高考理科数学必会知识点总结.doc

1、高考理科数学必会知识点总结1集合与简易逻辑一、集合间的关系及其运算（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。（2）= ；= ；= .（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A、B，切记：.（4）集合中元素的个数的计算： 若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是(1)，所有非空真子集的个数是(2)。二、常用逻辑用语：1、四种命题：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p注：1、原命题与逆否命题等价

2、；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.3、逻辑联结词：且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p或（or）： 命题形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”4、充要条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。5、全称

3、命题与特称命题：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。全称命题p：； 全称命题p的否定p：。特称命题p：； 特称命题p的否定p：；2函数和导数一、函数的性质1定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；2值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；3奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：.定义法步骤：求出定义域并判断定义域是否

4、关于原点对称；求； 比较或的关系；.图象法；常用的结论已知：若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数；若是奇函数，且，则.4单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：（1）.定义法 步骤：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。另解：设那么上是增函数；上是减函数.（2）.（多项式函数）用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则 在A内为增函数； 在A内为减函数.（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若

5、f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.（4）一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：F（）（增）=（增）+（增）； F（）（减）=（减）+（减）；F（）（增）=（增）（减）； F（）（减）=（减）（增）；一个重要的函数：函数在上单调递增；在上是单调递减.5函数的周期性（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期. T的整数倍都是的周期。二、函数的图象1基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比

6、例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数.2图象的变换（1）平移变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换函数与函数的图象关于直线x=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；如果函数对于一切都有 ，那么 的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于点对称。函数与函数的图象关于直线对称。与关于直对称。 （3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中

7、）三、函数的反函数：1求反函数的步骤：（1）求原函数的值域B（2）把看作方程，解出（注意开平方时的符号取舍）；（3）互换x、y，得的反函数为.2定理：（1），即点在原函数图象上点在反函数图象上；（2）原函数与反函数的图象关于直线对称.3有用的结论：原函数在区间上单调的，则一定存在反函数，且反函数也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。四、函数、方程与不等式1“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元

8、二次方程实根的分布。设为方程的两个实根。若则；当在区间内有且只有一个实根，时，当在区间内有且只有两个实根时， 若时注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。注意端点，验证端点。五、指数函数与对数函数1指数式与对数式：对数的三个性质：； 对数恒等式：；对数运算性质：； ；.指数运算性质： 2指数函数与对数函数（1）特征图象与性质归纳（列表）指数函数y=ax (a0,a1)对数函数y=log ax (a0,a1)特征图象0a10a1定义域（，+）（0，+）值域（0，+）（，+）单调性减函数增函数减函数增函数定点（0，1）（1，0）函数值分布x1；x0时，0y1xo时，0y0时，y10

9、x0；x1时，y00x1时，y1时，y0（2）有用的结论函数与（且）图象关于直线对称；函数与（且）图象关于轴对称；函数与（且）图象关于轴对称. 记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？六、导数：1几种常见函数的导数 (1) （C为常数） (2) (3) (4) (5) （6） (7) （8）2导数的运算法则（1） （2） （3）.3复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.4导数的几何物理意义：（1）几何意义：kf/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线的斜率。曲线在点P(x0,f(x0)处的切线方程为：（2）

10、Vs/(t)表示即时速度，a=v/(t) 表示加速度。5单调区间的求解过程：已知分析的定义域；求导数 ；解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本）6求极大、极小值：已知分析的定义域；求导数 ；求解方程（设有根）；列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值。注：判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.注意：f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值；但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)07求函数在某闭区间a,b上

11、的最大、最小值：同上；比较、，最大的为，最小的为.注意：极值最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.3数列一、数列的定义和基本问题1通项公式：（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；2前n项和：；3通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：二、等差数列：1定义和等价定义：是等差数列；2通项公式：；推广：；3前n项和公式：；4重要性质举例：与的等差中项；若，则；特别地：若，则；奇数项，成等差数列，公差为；偶数项，成等差数列，公差为.若有奇数项项，则；，（）；若有偶数项2n项, 则，其中d为公差；设， 则有；当时，有最大值；

12、当时，有最小值.用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.（8）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则三、等比数列：1定义：成等比数列；2通项公式：；推广；3前n项和；（注意对公比的讨论）4重要性质举例 与的等比中项G（同号）；若，则；特别地：若，则；设， 则有；用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.四、等差数列与等比数列的关系举例1成等差数列成等比数列；2成等比数列成等差数列.五、数列求和方法 ：1等差数列与等比数列； 2几种特殊的求和方法（1）裂项相消法；（2）错位相减法：, 其中是等差数列， 是等比数列 记；则，（3）通项分解法：六、递推数列与

13、数列思想1递推数列 （1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由，求.解题思路：利用2数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.4三角函数一、三角函数的基本概念1终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；2任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒

14、数关系），=， 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限：二、两角和与差的三角函数1和（差）角公式（1）= ；（2）= .（3）= ；（4）= .（5）= ；（6）= .2二倍角公式：（1）= ；（2）= = = ；（3）= .3有用的公式（1）升（降）幂公式：、；（2）辅助角公式：（由具体的值确定）；（3）正切公式的变形： 4有用的解题思路（1）“变角找思路，范围保运算”；（2）“降幂辅助角公式正弦型函数”；（3）巧用与的关系；（4）巧用三角函数线数形结合.三、三角函数的图象与性质1列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：（1）最值的情况； （2）三函数的周期公式：函数，xR及函数，xR(A,为

15、常数，且A0，0)的周期；若未说明大于0,则；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.（3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；的单调递增区间为单调递减区间为，对称轴为,对称中心为的单调递增区间为单调递减区间为，对称轴为,对称中心为的单调递增区间为，对称中心为2了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式（1）“五点法”作图的列表方式；（2）求解析式时初相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.3正弦型函数的图象变换切记： 注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.四、解三角形、1三个重要结论（1）正弦定理：（为三角形ABC的外接

