量子力学讲义第1、2章.doc

1、量子力学备课笔记教材：汪德新量子力学目录第一章 经典物理学的困难与量子力学的实验基础（2）第二章 量子体系的状态(6)第三章 量子体系的力学量(10+2)第四章 量子力学的表述形式(8)第五章 一维定态问题的严格解(2)第六章 三维定态问题的严格解(4)第七章 定态问题的近似解(6)第八章 自旋与角动量(6)第九章 全同粒子体系(4)第十章 对称性与守恒律(0)第十一章 量子跃迁(6)第十二章 弹性散射(4)* 量子力学的新进展（4）主要参考书：(1)教材P477所列；(2) 赵凯华、罗蔚茵量子物理。 玻尔：如果谁第一次学习量子力学时，不觉得糊涂，那么他就一点也没有看懂。杨福家：量子力学的内容

2、可以包括三个方面：一是介绍产生新概念的一些重要实验；二是提出一系列不同于经典物理的新思想；三是给出解决具体实际问题的方法。喀兴林：量子力学难懂的原因有两条。第一是因为微观世界中有很多事情同我们的宏观世界不同，因而同人们的生活经验和思想方法格格不入；第二是由于量子力学是一门定量的物理理论，表述规律、说明现象和进行逻辑推理，都离不开数学公式，数学公式一多，就显得难懂。A 索末菲：要勤奋地去做练习，只有这样，你才会发现，哪些你理解了，哪些 你还没有理解。钱学森：理论工作中主要是靠做习题来练，不做习题是练不出本领来的。前言量子物理学的发展史（大体分四个阶段）：1 早期量子论（1900-1923）：“经

3、典物理+量子条件”（第一章）2 非相对论量子力学（1924-1927）：即通常讲的量子力学（第二第十二章）3 相对论量子力学（1928-1930）：狄拉克贡献突出4 量子场论（1930-）：“量子力学+相对论+场论”（粒子物理的理论基础）量子力学研究对象：研究微观粒子作低速运动时的基本规律发展起来的，将波粒二象性统一起来的动力学理论。量子力学的重要地位：没有量子力学就没有现代科学技术。 实验基础：第一章。主要内容： 基本概念和原理：第二、三、四、八、九、十章。基本方法和应用实例：第五、六、七、十一、十二章。学习困难：思想方法和数学工具。学习要求：自学（读书与做练习），听课(思考与提问)，讨论（

4、交流）。第一章 经典物理学的困难与量子力学的实验基础第一章内容普通物理都已涉及，我们仅概述要点，重点说明“早期量子论到量子力学”的必然性和发展，以解决“为什么要量子力学”的问题。1. 1黑体辐射 普朗克的能量子假设(1900)实验结果 经典理论结果 普朗克公式 普朗克能量子假设=h(1918诺贝尔奖)1. 2光电效应 爱因斯坦的光量子假设(1905)实验结果 经典理论无法解释 爱因斯坦光量子论=h(1921诺贝尔奖)1. 3康普顿效应 光的波粒二象性(1923)康普顿效应 经典理论无法解释光具有粒子性：用光子和自由电子碰撞（能量-动量守恒）成功解释康普顿效(1927诺贝尔奖)1.4原子的线状光

5、谱与原子的稳定性 玻尔的量子论（1913）原子模型的发展：老汤姆孙的蛋糕模型卢瑟福的核式模型玻尔的量子论(1922诺贝尔奖)玻尔理论的意义：1900-1913年达到早期量子论的高峰，一直延续到1923年。玻尔首次打开了认识原子结构的大门，明确指出经典物理对原子内部已不适用，用量子论推动了光谱理论的发展，架起了经典物理通向量子物理的桥梁。但是，玻尔理论只是“搭桥”，并没有登上新物理的“彼岸”。1. 5实物粒子的波动性 德布罗意假设(1924)微观粒子（实物）的波粒二象性： 德布罗意波(1929年诺贝尔奖)实验验证：戴维孙-革末，小汤姆孙，电子衍射（1927; 1937年诺贝尔奖）1. 6量子力学

6、的建立早期量子论的局限性 在解决实际问题中的困难：如玻尔模型，只能解释氢原子光谱，对仅多一个电子的氦原子就无能为力；对氢原子也只能给出频率，不能给出光谱的强度。 理论结构本身的根本性缺陷：不是微观体系的一种严密的物理理论，只不过是“一盘大杂烩” “经典物理+量子条件”的混合物。 真正需要的是：对物理理论重整，使它对所有系统都给出正确结果。并在宏观领域回到经典理论这就是量子理论。量子理论的建立 海森堡矩阵力学（1925;1932年诺贝尔奖） 玻尔理论的发展：认为原子理论应建立在可观察量（如光谱、频率）的基础上，赋予每一个物理量一个矩阵，得到相应的运算法则和运动方程。 薛定谔波动力学（1926;1

