高考理科数学必会知识点总结.doc
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高考理科数学必会知识点总结
§1集合与简易逻辑
一、集合间的关系及其运算
（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现点与直线（面）的关系；
符号“”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。
（2）=；=；=.
（3）交、并、补的运算性质：
对于任意集合A、B，
切记：
.
（4）集合中元素的个数的计算：
若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是（－1），所有非空真子集的个数是（－2）。
二、常用逻辑用语：
1、四种命题：
⑴原命题：
若p则q；⑵逆命题：
若q则p；⑶否命题：
若p则q；⑷逆否命题：
若q则p
注：
1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别：
命题否定形式是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.
3、逻辑联结词：
⑴且（and）：
命题形式pq；pqpqpqp
⑵或（or）：
命题形式pq；真真真真假
⑶非（not）：
命题形式p.真假假真假
假真假真真
假假假假真
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
5、全称命题与特称命题：
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
全称命题p：
； 全称命题p的否定p：
。
特称命题p：
； 特称命题p的否定p：
；
§2函数和导数
一、函数的性质
1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；
2．值域（求值域：
分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；
3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：
Ⅰ.定义法——步骤：
求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求；比较或的关系；Ⅱ.图象法；
常用的结论
①已知：
若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；
若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数；
②若是奇函数，且，则.
4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：
（1）.定义法步骤①：
设；②作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。
另解：
设那么
上是增函数；
上是减函数.
（2）.（多项式函数）用导数证明：
若在某个区间A内有导数，则
在A内为增函数；在A内为减函数.
（3）求单调区间的方法：
a.定义法：
b.导数法：
c.图象法：
d.复合函数在公共定义域上的单调性：
若f与g的单调性相同，则为增函数；若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：
先求定义域，单调区间是定义域的子集.
（4）一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
F（）（增）=（增）+（增）；F（）（减）=（减）+（减）；
F（）（增）=（增）（减）；F（）（减）=（减）（增）；
④一个重要的函数：
函数在上单调递增；在上是单调递减.
5．函数的周期性
（1）定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.T的整数倍都是的周期。
二、函数的图象
1．基本函数的图象：
（1）一次函数、
（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数.
2．图象的变换
（1）平移变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的；
②函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称；
函数与函数的图象关于直线y=0对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②如果函数对于一切都有，那么的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么的图象关于点对称。
③函数与函数的图象关于直线对称。
④与关于直对称。
（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）
三、函数的反函数：
1．求反函数的步骤：
（1）求原函数的值域B
（2）把看作方程，解出（注意开平方时的符号取舍）；
（3）互换x、y，得的反函数为.
2．定理：
（1），即点在原函数图象上点在反函数图象上；
（2）原函数与反函数的图象关于直线对称.
3．有用的结论：
原函数在区间上单调的，则一定存在反函数，且反函数也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
四、函数、方程与不等式
1．“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。
设为方程的两个实根。
①若则；
②当在区间内有且只有一个实根，时，
③当在区间内有且只有两个实根时，④若时
注意：
①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。
五、指数函数与对数函数
1．指数式与对数式：
对数的三个性质：
①；②；③
对数恒等式：
①；②；③
对数运算性质：
①；②；
③.
指数运算性质：
①②③
2．指数函数与对数函数
（1）特征图象与性质归纳（列表）
指数函数y=ax（a>0,a≠1）
对数函数y=logax（a>0,a≠1）
特征图象
01
01
定义域
（－∞，+∞）
（0，+∞）
值域
（0，+∞）
（－∞，+∞）
单调性
减函数
增函数
减函数
增函数
定点
（0，1）
（1，0）
函数值分布
x<0时，y>1；
x>0时，0xx>0时，y>1
00；
x>1时，y<0
0x>1时，y>0
（2）有用的结论
①函数与（且）图象关于直线对称；函数与（且）图象关于轴对称；函数与（且）图象关于轴对称.
②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？
六、导数：
1．几种常见函数的导数
（1）（C为常数）
（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
2．导数的运算法则
（1）
（2）（3）.
3．复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
4．导数的几何物理意义：
（1）几何意义：
k＝f/（x0）表示曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））的切线的斜率。
曲线在点P（x0,f（x0））处的切线方程为：
（2）V＝s/（t）表示即时速度，a=v/（t）表示加速度。
5．单调区间的求解过程：
已知
①分析的定义域；
②求导数；
③解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。
（或用列表法，见课本）
6．求极大、极小值：
已知
①分析的定义域；
②求导数；
③求解方程（设有根）；
④列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值。
注：
判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
注意：
f/（x0）＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；但是，当x=x0时，函数有极值f/（x0）＝0
7．求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值：
①②③同上；④比较、、，最大的为，最小的为.
注意：
极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.
§3数列
一、数列的定义和基本问题
1．通项公式：
（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；
2．前n项和：
；
3．通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：
二、等差数列：
1．定义和等价定义：
是等差数列；
2．通项公式：
；推广：
；
3．前n项和公式：
；
4．重要性质举例：
①与的等差中项；
②若，则；特别地：
若，则；
③奇数项，…成等差数列，公差为；偶数项，…成等差数列，公差为.