16、圆直径）或写成（2）余弦定理：，或写成（3）三角形ABC面积公式：2在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，5平面向量和空间向量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.二、加法与减法运算1代数运算(1)(2)若=（）, =（）则=（）2几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=,=.且有+3运算律向量加法有如下规律：=(交换律)；+(+ )=(+ )+ （结合律）； +0= ()=0.三、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量。1=；(1) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方

17、向相反；当=0时，=0(2)若=（），则=（）2两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=(2) 若=（）, =（）则四、平面向量基本定理1若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=+ 2有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，使得+ =0，则=0.五、向量的数量积；1向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, = ,则AOB= （）叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。2两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos 其中cos称为向量在方向上的投影3向量的数量积

18、的性质：若=（）, =（）（1）=cos (为单位向量)；（2）=0（，为非零向量）；（3）= ；（4）cos= =（可用于判定角是锐角还是钝角）4向量的数量积的运算律：= ；()=()=()；()=+ 六、点P分有向线段所成的比1定义：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。2位置讨论：（1）当点P在线段上时，0；特别地：点P是线段P1P2的中点是.（2）当点P在线段或的延长线上时，0；3分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则，（1）， 中点坐标公式：4.三点共线定理： 若则A,B,C共线的充要条件是x+y

19、=15.点的平移公式 (图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为).七、空间向量1. 空间两个向量的夹角公式 cosa，b= （a，b）.2.空间两点间的距离公式 若A，B，则 =.6不等式 一、不等式的基本性质与定理1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：； ； .2不等式的性质：（1）或（反对称性）（2）或（传递性）；（3）推论1：（移项法则）；推论2：（同向不等式相加）；（4），推论1：；推论2：（5）（）；（6）（倒数法则）3常用的基本不等式和重要的不等式（1）， 当且仅当取“=”.（2）（当且仅当时取“=”）（3），则（当且仅当时取“=”）注：算术平均数，几何

20、平均数.（4）（当且仅当时取“=”）4、最值定理：设得（1）如积为定值，则当且仅当时有最小值；（2）如和为定值，则当且仅当时有最大值.即：积定和最小，和定积最大.注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5含绝对值的不等式性质： （注意等号成立的情况）.二、解不等式1一元一次不等式 （1） ；（2）.2（1）一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.（2）重要结论：解集为R（即对恒成立），则.（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证）.3绝对值不等式：（1）零点分段讨论，（2）转化法：；（3）数形结合

21、4指数不等式与对数不等式 (1)当时, ; .(2)当时, ; 5高次不等式、分式不等式序轴标根法（穿针引线法）步骤：形式：或（移项，一边化为0，不要轻易去分母）；因式分解，化为积的形式（系数符号0标准式）；序轴标根；写出解集.注意含参数的不等式的解的讨论.四、一个有用的结论关于函数：1时，当时；当时.在、上是减函数；在、上是增函数.2时，在、上为增函数.7直线与圆一、直线的基本量1两点间距离公式：若，则特别地：轴，则 ；轴，则 .2直线：与圆锥曲线C：相交的弦AB长公式 消去y得（务必注意），设A则：3直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角；当时，直线的斜率.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互

22、化右图4直线在轴和轴上的截距：（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义.二、直线的方程： 直线方程的五种形式:（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().（4）截距式（5）一般式 (其中A、B不同时为0).三、两条直线的位置关系：（1）若，； .(2)若,； 五、点到直线的距离1点到直线的距离： 2平行线间距离：若、，则.注意点：x，y对应项系数应相等.且六、圆：1确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：， 其中圆心为，半径为.（2）一般方程：（其中圆心为，半径为.2直线与圆的位置关系：设圆心C到直线l的距离为d,则相切d=r，相

23、交dr；3两圆的位置关系： 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则外离dRr，外切dRr，相交RrdRr，内切dRr，内含dRr；8圆锥曲线一、椭圆，1定义（1）第一定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。（2）第二定义：若F1为定点，为定直线，动点P到F1的距离与到定直线的距离之比为常数e（0e1），则动点P的轨迹是双曲线。2标准方程（1）焦点在轴上： ；焦点 在轴上： .（2）焦点的位置标准方程形式3几何性质（以焦点在轴上为例）（1）范围：或、（2）对称性：实轴长=，虚轴长=2b，焦距=2c. （3）离心率，准线方程（4）渐近线方程：.与此有关的结论：若渐

24、近线方程为双曲线可设为；若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.（5）当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；（6）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来。三、抛物线1定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。2标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）： （其中为焦点到准线的距离焦参数）；3几何性质（1） 焦点：，通径，准线：；（2） 焦半径：， 过焦点弦长.（3）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长=（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线

25、所作垂线段中点。（4）抛物线上的动点可设为P四、直线与圆锥曲线的关系判断1直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点.2直线与抛物线：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点.9立体几何一、直线、平面、简单几何体：1、学会三视图的分析：2、斜二测画法应注意的地方：（）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴 ox、oy、使xoy=45（或135 ）；（）平行于轴的线段长不变，平行于轴的线段长减半（）直观图中的度原图中就是度，直观图中的度原图一定不是度3、表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=；体积：

26、V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h：台体表面积：S=S侧+S上底S下底侧面积：S侧=球体：表面积：S=；体积：V=4、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写（1）直线与平面平行：线线平行线面平行；面面平行线面平行。（2）平面与平面平行：线面平行面面平行。（3）垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线5、求角：（步骤-.找或作角；.求角）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；直线与平面所成的角：直线与射影所成的角二、主要思想与方法1计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角