人教版高中数学必修二知识点整理及重点题型梳理圆的方程提高Word格式文档下载.docx

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，圆心为

）

，半径为

，则有

（1）若点

（x

，y

（2）若点

（3）若点

）在圆上

⇔|

（x

）在圆外

）在圆内

）2

要点三：

圆的一般方程

⎛

⎫

⎝

⎭

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仅供免费交流使用

⎛D

⎫2⎛E

⎫2D2

⎝2

⎭⎝2

⎭4

（1）当

时，方程只有实数解

.它表示一个点

（-

（2）当

时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

⎛DE

⎫1

⎝22

⎭2

要点四：

几种特殊位置的圆的方程

条件

方程形式

标准方程

一般方程

圆心在原点

过原点

轴上

轴上且过原点

（r

≠

0）

（a

（b

与

轴相切（

（D

（E

要点五：

用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程.

（2）根据已知条件，建立关于

a、b、r

或

D、E、F

的方程组.

（3）解方程组，求出

的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程

要点六：

轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量

之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；

当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义（如圆）时，常采用定义法；

当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关

点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；

二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

3．求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用

y）

表示轨迹（曲线）上任一点

的坐标；

（2）列出关于

的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）

（5）作答．

【典型例题】

类型一：

例

1．求满足下列条件的各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径是

3；

（2）已知圆

经过

A（5,1）,

B（1,3）

两点，圆心在

轴上；

（3）经过点

（5,1），圆心在点

（8,

-3）

．

【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，

求出圆心坐标和半径.

