版高考数学一轮复习第五章平面向量54平面向量的综合应用理Word文档下载推荐.docx

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b＞0，则a和b的夹角为锐角；

若a·

b＜0，则a和b的夹角为钝角．（　×

（4）在△ABC中，若·

<

0，则△ABC为钝角三角形．（　×

（5）已知平面直角坐标系内有三个定点A（－2，－1），B（0，10），C（8,0），若动点P满足：

＝＋t（＋），t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.（　√　）

1．（教材改编）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3,4），B（5,2），C（－1，－4），则该三角形为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　＝（2，－2），＝（－4，－8），＝（－6，－6），

∴||＝＝2，||＝＝4，

||＝＝6，

∴||2＋||2＝||2，

∴△ABC为直角三角形．

2．已知在△ABC中，||＝10，·

＝－16，D为边BC的中点，则||等于（　　）

A．6B．5

C．4D．3

答案　D

解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·

AC·

cosA＝BC2，又·

＝||·

||·

cosA＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.

3．（2017·

武汉质检）平面直角坐标系xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x，y）满足·

＝4，则点P的轨迹方程是____________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　由·

＝4，得（x，y）·

（1,2）＝4，

即x＋2y＝4.

4．（2016·

银川模拟）已知向量a＝（cosθ，sinθ），b＝（，－1），则|2a－b|的最大值为________．

答案　4

解析　设a与b夹角为α，

∵|2a－b|2＝4a2－4a·

b＋b2

＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，

∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，

∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，

∴|2a－b|∈[0,4]．

∴|2a－b|的最大值为4.

5．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°

，则力F所做的功W＝________J.

答案　300

解析　W＝F·

s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×

100×

cos60°

＝300（J）.

题型一　向量在平面几何中的应用

例1　

（1）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°

，E为CD的中点．若·

＝1，则AB＝________.

（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

答案　

（1）　

（2）C

解析　

（1）在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，

又∵＝＋，

∴·

＝（＋）·

（－）

＝2－·

＋·

－2

＝||2＋||||cos60°

－||2

＝1＋×

||－||2＝1.

∴||＝0，又||≠0，∴||＝.

（2）由原等式，得－＝λ（＋），即＝λ（＋），根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

引申探究

本例

（2）中，若动点P满足＝＋λ，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的________．

答案　内心

解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．

思维升华　向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

（2）基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．

（1）在△ABC中，已知向量与满足（＋）·

＝0，且·

＝，则△ABC为（　　）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形

（2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°

，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

答案　

（1）A　

（2）5

解析　

（1），分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为（＋）·

＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.

又·

＝·

·

cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<

∠BAC<

π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．

（2）以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.

则D（0,0），A（2,0），C（0，a），B（1，a），

P（0，y），

＝（2，－y），＝（1，a－y），

则＋3＝（5,3a－4y），

即|＋3|2＝25＋（3a－4y）2，

由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.

因此当y＝a时，|＋3|2的最小值为25.

故|＋3|的最小值为5.

题型二　向量在解析几何中的应用

例2　

（1）已知向量＝（k,12），＝（4,5），＝（10，k），且A、B、C三点共线，当k<

0时，若k为直线的斜率，则过点（2，－1）的直线方程为________________．

（2）设O为坐标原点，C为圆（x－2）2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M（x，y）满足·

＝0，则＝________________________________________________________________________.

答案　

（1）2x＋y－3＝0　

（2）±

解析　

（1）∵＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（6，k－5），且∥，

∴（4－k）（k－5）＋6×

7＝0，

解得k＝－2或k＝11.

由k<

0可知k＝－2，则过点（2，－1）且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.

（2）∵·

＝0，∴OM⊥CM，

∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，

由＝，得k＝±

，即＝±

.

思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用

（1）载体作用：

向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

（2）工具作用：

利用a⊥b⇔a·

b＝0（a，b为非零向量），a∥b⇔a＝λb（b≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．

　（2016·

合肥模拟）如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（＋）·

的最小值为________．

答案　－

解析　∵圆心O是直径AB的中点，

∴＋＝2，∴（＋）·

＝2·

，

∵与共线且方向相反，

∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2×

×

＝－.

题型三　向量的其他应用

命题点1　向量在不等式中的应用

例3　已知x，y满足若＝（x,1），＝（2，y），且·

的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．

答案　

解析　因为＝（x,1），＝（2，y），所以·

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示（含边界），观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C（1,1）时，zmax＝2×

1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F（a，a）时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×

3a，解得a＝.

命题点2　向量在解三角形中的应用

例4　（2016·

合肥模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　∵20a＋15b＋12c＝0，

∴20a（－）＋15b＋12c＝0，

∴（20a－15b）＋（12c－20a）＝0，

∵与不共线，

∴⇒

∴△ABC最小角为角A，

∴cosA＝

＝＝，

∴sinA＝，故选C.

命题点3　向量在物理中的应用

例5　如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°

角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A．2B．2

C．2D．6

答案　A

解析　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－（F1＋F2），即F＝F＋F＋2F1·

F2＝F＋F＋2|F1|·

|F2|·

＝28.故|F3|＝2.

思维升华　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

（1）函数y＝sin（ωx＋φ）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·

＝0，则函数f（x）的最小正周期是______．

（2）已知在平面直角坐标系中，O（0,0），M（1,1），N（0,1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤·

≤1,0≤·

≤1，则z＝·

的最大值为________．

答案　

（1）3　

（2）3

解析　

（1）由图象可知，M，N，

所以·

（xN，－1）＝xN－1＝0，

解得xN＝2，

所以函数f（x）的最小正周期是2×

＝3.