④若有奇数项项，则；，，，（）；
若有偶数项2n项,则，其中d为公差；
⑤设，，，则有；
⑥当时，有最大值；当时，有最小值.
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.
（8）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则
三、等比数列：
1．定义：
成等比数列；
2．通项公式：
；推广；
3．前n项和；（注意对公比的讨论）
4．重要性质举例①与的等比中项G（同号）；
②若，则；特别地：
若，则；
③设，，，则有；
④用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.
四、等差数列与等比数列的关系举例
1．成等差数列成等比数列；2．成等比数列成等差数列.
五、数列求和方法：
1．等差数列与等比数列；2．几种特殊的求和方法
（1）裂项相消法；
（2）错位相减法：
其中是等差数列，是等比数列
记；则，…
（3）通项分解法：
六、递推数列与数列思想
1．递推数列
（1）能根据递推公式写出数列的前几项；
（2）常见题型：
由，求.解题思路：
利用
2．数学思想
（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；
（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.
§4三角函数
一、三角函数的基本概念
1．终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：
平方关系、商数关系、倒数关系），=，诱导公式（奇变偶不变，符号看象限：
二、两角和与差的三角函数
1．和（差）角公式
（1）=；
（2）=.
（3）=；（4）=.
（5）=；（6）=.
2．二倍角公式：
（1）=；
（2）===；
（3）=.
3．有用的公式
（1）升（降）幂公式：
、；；
（2）辅助角公式：
（由具体的值确定）；
（3）正切公式的变形：
4．有用的解题思路
（1）“变角找思路，范围保运算”；
（2）“降幂——辅助角公式——正弦型函数”；
（3）巧用与的关系；（4）巧用三角函数线——数形结合.
三、三角函数的图象与性质
1．列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：
（1）最值的情况；
（2）三函数的周期公式：
函数，x∈R及函数，x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期；若ω未说明大于0,则；函数，（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期.
（3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；
的单调递增区间为单调递减区间为
，对称轴为,对称中心为
的单调递增区间为单调递减区间为，
对称轴为,对称中心为
的单调递增区间为，对称中心为
2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．
（1）“五点法”作图的列表方式；
（2）求解析式时初相的确定方法：
代（最高、低）点法、公式.
3．正弦型函数的图象变换
切记：
注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.
四、解三角形、
1．三个重要结论
（1）正弦定理：
（为三角形ABC的外接圆直径）或写成
（2）余弦定理：
，或写成
（3）三角形ABC面积公式：
2．在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：
⊿ABC中，
§5平面向量和空间向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
二、加法与减法运算
1．代数运算
（1）．
（2）若=（）,=（）则=（）．
2．几何表示：
平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,
=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
3．运算律
向量加法有如下规律：
＋=＋（交换律）；
+（+）=（+）+（结合律）；+0=＋（－）=0.
三、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量。
1．︱︱=︱︱·︱︱；
（1）当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．
（2）若=（），则·=（）．
2．两个向量共线的充要条件：
（1）向量与非零向量共线的充要条件是：
有且仅有一个实数，使得=．
（2）若=（）,=（）则∥．
四、平面向量基本定理
1．若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=+．
2．有用的结论：
若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，，使得+=0，则==0.
五、向量的数量积；
1．向量的夹角：
已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。
2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，
则·=︱︱·︱︱cos．其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．
3．向量的数量积的性质：
若=（）,=（）
（1）·=·=︱︱cos（为单位向量）；
（2）⊥·=0（，为非零向量）；
（3）︱︱=；
（4）cos==．（可用于判定角是锐角还是钝角）
4．向量的数量积的运算律：
·=·；（）·=（·）=·（）；（＋）·=·+·．
六、点P分有向线段所成的比
1．定义：
设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。
2．位置讨论：
（1）当点P在线段上时，＞0；特别地：
点P是线段P1P2的中点是.
（2）当点P在线段或的延长线上时，＜0；
3．分点坐标公式：
若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则，（≠－1），中点坐标公式：
．
4.三点共线定理：
若则A,B,C共线的充要条件是x+y=1
5.点的平移公式
（图形F上的任意一点P（x，y）在平移后图形上的对应点为，且的坐标为）.
七、空间向量
1.空间两个向量的夹角公式
cos〈a，b〉=（a＝，b＝）.
2.空间两点间的距离公式若A，B，则
=.
§6不等式
一、不等式的基本性质与定理
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
；；.
2．不等式的性质：
（1）或（反对称性）
（2）或（传递性）；
（3）
推论1：
（移项法则）；推论2：
（同向不等式相加）；（4），
推论1：
；推论2：
（5）（）；（6）（倒数法则）
3．常用的基本不等式和重要的不等式
（1），当且仅当取“=”.
（2）（当且仅当时取“=”）
（3），则（当且仅当时取“=”）
注：
——算术平均数，——几何平均数.
（4）（当且仅当时取“=”）
4、最值定理：
设得
（1）如积为定值，则当且仅当时有最小值；
（2）如和为定值，则当且仅当时有最大值.
