量子力学讲义第1、2章.doc
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量子力学
备课笔记
教材:
汪德新《量子力学》
目录
第一章经典物理学的困难与量子力学的实验基础
(2)
第二章量子体系的状态(6)
第三章量子体系的力学量(10+2)
第四章量子力学的表述形式(8)
第五章一维定态问题的严格解
(2)
第六章三维定态问题的严格解(4)
第七章定态问题的近似解(6)
第八章自旋与角动量(6)
第九章全同粒子体系(4)
第十章对称性与守恒律(0)
第十一章量子跃迁(6)
第十二章弹性散射(4)
**量子力学的新进展(4)
主要参考书:
(1)教材P477所列;
(2)赵凯华、罗蔚茵《量子物理》。
玻尔:
如果谁第一次学习量子力学时,不觉得糊涂,那么他就一点也没有看懂。
杨福家:
量子力学的内容可以包括三个方面:
一是介绍产生新概念的一些重要实验;二是提出一系列不同于经典物理的新思想;三是给出解决具体实际问题的方法。
喀兴林:
量子力学难懂的原因有两条。
第一是因为微观世界中有很多事情同我们的宏观世界不同,因而同人们的生活经验和思想方法格格不入;第二是由于量子力学是一门定量的物理理论,表述规律、说明现象和进行逻辑推理,都离不开数学公式,数学公式一多,就显得难懂。
A.索末菲:
要勤奋地去做练习,只有这样,你才会发现,哪些你理解了,哪些
你还没有理解。
钱学森:
理论工作中主要是靠做习题来练,不做习题是练不出本领来的。
前言
量子物理学的发展史(大体分四个阶段):
1.早期量子论(1900-1923):
“经典物理+量子条件”(第一章)
2.非相对论量子力学(1924-1927):
即通常讲的量子力学(第二~第十二章)
3.相对论量子力学(1928-1930):
狄拉克贡献突出
4.量子场论(1930-):
“量子力学+相对论+场论”(粒子物理的理论基础)
量子力学研究对象:
研究微观粒子作低速运动时的基本规律发展起来的,将波粒二象性统一起来的动力学理论。
量子力学的重要地位:
没有量子力学就没有现代科学技术。
实验基础:
第一章。
主要内容:
基本概念和原理:
第二、三、四、八、九、十章。
基本方法和应用实例:
第五、六、七、十一、十二章。
学习困难:
思想方法和数学工具。
学习要求:
自学(读书与做练习),听课(思考与提问),讨论(交流)。
第一章经典物理学的困难与量子力学的实验基础
第一章内容普通物理都已涉及,我们仅概述要点,重点说明“早期量子论到量子力学”的必然性和发展,以解决“为什么要量子力学”的问题。
1.1黑体辐射普朗克的能量子假设(1900)
实验结果经典理论结果普朗克公式普朗克能量子假设ε=hυ(1918诺贝尔奖)
1.2光电效应爱因斯坦的光量子假设(1905)
实验结果经典理论无法解释爱因斯坦光量子论ε=hυ(1921诺贝尔奖)
1.3康普顿效应光的波粒二象性(1923)
康普顿效应经典理论无法解释
光具有粒子性:
用光子和自由电子碰撞(能量-动量守恒)成功解释康普顿效
(1927诺贝尔奖)
1.4原子的线状光谱与原子的稳定性玻尔的量子论(1913)
原子模型的发展:
老汤姆孙的蛋糕模型—卢瑟福的核式模型—玻尔的量子论(1922诺贝尔奖)
玻尔理论的意义:
1900-1913年达到早期量子论的高峰,一直延续到1923年。
玻尔首次打开了认识原子结构的大门,明确指出经典物理对原子内部已不适用,用量子论推动了光谱理论的发展,架起了经典物理通向量子物理的桥梁。
但是,玻尔理论只是“搭桥”,并没有登上新物理的“彼岸”。
1.5实物粒子的波动性德布罗意假设(1924)
微观粒子(实物)的波粒二象性:
~德布罗意波(1929年诺贝尔奖)
实验验证:
戴维孙-革末,小汤姆孙,电子衍射(1927;1937年诺贝尔奖)
1.6量子力学的建立
早期量子论的局限性
在解决实际问题中的困难:
如玻尔模型,只能解释氢原子光谱,对仅多一个电子的氦原子就无能为力;对氢原子也只能给出频率,不能给出光谱的强度。
理论结构本身的根本性缺陷:
不是微观体系的一种严密的物理理论,只不过是“一盘大杂烩”~“经典物理+量子条件”的混合物。
真正需要的是:
对物理理论重整,使它对所有系统都给出正确结果。
并在宏观领域回到经典理论—这就是量子理论。
量子理论的建立
海森堡矩阵力学(1925;1932年诺贝尔奖)~玻尔理论的发展:
认为原子理论应建立在可观察量(如光谱、频率)的基础上,赋予每一个物理量一个矩阵,得到相应的运算法则和运动方程。
薛定谔波动力学(1926;1933年诺贝尔奖)~德布罗意波的发展:
德布罗意波—波动方程(德拜的“发问”)—波函数的统计解释(玻恩1926;1954年诺贝尔奖)。
量子力学~波动力学和矩阵力学合一:
薛定谔证明了两者的等价—狄拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系,通过严格的变换理论将两者统一为量子力学。