7、933年诺贝尔奖） 德布罗意波的发展：德布罗意波波动方程（德拜的“发问”）波函数的统计解释（玻恩1926;1954年诺贝尔奖）。 量子力学 波动力学和矩阵力学合一：薛定谔证明了两者的等价狄拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系，通过严格的变换理论将两者统一为量子力学。 狄拉克1930年完成量子力学“圣经”量子力学。（1933年诺贝尔奖） 量子力学的第三种表述 路径积分：狄拉克提出，费曼发展（1948;1964年诺贝尔奖）量子理论建立的特点 众多物理学家共同努力的结晶:标志着物理研究方式的转变（群体化），量子物理公认的领袖是玻尔（哥本哈根学派）。 量子物理学的成就多属于青年人：1905年爱因斯坦提出

8、狭义相对论时才25岁；1912年玻尔提出量子论时27岁；1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁；1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学；1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。创建量子力学时，很多从事这方面工作的科学家都访问过玻尔的研究所，那时玻尔年纪也不大，40岁不到，爱因斯坦年纪也不大，按照中国现在的说法是中年和中青年。可是建立量子力学的不是玻尔、爱因斯坦，而是一批更年轻的科学家。到第二次世界大战以后，又是一批年轻的科学家，36岁的朝永振一郎、28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。到1950年代，新的基本粒子被

9、发现了，这些新问题的解答，是由另一代年轻的科学家做出的。盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。杨振宁和李政道，分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。吴健雄44岁实验证明了宇称不守恒。1960年代，29岁的格拉肖和34岁的温伯格统一了电磁作用与弱作用。1999年得诺贝尔奖的霍夫特（G.t Hooft）和费尔特曼（M.J.G.Veltman），也都是更年轻的一代。作业：1.弄清第一章的物理思想。2.从习题中选择有代表性的习题训练。第一篇 态和力学量本篇回答的问题：如何描述量子体系的状态？运动规律遵从什么样的方程？如何描述力学量？各种不同表述之间的关系？第二章 量子体系的状态2.1 波函数的统计解释一、 如

10、何描述微观粒子经典粒子：r , p 如“子弹双缝”实验“1”：密度分布P1(x)“2”：密度分布P2(x)“1+2”： 密度分布P12(x)=P1(x)+P2(x) 经典波： （x,y,z,t）如水波双缝实验“1”：强度分布I1(x)= “2”：强度分布I2(x)= “1+2”：强度分布I12(x) I1(x)+I2(x)I12(x)= I1(x)+I2(x)+干涉项微观粒子：如电子双缝实验设电子流很弱，电子几乎一个一个地经过双缝，然后 在感光底片上被记录。起初，电子似乎无规律的“一个一个”地落在感光底片上。长时间后，出现与经典波相似的“衍射花样”。如何理解：电子是“一个一个”地落在感光底片上

11、 原子性 似乎无规律导致有规律的“衍射花样” 波动性 经典粒子的描述无法反映电子的波动性 经典波的描述无法反映电子的原子性（粒子性）如何解决：为了反映波动性，可以借用“经典波”的描述方法 波函数描述 为了反映粒子性，玻恩借用统计中的几率概念 重新解释波函数从而解决了建立完整的微观理论中的一大难题：“波函数形式”+“统计解释” 描述具有波粒二象性的微观粒子微观粒子用波函数描述微观粒子在t时刻出现在r处体元d的几率为d 统计性是微观物理现象的本质特征二、 的不确定性1、 因为只有相对几率才有意义，与C描述同一状态。2、 归一化条件：。若，则 ，C为归一化常数。3、 不能采用上述方法归一化的情形。如

12、自由粒子波函数， ， ，对应单色（）平面波（k）： ，空间各处发现自由粒子的几率相同。 ？！如何归一化，以后再讨论。三、 多粒子体系的波函数（自学）。2.2 态叠加原理一、 电子双缝实验的启示什么量叠加？强度（几率）还是态函数（几率幅）？如果是强度叠加，则无干涉项。所以，对微观粒子，几率不遵守叠加原理，几率幅遵守叠加原理。二、 态叠加原理（基本假设之一） 若1，2，n是体系的可能状态，则是它的线性叠加：。物理意义：1 力学量A 的确定值a1 可能为a12 力学量A 的确定值a2力学量A的值 可能为a2 n 力学量A 的确定值an 可能为an粒子既处于1态，又处于2态， ； 1，2， 是的可能态