（2）∵＝（x，y），＝（1,1），＝（0,1），＝（2,3），

＝x＋y，·

＝y，·

＝2x＋3y，

即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识得，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.

三审图形抓特点

典例　（2016·

太原一模）已知A，B，C，D是函数y＝sin（ωx＋φ）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（　　）

A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝

C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝

―→―→

―→

解析　由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.

又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin（ωx＋φ）图象可以看作是由y＝sinωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.

1．在△ABC中，（＋）·

＝||2，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

解析　由（＋）·

＝||2，

得·

（＋－）＝0，

即·

（＋＋）＝0，

2·

＝0，

∴⊥，∴A＝90°

又根据已知条件不能得到||＝||，

故△ABC一定是直角三角形．

2．（2016·

山东）已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）

A．4B．－4C.D．－

解析　∵n⊥（tm＋n），∴n·

（tm＋n）＝0，

即tm·

n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，

由已知得t×

|n|2×

＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.

3．（2016·

南宁模拟）已知向量a＝（cosα，－2），b＝（sinα，1）且a∥b，则sin2α等于（　　）

A．3B．－3

C.D．－

解析　由a∥b得cosα＋2sinα＝0，

∴cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，

∴5sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，

sin2α＝2sinαcosα＝－cos2α＝－.

武汉模拟）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝（sinA，sinB），n＝（cosB，cosA），若m·

n＝1＋cos（A＋B），则C等于（　　）

解析　依题意得sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos（A＋B），sin（A＋B）＝1＋cos（A＋B），sinC＋cosC＝1,2sin（C＋）＝1，sin（C＋）＝.

又<

C＋<

，因此C＋＝，C＝.

5．已知点A（－2,0），B（3,0），动点P（x，y）满足·

＝x2，则点P的轨迹是（　　）

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

解析　∵＝（－2－x，－y），＝（3－x，－y），

＝（－2－x）（3－x）＋y2＝x2，

∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．

*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

解析　如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为两边的三角形的面积为，故β的终点在如图所示的线段AB上（α∥，且圆心O到AB的距离为），因此夹角θ的取值范围为.

7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·

＝________.

答案　－8

解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，

由余弦定理得：

a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，

＝4×

a×

cos（π－θ）＝－4acosθ＝－8.

8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______．

解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·

b

＝4|a||b|cos＝4>

0，

∴|a＋b|>

|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·

b＝3，

∴|a－b|＝.

9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f（x）＝x3＋|a|x2＋a·

bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是__________．

解析　设a与b的夹角为θ.

∵f（x）＝x3＋|a|x2＋a·

bx，

∴f′（x）＝x2＋|a|x＋a·

b.

∵函数f（x）在R上有极值，

∴方程x2＋|a|x＋a·

b＝0有两个不同的实数根，

即Δ＝|a|2－4a·

b＞0，∴a·

b＜，

又∵|a|＝2|b|≠0，

∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜，

又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.

*10.已知圆C：

（x－2）2＋y2＝4，圆M：

（x－2－5cosθ）2＋（y－5sinθ）2＝1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·

的最小值是________．

答案　6

解析　圆（x－2）2＋y2＝4的圆心C（2,0），半径为2，

圆M（x－2－5cosθ）2＋（y－5sinθ）2＝1，圆心M（2＋5cosθ，5sinθ），半径为1，

∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．

如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，

则·

最小值是·

，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝＝＝2，

sin∠CHE＝＝，

∴cos∠EHF＝cos2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，

cos∠EHF＝2×

2×

＝6.

11．已知点P（0，－3），点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·

＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

解　设M（x，y）为所求轨迹上任一点，

设A（a,0），Q（0，b）（b＞0），

则＝（a,3），＝（x－a，y），＝（－x，b－y），

由·

＝0，得a（x－a）＋3y＝0.①

由＝－，得

（x－a，y）＝－（－x，b－y）＝，

∴∴∴b＞0，y＞0，

把a＝－代入①，得－＋3y＝0，

整理得y＝x2（x≠0）．

∴动点M的轨迹方程为y＝x2（x≠0）．

12．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝（2sin，cos2），n＝（cos，－2），m⊥n.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，cosB＝，求b的长．

解　

（1）已知m⊥n，

所以m·

n＝（2sin，cos2）·

（cos，－2）

＝sinA－（cosA＋1）＝0，

即sinA－cosA＝1，即sin（A－）＝，

因为0<

A<

π，所以－<

A－<

所以A－＝，所以A＝.

（2）在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，

sinB＝＝＝.

由正弦定理知＝，

所以b＝a·

＝＝.

*13.已知平面上一定点C（2,0）和直线l：

x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（＋）·

（－）＝0.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若EF为圆N：

x2＋（y－1）2＝1的任意一条直径，求·

的最值．

解　

（1）设P（x，y），则Q（8，y）．

由（＋）·

（－）＝0，

得||2－||2＝0，

即（2－x）2＋（－y）2－（8－x）2＝0，

化简得＋＝1.

∴动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1.

（2）∵＝＋，＝＋，

且＋＝0.

＝2－2＝（－x）2＋（1－y）2－1

＝16（1－）＋（y－1）2－1＝－y2－2y＋16

＝－（y＋3）2＋19.

∵－2≤y≤2.

∴当y＝－3时，·

的最大值为19，

当y＝2时，·

的最小值为12－4.

综上，·

的最大值为19，最小值为12－4.