狄拉克1930年完成量子力学“圣经”《量子力学》。
(1933年诺贝尔奖)
量子力学的第三种表述~路径积分:
狄拉克提出,费曼发展(1948;1964年诺贝尔奖)
量子理论建立的特点
众多物理学家共同努力的结晶:
标志着物理研究方式的转变(群体化),量子物理公认的领袖是玻尔(哥本哈根学派)。
量子物理学的成就多属于青年人:
1905年爱因斯坦提出狭义相对论时才25岁;
1912年玻尔提出量子论时27岁;
1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁;1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学;
1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。
创建量子力学时,很多从事这方面工作的科学家都访问过玻尔的研究所,那时玻尔年纪也不大,40岁不到,爱因斯坦年纪也不大,按照中国现在的说法是中年和中青年。
可是建立量子力学的不是玻尔、爱因斯坦,而是一批更年轻的科学家。
到第二次世界大战以后,又是一批年轻的科学家,36岁的朝永振一郎、28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。
到1950年代,新的基本粒子被发现了,这些新问题的解答,是由另一代年轻的科学家做出的。
盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。
杨振宁和李政道,分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。
吴健雄44岁实验证明了宇称不守恒。
1960年代,29岁的格拉肖和34岁的温伯格统一了电磁作用与弱作用。
1999年得诺贝尔奖的霍夫特(G.'tHooft)和费尔特曼(M.J.G.Veltman),也都是更年轻的一代。
作业:
1.弄清第一章的物理思想。
2.从习题中选择有代表性的习题~训练。
第一篇态和力学量
本篇回答的问题:
如何描述量子体系的状态?
运动规律遵从什么样的方程?
如何描述力学量?
各种不同表述之间的关系?
第二章量子体系的状态
2.1波函数的统计解释
一、如何描述微观粒子
经典粒子:
r,p
如“子弹双缝”实验
“1”:
密度分布P1(x)
“2”:
密度分布P2(x)
“1+2”:
密度分布
P12(x)=P1(x)+P2(x)
经典波:
Ψ(x,y,z,t)
如水波双缝实验
“1”:
强度分布I1(x)=
“2”:
强度分布I2(x)=
“1+2”:
强度分布
I12(x)≠I1(x)+I2(x)
I12(x)==I1(x)+I2(x)+干涉项
微观粒子:
如电子双缝实验
设电子流很弱,电子几乎一个一个地经过双缝,然后在感光底片上被记录。
起初,电子似乎无规律的“一个一个”地落在感光底片上。
长时间后,出现与经典波相似的“衍射花样”。
如何理解:
电子是“一个一个”地落在感光底片上~原子性
似乎无规律导致有规律的“衍射花样”~波动性
经典粒子的描述无法反映电子的波动性
经典波的描述无法反映电子的原子性(粒子性)
如何解决:
为了反映波动性,可以借用“经典波”的描述方法~波函数描述
为了反映粒子性,玻恩借用统计中的几率概念~重新解释波函数
从而解决了建立完整的微观理论中的一大难题:
“波函数形式”+“统计解释”~Ψ描述具有波粒二象性的微观粒子
微观粒子用波函数Ψ描述
微观粒子在t时刻出现在r处体元dτ的几率为dτ
统计性是微观物理现象的本质特征
二、Ψ的不确定性
1、因为只有相对几率才有意义,Ψ与CΨ描述同一状态。
2、归一化条件:
。
若,则,C为归一化常数。
3、不能采用上述方法归一化的情形。
如自由粒子波函数,,,
对应单色(ω)平面波(k):
,
,空间各处发现自由粒子的几率相同。
?
!
如何归一化,以后再讨论。
三、多粒子体系的波函数(自学)。
2.2态叠加原理
一、电子双缝实验的启示
什么量叠加?
强度(几率)还是态函数(几率幅)?
如果是强度叠加,则无干涉项。
所以,对微观粒子,几率不遵守叠加原理,几率幅遵守叠加原理。
二、态叠加原理(基本假设之一)
若Ψ1,Ψ2,···,Ψn是体系的可能状态,则Ψ是它的线性叠加:
。
物理意义:
Ψ1→力学量A的确定值a1可能为a1
Ψ2→力学量A的确定值a2 Ψ→力学量A的值可能为a2
·········
Ψn→力学量A的确定值an可能为an
粒子既处于Ψ1态,又处于Ψ2态,···;Ψ1,Ψ2,···是Ψ的可能态,各种可能态的几率为,···,且。
(这与经典物理具有本质差异)
叠加导致测量的不确定性和各种可能值的几率的确定性
三、动量分布函数(动量表象的波函数)——叠加原理的例子
问题:
在r处找到粒子的几率∝→测得动量p的几率如何呢?
