北京市海淀区届高三一模数学试题含答案解析.docx

1、北京市海淀区届高三一模数学试题含答案解析海淀区20202021学年第二学期期中练习2021.04高三数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共g小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目(1)要求的一项。已知集合A=, B=xxa）.若AUB=B,则实数。的取值范围是(B)(8, 1(C)(1, +oo)(D)1, +oo)(2)如图，在复平面内，复数2对应的点为P.则复数三的虚部为P. (A) 1(C) 2(B) -1 (D) -2（3）己

2、知&为等差数列，Sn为其前H项和若03 = 55 = 5,则a =(A) -5(B) -4(C) -3(D)(4)兀且为奇函数的所有函数的序号是在（X-）6的展开式中，十的系数为12,则a的值为 X(6)已知函数/(对满足/(l+x) = /(l-x),且当xl 吋,/G) =log2X,则八8)-/(-2)=(A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 3(7)己知a, b是单位向量，c=a+2b,若a丄c,贝牝| =(A) 3 (B) V7 (C) 43 (D) 41（8） 己知点彳），呱工）,C（0,-）,贝卜MC是等边三角形是“直线初的斜率为40“的（A）充分而不必要条件 （B）必要

3、而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9） 设无穷等比数列仙的前n项和为S”若一aai0）,则 cosv 刃，丽 = ,若B是以Q4为边的矩形的项点，则加= 。l + 2cosa = 2cos0（14）若实数满足方程组 厂 ,则0的一个值是 /3 + 2sin& = 2sin0（15）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线仮+妙+c=0使这两组点分 别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线？，记所有的点词 Z的距离的最小值为d,约定：M越大，分类直线/的分类效果越好，某学校高三（2） 出的7位同学在2020年期间网购文具的费用X （单位：

4、百元）和网购图书的费用y （单 位：百元的情况如图所示，现将Pl, P3和R归为第I组点，樽0, Qi,和0 归为第II组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类宜线，记为厶给4如果从第I组点中去掉点P,第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L.其中所有正确结论的序号是 。三、解答题共6小题，共85分。解答应写岀文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图，在四边形 ABCD 中,M/CD AB=2 & , CD= a/6 ,cosJ =(I)求 cos/BDC；(II)求BC的长.3（17）（本小题共14分）在如图所示的多面体中，4B/CD 四边形ACFE

5、为矩形，AB=AE=. AD=CD=2.（I）求证：平面ME平面CDF：（II）设平面BEFA平面CDF=h再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干 个作为己知，使二面角B-1-C的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件4BL4D；条件：M丄平面MCQ：条件：平面4ED丄平面MCD（18）（本小题共14分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日二又称牠世界图书和版权 日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了 500名高一学生 进行在线调査，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分 成0, 2, （2, 4, （4, 6, （6, 8

6、, （8, 10, （10, 12, （12, 14, （14, 16, （16, 18 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.頻率组距0.1510 12 14 16 18日平均阅读时间（小时（I） 求a的值：（II） 为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况, 从日平均阅读时间在（12, 14, （14, 16, （16, 18三组内的学生中，采用分层 抽样的方法抽取了 10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14, 16内的学生人数为X,求X的分布列；（III） 以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“Ao伙）”

7、表示这20名学生中恰有上名学生日平均阅读时间在（10, 12（单位: 小时）内的概率，其中r=o, 1, 2, 20.当屜（n最大时，写出a的值.（只需写出结论）(19)(本小题共15分已知函数/ (x) =x sinx.(I)判断函数/(x)在区间(0, y)上的单调性，并说明理由；(II)求证：函数/(X)在(彳，兀)内有且只有一个极值点；(III)求函数g (x)=丄吐1在区间(1,龙上的最小值.Inx(20)(本小题共14分)V-2 V2已知椭圆 M： +耳=1 (方0)过/ (一2, 0), B (0, 1)两点.a b(I)求椭圆M的离心率；(ID设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆M

8、上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线肋与直线CP交于点0,直线肿交x轴于点S,求证：直线S0过定点.(21)(本小题共14分已知无穷数列伽,对于mg 若如同时满足以下三个条件，则称数列伽具有性质尸伽).条件:an0 5 = 1, 2,)；条件：存在常数r0,使得aT (=1, 2,)；条件：血+如1=加如2 (=1, 2,(I)若血=5+4兀(-分 6 = 1, 2,.),且数列伽具有性质P 5,直接写出加的值和一个T的值；(II)是否存在具有性质P(l)的数列心?若存在，求数列如的通项公式；若不存在，说明理由；(III)设数列仙具有性质P且各项均为正整数，求数列伽的通项公式.海淀区2020-2

