版高考数学一轮复习第五章平面向量54平面向量的综合应用理Word文档下载推荐.docx

1、b0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角（4）在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形（5）已知平面直角坐标系内有三个定点A（2，1），B（0，10），C（8,0），若动点P满足：t（），tR，则点P的轨迹方程是xy10.（）1（教材改编）已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（3,4），B（5,2），C（1，4），则该三角形为（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析（2，2），（4，8），（6，6），|2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于（）A6 B5C4 D3答案D解析在ABC中

2、，由余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选D.3（2017武汉质检）平面直角坐标系xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x，y）满足4，则点P的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得（x，y）（1,2）4，即x2y4.4（2016银川模拟）已知向量a（cos ，sin ），b（，1），则|2ab|的最大值为_答案4解析设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|

3、2ab|20,16，|2ab|0,4|2ab|的最大值为4.5已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300（J）.题型一向量在平面几何中的应用例1（1）在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足（），（0，），则点P的轨迹一定通过ABC的（）A内心 B外心 C重心 D垂心答案（1）（2）C解析（1）在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，

4、（）（）22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.（2）由原等式，得（），即（），根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究本例（2）中，若动点P满足，（0，），则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华向量与平面几何综合问题的解法（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量

5、之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解（1）在ABC中，已知向量与满足（）0，且，则ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形（2）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案（1）A（2）5解析（1），分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为（）0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形（2）以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设

6、DCa，DPy.则D（0,0），A（2,0），C（0，a），B（1，a），P（0，y），（2，y），（1，ay），则3（5,3a4y），即|3|225（3a4y）2，由点P是腰DC上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2的最小值为25.故|3|的最小值为5.题型二向量在解析几何中的应用例2（1）已知向量（k,12），（4,5），（10，k），且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点（2，1）的直线方程为_（2）设O为坐标原点，C为圆（x2）2y23的圆心，且圆上有一点M（x，y）满足0，则_.答案（1）2xy30（2）解析（1）（4k，7），（6，k5），且，（4k）（k5）

7、670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点（2，1）且斜率为2的直线方程为y12（x2），即2xy30.（2）0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用abab0（a，b为非零向量），abab（b0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法（2016

8、合肥模拟）如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（）的最小值为_答案解析圆心O是直径AB的中点，2，（）2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小由条件知，当POPC时，最小值为2.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3已知x，y满足若（x,1），（2，y），且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案解析因为（x,1），（2，y），所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示（含边界），观察图象可知，当目标函数z2xy过点C（1,1）时，zmax2113，目标函数z2xy过点F（a，a）

9、时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命题点2向量在解三角形中的应用例4（2016合肥模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于（）A. B.C. D.答案C解析20a15b12c0，20a（）15b12c0，（20a15b）（12c20a）0，与不共线，ABC最小角为角A，cos A，sin A，故选C.命题点3向量在物理中的应用例5如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A2 B2C2 D6答案A解析如题图所

10、示，由已知得F1F2F30，则F3（F1F2），即FFF2F1F2FF2|F1|F2|28.故|F3|2.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化（1）函数ysin（x）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f（x）的最小正周期是_（2）已知在平面直角坐标系中，O（0,0），M（1,1），N（0,1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式01,01，则z的最大值为_答案（1）3（2）3解析（1）由图象可知，M，N，所以（xN，1）xN10，解得xN2，所以函数f（x

11、）的最小正周期是23.（2）（x，y），（1,1），（0,1），（2,3），xy，y，2x3y，即在条件下，求z2x3y的最大值，由线性规划知识得，当x0，y1时，zmax3.三审图形抓特点典例（2016太原一模）已知A，B，C，D是函数ysin（x）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为（）A2， B2，C， D，解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysi

12、n（x）图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.1在ABC中，（）|2，则ABC的形状一定是（）A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析由（）|2，得（）0，即（）0，20，A90又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2（2016山东）已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n（tmn），则实数t的值为（）A4 B4 C. D解析n（tmn），n（tmn）0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选B.3（2016南宁模拟）已知向量a（cos ，2），b（sin ，1）且

13、ab，则sin 2等于（）A3 B3C. D解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.武汉模拟）设ABC的三个内角为A，B，C，向量m（sin A，sin B），n（cos B，cos A），若mn1cos（AB），则C等于（）解析依题意得sin Acos Bcos Asin B1cos（AB），sin（AB）1cos（AB），sin Ccos C1,2sin（C）1，sin（C）.又C0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9已知|a|2|b|0，且关于x的函数f（x

14、）x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_解析设a与b的夹角为.f（x）x3|a|x2abx，f（x）x2|a|xab.函数f（x）在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，.*10.已知圆C：（x2）2y24，圆M：（x25cos ）2（y5sin ）21（R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_答案6解析圆（x2）2y24的圆心C（2,0），半径为2，圆M（x25cos ）2（y5sin ）21，圆心M（25cos ，5sin ），半径为

15、1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则最小值是，HCCM1514，HFHE2，sinCHE，cosEHFcos 2CHE12sin2CHE，cosEHF226.11已知点P（0，3），点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M（x，y）为所求轨迹上任一点，设A（a,0），Q（0，b）（b0），则（a,3），（xa，y），（x，by），由0，得a（xa）3y0.由，得（xa，y）（x，by），b0，y0，把a代入，得3y0，整理得yx2（x0）动点M的轨迹方程为yx2（x0）12已知角A，B，C是ABC的内角，a

16、，b，c分别是其所对边长，向量m（2sin ，cos2），n（cos ，2），mn.（1）求角A的大小；（2）若a2，cos B，求b的长解（1）已知mn，所以mn（2sin ，cos2）（cos ，2）sin A（cos A1）0，即sin Acos A1，即sin（A），因为0A，所以A所以A，所以A.（2）在ABC中，A，a2，cos B，sin B .由正弦定理知，所以ba. *13.已知平面上一定点C（2,0）和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且（）（）0.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若EF为圆N：x2（y1）21的任意一条直径，求的最值解（1）设P（x，y），则Q（8，y）由（）（）0，得|2|20，即（2x）2（y）2（8x）20，化简得1.动点P在椭圆上，其轨迹方程为1.（2），且0.22（x）2（1y）2116（1）（y1）21y22y16（y3）219.2y2.当y3时，的最大值为19，当y2时，的最小值为124.综上，的最大值为19，最小值为124.