λ，λ'为斜率的直径成为共轭的条件是λλ'=

5求射影变换的不变元素

6求射影变换的固定元素。

答案：

1解:

（1）易验证点P在二阶曲线上,故过点P的切线方程是

即.

（2）类似地可验证直线L在二级曲线上,故直线L[1,4,1]上的切点方程是

即.

2解

（1）二次曲线x2+3xy-4y2+2x－10y=0的矩阵是,=,,.故中心坐标是（,）

设渐进线方程,即，其中,,故渐进线方程是或

（2）二阶曲线的矩阵是，易求出中心坐标（-3,1,1），由于直径过中心,故过点的直径方程是,该直径上的无穷远点的坐标是（1,0,0），所以共轭直径的方程是

=0即

3解：

（1）二阶曲线的矩阵是

点关于曲线的极线方程是（1,2,1）=0,即

（2）设直线关于曲线的极点为（a,b,c）,则有=，解得

a=2,b=-30,c=37.所求极点是（2,-30,37）

4解：

解方程组得说明无穷远直线与双曲线的交点满足此方程,即（）（）=0,双曲线上的两个无穷远点分布在=0和=0上，故=0和=0为渐进线，两直线的斜率是，

λ，λ'为一对共轭直径的斜率,所以,整理得到=0,因为=-，所以=.

5解：

射影变换的特征方程是=0,即.

把代人方程组,解得不变点是一条直线=0.

把代人方程组，解得不变直线是即过（1,0,0）所有直线都是不变直线.

6解：

射影变换的特征方程是=0，即或

把代人方程组,解得不变点是一条直线

把代入上述方程组，解得不变点（1,0,0）.

把代人方程组,解得不变直线是过（1,0,0）的所有直线..

把代入上述方程组，解得不变直线