13、，各种可能态的几率为， ，且 。（这与经典物理具有本质差异）叠加导致测量的不确定性和各种可能值的几率的确定性三、 动量分布函数（动量表象的波函数）叠加原理的例子 问题：在r处找到粒子的几率 测得动量p 的几率如何呢？若为单色平面波：，, E=h,则。 一般情况下，粒子可能以各种不同的动量p运动，态依叠加原理可表成p取各种可能值的平面波叠加：。若p连续变化， ， 。取 ， 即 ，可得 ，易知 是的付里叶变换。其逆变换为 。可见 一一对应，是同一状态的不同描述。是以坐标为自变量，称为坐标表象的波函数；是以动量为自变量，称为动量表象的波函数。是时刻t粒子动量在内的几率和通过付里叶变换来联系（指导学生

14、自学P29例题）作业：习题2.1 、3 ；习题2.2 、1，2。2. 3薛定谔方程 几率守恒定律这是量子力学的核心问题 如何随时间演化？一、波函数随时间变化的规律薛定谔方程（S-方程）（考虑到原子物理中已有讨论，这里只讲要点。）自由粒子的启发： ， 势场U(r)中运动的粒子： 经典公式： 受自由粒子的启发，作算符替代： ， ，作用与得： 薛定谔方程或 ，哈密顿算符几点说明：1、 它揭示了非相对论情形下，微观世界中物质运动的基本规律。地位等同经典力学中的牛顿运动方程。2、 它并非“推导”出来的，而是一种基本假设，其正确性由实验验证。3、 推广到多粒子系统有： ， 。二、定态 定态薛定谔方程 一种

15、极为重要的特殊情形： U(r) 不显含时间令 (r, t)=(r)f(t), 代入S-方程得（与r , t无关的常数 能量值）， (r)称为定态波函数，满足 定态薛定谔方程或 ， 若能量取值为E1，E2，En 则 为的本征值，为的本征函数（对应）。S-方程的通解为 。三、几率守恒定律问题：如何随时间变化？ ，由S-方程：，代入上式： 其中 几率守恒定律类似电动力学电荷守恒的讨论，称J为几率流密度。任何可实现的波函数，应满足平方可积条件： 有限。（导致对行为的要求：，为什么？请思考。）几率守恒定律的积分形式为（类似电动力学电荷守恒的讨论）：当V, S 时，有 ，总几率守恒粒子数守恒作业：习题2.

16、3、 1，2，3，4。2.4 定态S-方程的解法：一维无限深势阱与线性谐振子 无限深势阱 精确解（只有几类） 线性谐振子量子力学中的求解 氢原子 近似解（在量子力学中十分重要） 束缚态（EU） 连续谱一、波函数的标准条件（充分条件；必要条件的讨论可参见曾谨言的书）1、 单值性：单值，但有不定性（相因子）。2、 有限性：有限，导致有限或允许存在孤立奇点（如-函数）。3、 连续性：w, J 连续，导致连续，但对U，的一阶导数不连续。二、 一维无限深势阱（原子物理已有讨论，仅讲要点） 物理背景：金属中的电子、原子中的电子、核中的质子和中子等，都有一个共同特点 粒子被限制在一定范围内运动。 引入物理模

17、型：无限高刚性“壁”（箱）势阱 近似认为粒子在方阱中运动 最理想的情况（近似）在无限深势阱中运动。 0 0xaU= x0, xa方程： 0xa x0 , xa 此方程在时，仅=0。求通解：（0xa） 令 有 ， 由标准条件定解： 连续性 ， n=1, 2,。， n=1, 2,，量子化。 ， 0xa 。由归一化条件定A： 。 0 x0, xa ，= 0xa 。 （请自学解的物理意义）三、 线性谐振子（原子物理已有讨论，仅讲要点） 1、 谐振子问题的重要性 任何一个体系U(x)，在稳定平衡点附近均可用线性谐振子来表示它的势。 稳定平衡点 x=a ，将U(x)在a点附近作台劳展开： 由稳定平衡条件，

18、适当取坐标，使a=0 ,适当取零点，使U(a)=0，则。2、 谐振子问题的解方程： 引入参量简化方程：令 的渐近解：当时，方程变成 （ 略去了“”）取尝试解 （请思考为什么不取？），。 由标准条件定解： 令 代入原方程有厄米方程，可由级数求解（略，见教材）几点讨论：a）一般情况下，H是无穷级数，且 ，不满足有限性条件！b) 为了保证束缚态边条件，必须要求H中断成一个多项式，厄米多项式。中断条件为 。c) 满足归一化条件的波函数为 。可以证明，称的宇称为。（很有用的性质） 能量量子化： n=0，1，2，。3、 物理讨论 与宏观谐振子比较（自学）。例题：教材P192、4。解：x0同谐振子，但连续性要求（0）=0。注意，谐振子波函数满足。由 知，当n=2k+1时，恒满足（0）=0。而n=2k则不能满足（0）=0的要求（这由即可知）。故有 谐振子波函数；。 0 x0作业：习题2.4、2，3，4，5。13