9、021学年第二学期期中练习高三数学参考答案 2021.04阅卷须知：1评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案BACBDCCADD二、填空题共5小题，每小题5分.共25分。题号(11)(12)(13)(14)(15)答案-172至550.答案不唯一. 满 足22kn + nike Z3或 2hz,kwZ 即 训三.解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）因为AB = 2品,所以叫餾=竽因为CD =羽, 在中，山

10、余弦定理得BCBb + Clf - 2BDCD cos ZB DC= 9+6-2x3xV6x = 11.所以 BC=y/n.(17)(本小题共14分)解：(I )因为四边形ACFE为矩形,所以CF/AE又因为 AB!/CD9 /3门AE = A9 /IBu平面ABE, /Eu平面ABE.CDu平面CM, CFu平面CDF, 所以平面4BE平面CDF(II)选择，或因为 加E丄平面 ABCD, ABczABCD. &Du 平面 ABCD ,所以4E丄AB . AE丄AD. 又因为肋丄4D,所以分别以AB, AD,/佢所在的宜线为x轴，y 轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意得 5(1,

11、0,0), E(0,0,l),F(2,2)丽= (1,2,1).设平面BEF的法向量为n = (x,jz),则一x + z = 0,x + 2y + z = Q.令x = l,则尹=T, z=l.于是(1,71).由(I )可得：力。丄平面CDF.取平面CDF的一个法向量为加= (0,1,0).加羽 -1所以 CQS= = =-I m | n | lx V3 3 所以二而角B-l-C的余弦值为逼.3选择因为平面血Q丄平面ABCD ,平面AEDC平面ABCDAD.4E 丄 AD , 平面 ABCD.所以ABA.平面/4EZ).又因为/Eu平面4CQ,所以丄/在矩形ACFE中，4E丄AC.因为 /

12、8u平面 ABCDr 虫Cu 平面 ABCD , ABQACA ,所以处丄平面初CQ.又因为au平面ABCD,所以4E丄4D分别以AB, AD, /E所在的直线为x轴，7轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意得B0,0,0), (0,0,1), F(2,2,l).所以巫= (-1,0,1).丽=(1,2)设平面的法向量为 = (x,y,z),则徑0,即严;“0,严/1 = 0, x + 2y + z = 0 令x=l,则y = z=l.于是Hl)由(I )可得：力2?丄平面CDF.取平面CDF的一个法向疑为w = (0,1,0).m “ -1所以 cos=-一 =一一I tn | n

13、| lx V3 3所以二而角B-1-C的余弦值为逼.3(18)(本小题共14分解：(I )由频率分布直方图可得：2(0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + 0A5 + a+0.05 + 0.04 + 0.01) = 1解得*0.10.(II )由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在(12,14, (14,16.(16,18三组内的学生人数分别为500x0.10 = 50人，500x0.08 = 40人, 500x0.02=10 人.若采用分层抽样的方法抽取了 10人，则从日平均阅读时间在(14,16内的学现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3

14、.P（X = 2） = p(g)唱=昔=壬所以X的分布列为X0123P1612310130(TH) k = 4.(19)(本小题共15分)解：(I )由题意知，f9(x) = sinx+xcosx.7T因为 xe (0,-),所以 r(x)o.所以/(X)在(0,号)上单诚递增.(II )设 h(x) = /*(x),则 Ji(x) = 2cosx-xsinx.当 xe (-, n)时，/7z(x) 0, /(7t) = -7r0, /(n)=0,所以当xe (l,7i时，/(x) + ll 又因为当 xe (l,7i时，0 0 5 = 1,2,)，所以 4+2 4小即勺眄口4a2f a5-a

15、Aa2, n+3 陽+2 2 累加得,an+3-ayna2 .对于常数T 0 ,当 A 时，a”+3 M T 与才盾.a2所以不存在具有性质PQ）的数列（III）因为数列具有性质PSO, Li （II）知加幻.1当m = 2时，粘2 =扌（%1 + % ），即绻+2 -陽+i = -*（如一陽），“ =1，2，. 所以|绻+2-陥1| =亍血加若 ax=a2=c （c 为常数，且 g N*），则 a“=c , = 1,2，.经检验，数列c （ c N*）具有性质尸.若a严勺，当bg202-加时，|%2 -賂1| = *血一加（0, 1）,与N矛盾.2当m3 时，令bn = maxan, a+1e N* 贝I务十2 =丄（。”十|+碍）（0卄1+轴）1（力+）,力= 1,2,.m 3 3所以3 =丄（耳汁2 +如）S斗（+2 +吋） 扣” +乞）5 m 3 3所以 +2=max%+2, anbn.所以 b+2 = 1,2,.所以為一妬彳 一1, b$ - S 5 ,，俎+-2”-i 一1 所以為曲一勺一力.当2也时，為”+1勺一“0,与力2”+岸N矛盾.综上所述，数列%的通项公式为=c （c为常数，且cgNT