【答案】

（1）

（2）

2）2

（3）

8）2

3）2

【解析】

（2）线段

的中垂线方程为

，与

轴的交点

（2,

0）

即为圆心

的坐标，所以半径为

|=10

，所以圆

的方程为

（3）解法一：

∵圆的半径

（5

（1

，圆心在点

-3）

∴圆的方程是

解法二：

∵圆心在点

，故设圆的方程为

又∵点

（5,1）在圆上，∴

，∴

∴所求圆的方程是

【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于

的方程组，求

或

直接求出圆心（a，b）和半径

r，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为（x―a）2+（y―b）2=r2；

的方程组；

的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

举一反三：

【变式

1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）

A．（x―4）2+（y+1）2=10B．（x+4）2+（y―1）2=10

C．（x―4）2+（y+1）2=100D．

4）2

1）2

【答案】A

2．（2015

秋

湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在直线

y=0

上，且圆过两点

A（1，4），B（3，2）；

（2）圆心在直线

2x+y=0

上，且圆与直线

x+y―1=0

切于点

M（2，―1）．

【思路点拨】

（1）求出圆心和半径，即可求圆

（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线

上得出一个方程；

再由圆心到直线

的距离即半径得出另一个方程．

（1）∵圆心在直线

上，

∴设圆心坐标为

C（a，0），

则|AC|=|BC|，

即

=（a

，

即（a

解得

a=―1，即圆心为（―1，0），

半径

|=（-1

则圆的标准方程为（

（2）设圆心坐标为（a，b），

⎧2a

⎪

则

⎨|

1）2

⎪（

a=1，b=－2，∴

∴要求圆的方程为（

典型例题

1】

（1）过点

A（2,

-3）,

B（-2,

-5）

且圆心在直线

上；

（2）与

轴相切，圆心在直线

上，且被直线

截得的弦长为

（1）设圆的方程为：

，则

⎧（2

（-3

⎨

-2

（-5

，解得：

-1,b

-2,

⎪a

⎪⎩

所求圆的方程为：

（2）设圆的方程为：

⎧r

b2⎧a

1⎧a

-1

⎪⎪⎪

⎨3a

0解得：

⎨b

-3

⎪r

类型二：

3．已知直线

x2+y2―2（t+3）x+2（1―4t2）y+16t4+9=0

表示一个圆．

（1）求

的取值范围；

（2）求这个圆的圆心和半径；

（3）求该圆半径

的最大值及此时圆的标准方程．

【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件

D2+E2―4F＞0，解题时，应充分利用

这一隐含条件．

【答案】

1）-<

（2）（t+3，4t2－1）1

（3）

⎛

⎝

⎫2

⎭

（1）已知方程表示一个圆

D2+E2―4F＞0，即

4（t+3）2+4（1―4t2）2―4（16t4+9）＞0，整理得

7t2―6t―1＜0

⇔-

（2）圆的方程化为[x―（t+3）]2+[y+（1―4t2）]2=1+6t―7t2．

∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为

（3）由

=．

2⎝7

⎭77

∴r

的最大值为

，此时圆的标准方程为

⎛24

⎫2⎛13

⎫216

⎝7

⎭⎝49

⎭7

⎝7⎭

⎩

-1

得

y=4（x―3）7

7⎝

7⎭

2】

（1）求过

A（2,2）,

B（5,3）,

（3,

-1）

的圆的方程，及圆心坐标和半径；

（2）求经过点

A（-2,

-4）

且与直线

相切于点（8，6）的圆的方程．

（4，1）

11x

（1）法一：

设圆的方程为：

⎧8

0⎧

-8

⎪⎪

⎩⎩

所以所求圆的方程为：

，即

，所以圆心为（4，1），

半径为

线段

的中垂线为

同理得线段

中垂线为

⎧

，解得

⎨

所以所求圆的方程为（4，1），半径

=（4

（1-

所以

（2）法一：

⎧20

⎧D

-11

⎩

⎪⎩100

所以圆的方程为

法二：

过点

与直线

垂直的直线是

⎧3x

0⎛

113

⎫125

0⎝

⎛11

⎫2⎛3

⎫2125

2】判断方程

ax2+ay2―4（a―1）x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．

2（a

1）2

⎫2

⎝aa

⎭|

3】方程

2ay

表示圆，则

的取值范围是

A．

【答案】D

B．

C．

D．

【解析】方程

x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0

转化为

，∴3a2

，∴-2

4．（1

ABC

的三个顶点分别为

A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；

（2）圆

P（1，2）和

Q（―2，3），且圆

在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆

的方程．

【思路点拨】在

（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D、E、F

即

可；

注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆

的方程．在

（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直

观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．

（1）x2+y2―4x―2y―20=0

（2）（x+1）2+（y―1）2=5

或（x+2）2+（y+2）2=25

（1）解法一：

设所求的圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有

⎧-

0⎧D

-4

故所求的圆的方程为

x2+y2―4x―2y―20=0．

由题意可求得

的中垂线的方程为

x=2，BC

x+y―3=0．∴圆心是两中垂

线的交点（2，1），∴半径

=（2

5）2

∴所求的圆的方程为（x―2）2+（y―1）2=25，即

（2）解法一：

如右图所示，由于圆

在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相

等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，

∴

ABC≌

GFC，∴|BC|=|FC|．

设

C（a，b），则|a|=|b|．①

又圆

Q（―2，3），

∴圆心在

的垂直平分线上，

⎧a

-1⎧a

-2

∴

5．

故所求的圆的方程为（x+1）2+（y―1）2=5

或（x+2）2+（y+2）2=25．

x2+y2+2x―2y―3=0

x2+y2+4x+4y―17=0．

x2+y2+Dx+Ey+F=0．

∵圆

Q（－2，3），

⎧12

⎨，解得

⎨．

∴圆

x2+y2+Dx+（3D―8）y+11―7D=0，将

代入得

x2+Dx+11―7D=0．

在

轴上截得的弦长为|

|=D2

4（11-

D）

．将

x=0

y2+（3D―8）y+11―7D=0，

|=（3D

由题意有

=（3D

D2―4（11―7D）=（3D―8）2―4（11―7D），

D=4

D=2．

x2+y2+4x+4y―7=0

x2+y2+2x―2y―3=0．

【总结升华】

（1）本例

（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，

当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待

定系数法来确定系数即可．

（2）本例

（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几

何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．

（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标

之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；

而在其他情况下的首选应该是圆的标准方

程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．

1】如图，等边△ABC

的边长为

2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

⎫

类型三：

点与圆的位置关系

5．判断点

M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆（x―5）2+（y―6）2=10

的位置关系．

【答案】M

在圆上N

在圆外Q

在圆内

【解析】∵圆的方程为（x―5）2+（y―6）2=10，

分别将

M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得

（6―5）2+（9―6）2=10，∴M

在圆上；

（3―5）2+（3―6）2=13＞10，∴N

在圆外；

（5―5）2+（3―6）2=9＜10，∴Q

在圆内．

【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为

O，半径为

r，则点

在圆内

|PQ|

＜r；

点

在圆上

|PQ|=r；

在圆外

|PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为（x―a）2+（y―b）2=r2，

A（a，b），半径为

M（x0，y0）在圆上

（x0―a）2+（y0―b）2=r2；

M（x0，y0）在圆外

（x0―a）2+（y0―b）2＞r2；

M（x0，y0）在圆内

（x0―a）2+（y0―b）2＜r2．

1】点（a+1，a―1）在圆

的内部，则

的取值范围是________．

【思路点拨】直接把点（a+1，a―1）代入圆的方程左边小于

0，解不等式可得

的范围．

（－∞，1）

【解析】∵点（a+1，a―1）在圆

的内部（不包括边界），

2a（a

1）

整理得：

a＜1．

故答案为：

（－∞，1）．

类型四：

轨迹问题

6．（2016

广东中山市模拟）已知曲线

上任意一点到原点的距离与到

A（3，―6）的距离之比均

为

（1）求曲线

（2）设点

P（1，―2），过点

作两条相异直线分别与曲线

相交于

B，C

两点，且直线

和直线

的倾斜角互补，求证：

直线

的斜率为定值．

（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线

（2）直线与圆的方程联立，求出

A，B

的坐标，利用斜率公式，即可证明直线

（

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