若为单色平面波:
λ,υ→,E=hυ,则。
一般情况下,粒子可能以各种不同的动量p运动,Ψ态依叠加原理可表成p取各种可能值的平面波叠加:
。
若p连续变化,,
。
取,即,
可得,
易知是的付里叶变换。
其逆变换为
。
可见←→一一对应,是同一状态的不同描述。
是以坐标为自变量,称为坐标表象的波函数;
是以动量为自变量,称为动量表象的波函数。
是时刻t粒子动量在内的几率
和通过付里叶变换来联系
(指导学生自学P29例题)
作业:
习题2.1、3;习题2.2、1,2。
2.3薛定谔方程几率守恒定律
这是量子力学的核心问题——如何随时间演化?
一、波函数随时间变化的规律——薛定谔方程(S-方程)
(考虑到原子物理中已有讨论,这里只讲要点。
)
自由粒子的启发:
,
→
势场U(r)中运动的粒子:
经典公式:
受自由粒子的启发,作算符替代:
,,
作用与得:
——薛定谔方程
或,——哈密顿算符
几点说明:
1、它揭示了非相对论情形下,微观世界中物质运动的基本规律。
地位等同经典力学中的牛顿运动方程。
2、它并非“推导”出来的,而是一种基本假设,其正确性由实验验证。
3、推广到多粒子系统有:
,。
二、定态定态薛定谔方程
一种极为重要的特殊情形:
U(r)不显含时间——
令Ψ(r,t)=ψ(r)f(t),代入S-方程得
(与r,t无关的常数—能量值)
,ψ(r)称为定态波函数,
满足——定态薛定谔方程
或,
若能量取值为E1,E2,……,En则
为的本征值,为的本征函数(对应)。
S-方程的通解为。
三、几率守恒定律
问题:
如何随时间变化?
,
由S-方程:
,
代入上式:
其中→——几率守恒定律
类似电动力学电荷守恒的讨论,称J为几率流密度。
任何可实现的波函数,应满足平方可积条件:
有限。
(导致对ψ行为的要求:
,为什么?
请思考。
)
几率守恒定律的积分形式为(类似电动力学电荷守恒的讨论):
当V→∞,S→∞时,有,
——总几率守恒~粒子数守恒
作业:
习题2.3、1,2,3,4。
2.4定态S-方程的解法:
一维无限深势阱与线性谐振子
无限深势阱
精确解(只有几类)线性谐振子
量子力学中的求解氢原子
近似解(在量子力学中十分重要)
束缚态(E
两类问题
散射态(E>U)~连续谱
一、波函数的标准条件(充分条件;必要条件的讨论可参见曾谨言的书)
1、单值性:
单值,但ψ有不定性(相因子)。
2、有限性:
有限,导致ψ有限或允许存在孤立奇点(如δ-函数)。
3、连续性:
w,J连续,导致ψ连续,但对U→∞,ψ的一阶导数不连续。
二、一维无限深势阱(原子物理已有讨论,仅讲要点)
物理背景:
金属中的电子、原子中的电子、核中的质子和中子等,都有一个共同特点——粒子被限制在一定范围内运动。
引入物理模型:
无限高刚性“壁”(箱)~势阱→近似认为粒子在方阱中运动→最理想的情况(近似)在无限深势阱中运动。
00U=
∞x≤0,x≥a
方程:
0x≤0,x≥a此方程在时,仅ψ=0。
求通解:
(0由标准条件定解:
连续性~
~,n=1,2,……。
,n=1,2,……,量子化。
,0由归一化条件定A:
。
0x≤0,x≥a,
=
0(请自学解的物理意义)
三、线性谐振子(原子物理已有讨论,仅讲要点)
1、谐振子问题的重要性
任何一个体系U(x),在稳定平衡点附近均可
用线性谐振子来表示它的势。
稳定平衡点x=a,将U(x)在a点附近作台劳展开:
由稳定平衡条件,适当取坐标,使a=0,适当取零点,使U(a)=0,则。
2、谐振子问题的解
方程:
①引入参量简化方程:
令
②的渐近解:
当时,方程变成(略去了“λ”)
取尝试解(请思考为什么不取?
),
。
③由标准条件定解:
令代入原方程有
——厄米方程,可由级数求解(略,见教材)
几点讨论:
a)一般情况下,H是无穷级数,且
,不满足有限性条件!
b)为了保证束缚态边条件,,必须要求H中断成一个多项式,厄米多项式。
中断条件为。
。
c)满足归一化条件的波函数为
。
可以证明,,称的宇称为。
(很有用的性质)
④能量量子化:
n=0,1,2,……。
3、物理讨论~与宏观谐振子比较(自学)。
例题:
教材P192、4。
解:
x<0~无限深势阱,粒子不能穿过Ψ(x)=0。
x>0~同谐振子,但连续性要求Ψ(0)=0。
注意,谐振子波函数满足。
由知,当n=2k+1时,恒满足Ψ(0)=0。
而n=2k则不能满足Ψ(0)=0的要求(这由即可知)。
故有——谐振子波函数;。
0x<0
结果=;。
x>0
作业:
习题2.4、2,3,4,5。
13