人教版高中数学必修二知识点整理及重点题型梳理圆的方程提高Word格式文档下载.docx

1、，圆心为C），半径为，则有（1）若点M（x，y0 0（2）若点（3）若点）在圆上|CM（x）在圆外|）在圆内|1要点三：圆的一般方程D2E4FD资料来源于网络仅供免费交流使用 D2 E2 D24F 2 2 4（1）当时，方程只有实数解-E,=-.它表示一个点（-（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 D E 1 2 2 2要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点轴上轴上且过原点（r0）b2y2a2（a（bDxEyF与轴相切 （D（E要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意

2、，选择标准方程或一般方程.（2）根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组.（3）解方程组，求出的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角

3、坐标系，用y）表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）（5）作答【典型例题】类型一：例1求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）已知圆经过A（5,1）,B（1,3）两点，圆心在轴上；（3）经过点P（5,1），圆心在点（8,-3）【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）9（2）2）210（3）8）23）225【解析】9（2）线段AB的中垂线方程为4，与轴的交点（2,0）即为圆心的坐标，所以半径为|CB|= 10

4、，所以圆的方程为（3）解法一：圆的半径=|CP|=（5（15，圆心在点-3）圆的方程是解法二：圆心在点，故设圆的方程为又点（5,1）在圆上，所求圆的方程是25【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2；的方程组；的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程举一反三：【变式1】圆心是（4，1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A（x4）2+（y+1）2=10 B（x+4）2+（y1）2=10C（x4）2+（y+1）2=100 D4）21）210

5、【答案】A2（2015秋湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y1=0切于点M（2，1）【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆（2）设出圆心坐标，列方程组解之其中由圆心在直线上得出一个方程；再由圆心到直线的距离即半径得出另一个方程20（1）圆心在直线上，设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，即16= （a，即 （a解得a=1，即圆心为（1，0），半径AC|= （-1则圆的标准方程为 （2）设圆心坐标为（a，b），2a则|1|1）2（a=1，b=2，= 2要求圆的方程为 （典

6、型例题1】（1）过点A（2,-3）,B（-2,-5）且圆心在直线3上；（2）与轴相切，圆心在直线3x上，且被直线截得的弦长为7（1）设圆的方程为：，则（2（-3-2（-5，解得：-1,b-2,a2b所求圆的方程为：（2）设圆的方程为：rb2 a1 a-1 3a0 解得：b-3r类型二：3已知直线x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0表示一个圆（1）求t的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D2+E24F0，解题时，应充分利用这一隐含条件【答案】1）- 1（2）（t+3，4t2

7、1） 16t7t（3）72421324916（1）已知方程表示一个圆D2+E24F0，即4（t+3）2+4（14t2）24（16t4+9）0，整理得7t26t10-1（2）圆的方程化为x（t+3）2+y+（14t2）2=1+6t7t2它的圆心坐标为（t+3，4t21），半径为（3）由= 2 7 7 7r的最大值为，此时圆的标准方程为 242 132 16 7 49 7 7 4t-1得y=4（x3） 77 7 2】（1）求过A（2,2）,B（5,3）,（3,-1）的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点A（-2,-4）且与直线26相切于点（8，6）的圆的方程（4，1）11x30（1）法一：设

8、圆的方程为：82D2E0 -8 所以所求圆的方程为：8x，即，所以圆心为（4，1），半径为3线段的中垂线为5同理得线段BC中垂线为64，解得所以所求圆的方程为（4，1），半径= （4（1-所以（2）法一：204ED-111008D6E所以圆的方程为法二：过点B与直线垂直的直线是183x0 11 3 1250 2 2 112 32 1252】判断方程ax2+ay24（a1）x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长2（a1） 2 22a a a |3】方程ax2ay表示圆，则的取值范围是A【答案】DBCD【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为， 3a24a

9、4 ， -24 34（1ABC的三个顶点分别为A（1，5），B（2，2），C（5，5），求其外接圆的方程；（2）圆P（1，2）和Q（2，3），且圆在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆的方程【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D、E、F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件（1）x2+y24x2y20=0（2）（x+1）2+（y1）2=5或（x+2）2+（y+2）2=2

10、5（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有-5E0 D-4故所求的圆的方程为x2+y24x2y20=0由题意可求得的中垂线的方程为x=2，BCx+y3=0圆心是两中垂线的交点（2，1），半径= （25）2所求的圆的方程为（x2）2+（y1）2=25，即（2）解法一：如右图所示，由于圆在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，ABCGFC，|BC|=|FC|设C（a，b），则|a|=|b| 又圆Q（2，3），圆心在PQ的垂直平分线上，11Da-1 a-25故所求的圆的方程为（x+1）2+（y1）

11、2=5或（x+2）2+（y+2）2=25x2+y2+2x2y3=0x2+y2+4x+4y17=0x2+y2+Dx+Ey+F=0圆Q（2，3），12223D8 ，解得 3E圆x2+y2+Dx+（3D8）y+117D=0，将代入得x2+Dx+117D=0在轴上截得的弦长为|= D24（11-D）将x=0y2+（3D8）y+117D=0，1 2|= （3D由题意有= （3DD24（117D）=（3D8）24（117D），D=4D=2x2+y2+4x+4y7=0x2+y2+2x2y3=0【总结升华】（1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半

12、径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件1】如图，等边ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长0,

13、类型三：点与圆的位置关系5判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆（x5）2+（y6）2=10的位置关系【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内【解析】圆的方程为（x5）2+（y6）2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得（65）2+（96）2=10，M在圆上；（35）2+（36）2=1310，N在圆外；（55）2+（36）2=910，Q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点在圆内|PQ|r；点在圆上|PQ|=r；在圆外|PO|r从数的角度来看，设圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2，A（a，b），半径为M（x0，y0）

14、在圆上（x0a）2+（y0b）2=r2；M（x0，y0）在圆外（x0a）2+（y0b）2r2；M（x0，y0）在圆内（x0a）2+（y0b）2r21】点（a+1，a1）在圆的内部，则的取值范围是_【思路点拨】直接把点（a+1，a1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得的范围（，1）【解析】点（a+1，a1）在圆的内部（不包括边界），2a（a1）整理得：a1故答案为：（，1）类型四：轨迹问题6（2016广东中山市模拟）已知曲线上任意一点到原点的距离与到A（3，6）的距离之比均为（1）求曲线（2）设点P（1，2），过点作两条相异直线分别与曲线相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线（