即：
积定和最小，和定积最大.
注：
运用最值定理求最值的三要素：
一正二定三相等.
5．含绝对值的不等式性质：
（注意等号成立的情况）.
二、解不等式
1．一元一次不等式
（1）；
（2）.
2．
（1）一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之外，异号两根之间.
；
.
（2）重要结论：
解集为R（即对恒成立），则.（注：
若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证）.
3．绝对值不等式：
（1）零点分段讨论，
（2）转化法：
；；
（3）数形结合
4．指数不等式与对数不等式
（1）当时,;.
（2）当时,;
5．高次不等式、分式不等式——序轴标根法（穿针引线法）
步骤：
①形式：
或（移项，一边化为0，不要轻易去分母）；
②因式分解，化为积的形式（系数符号>0——标准式）；③序轴标根；④写出解集.
注意含参数的不等式的解的讨论.
四、一个有用的结论
关于函数：
1．时，当时；当时.在、上是减函数；在、上是增函数.
2．时，在、上为增函数.
§7直线与圆
一、直线的基本量
1．两点间距离公式：
若，则
特别地：
轴，则；轴，则.
2．直线：
与圆锥曲线C：
相交的弦AB长公式
消去y得（务必注意），设A则：
3．直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角；当时，直线的斜率.
（2）常见问题：
倾斜角范围与斜率范围的互化——右图
4．直线在轴和轴上的截距：
（1）截距非距离；
（2）“截距相等”的含义.
二、直线的方程：
直线方程的五种形式:
（1）点斜式（直线过点，且斜率为）．
（2）斜截式（b为直线在y轴上的截距）.
（3）两点式（）（、（））.
（4）截距式
（5）一般式（其中A、B不同时为0）.
三、两条直线的位置关系：
（1）若，
①；②.
（2）若,,
①；②；
五、点到直线的距离
1．点到直线的距离：
2．平行线间距离：
若、，则.
注意点：
x，y对应项系数应相等.且
六、圆：
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：
，其中圆心为，半径为.
（2）一般方程：
（其中圆心为，
半径为.
2．直线与圆的位置关系：
设圆心C到直线l的距离为d,则相切d=r，相交dr；
3．两圆的位置关系：
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则
外离d>R＋r，外切d＝R＋r，相交R－r§8圆锥曲线
一、椭圆，1．定义
（1）第一定义：
若F1，F2是两定点，P为动点，且（为常数）则P点的轨迹是椭圆。
（2）第二定义：
若F1为定点，为定直线，动点P到F1的距离与到定直线的距离之比为常数e（02．标准方程：
（1）焦点在轴上：
；
焦点在轴上：
。
（焦点的位置标准方程形式）
3．几何性质（以焦点在轴上为例）：
（1）范围：
、
（2）对称性：
长轴长=，短轴长=2b，焦距=2c
（3）离心率，准线方程
（4）有用的结论：
，，
，，
顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与有关.
（5）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立+、·等关系
二、双曲线
1．定义：
（1）第一定义：
若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
（2）第二定义：
若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
2．标准方程
（1）焦点在轴上：
；
焦点在轴上：
.
（2）焦点的位置标准方程形式
3．几何性质（以焦点在轴上为例）
（1）范围：
或、
（2）对称性：
实轴长=，虚轴长=2b，焦距=2c.
（3）离心率，准线方程
（4）渐近线方程：
.
与此有关的结论：
若渐近线方程为双曲线可设为；若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.
（5）当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
（6）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来。
三、抛物线
1．定义：
到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：
到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2．标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）：
（其中为焦点到准线的距离——焦参数）；
3．几何性质
（1）焦点：
，通径，准线：
；
（2）焦半径：
，过焦点弦长.
（3）几何特征：
焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长=（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（4）抛物线上的动点可设为P
四、直线与圆锥曲线的关系判断
1．直线与双曲线：
当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点.
2．直线与抛物线：
当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点.
§9立体几何
一、直线、平面、简单几何体：
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
画直观图时，把它画成对应轴o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135°）； （２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度．
3、表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：
①表面积：
S=S侧+2S底；②侧面积：
S侧=；③体积：
V=S底h
⑵锥体：
①表面积：
S=S侧+S底；②侧面积：
S侧=；③体积：
V=S底h：
⑶台体①表面积：
S=S侧+S上底S下底②侧面积：
S侧=
⑷球体：
①表面积：
S=；②体积：
V=
4、位置关系的证明（主要方法）：
注意立体几何证明的书写
（1）直线与平面平行：
①线线平行线面平行；②面面平行线面平行。
（2）平面与平面平行：
①线面平行面面平行。
（3）垂直问题：
线线垂直线面垂直面面垂直。
核心是线面垂直：
垂直平面内的两条相交直线
5、求角：
（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
平移法：
平移直线，构造三角形；
⑵直线与平面所成的角：
直线与射影所成的角
二、主要思想与方法
1．计算问题：
（1）空间角的计算步骤：
一作、二证、三算
异面直线所成的角
升级会员 