北京市海淀区届高三一模数学试题含答案解析.docx

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北京市海淀区届高三一模数学试题含答案解析

海淀区2020〜2021学年第二学期期中练习

2021.04

高三数学

本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共g小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

（1）

要求的一项。

已知集合A={\},B={x\x>a）.若AUB=B,则实数。

的取值范围是

（B）（—8,1]

（C）（1,+oo）

（D）[1,+oo）

（2）

如图，在复平面内，复数2对应的点为P.则复数三的虚部为

P.

（A）1

（C）2

（B）-1（D）-2

（3）

己知{&}为等差数列，Sn为其前H项和•若03=55=5,

则a\=

（A）-5

（B）-4

（C）-3

（D）

（4）

兀且为奇函数的所有函数的序号是

在（X--）6的展开式中，十的系数为12,则a的值为X

（6）

已知函数/（对满足/（l+x）=/（l-x）,且当x>l吋,/G）=log2X,则八8）-/（-2）=

（A）-2（B）-1（C）1（D）3

（7）己知a,b是单位向量，c=a+2b,若a丄c,贝牝|=

（A）3（B）V7（C）43（D）41

（8）己知点彳），呱工）,C（0,-）,贝卜△MC是等边三角形"是“直线初的斜率为

4

0“的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（9）设无穷等比数列仙｝的前n项和为S”若一a\

（A）｛S”｝为递减数列（B）｛SQ为递增数列

（C）数列｛S”｝有最大项（D）数列｛S”｝有最小项

（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，

如图1,在一个棱长为加的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2,设平行于水平面且与水平面距离为"的平面为记平面。

截牟合方盖所得截面的面积为£,则函数S=fg的图象是

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）己知函数/&）=0+血若曲线y=fCx）在点（1,/（D）处的切线的斜率为2.则实

数a的值是o

（12）己知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为o

（13）已知点O（0,0）,A（1,2）,BCm,0）（m>0）,则cosv刃，丽>=,

若B是以Q4为边的矩形的项点，则加=。

l+2cosa=2cos0

（14）若实数〃满足方程组厂,则0的一个值是

>/3+2sin&=2sin0

（15）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线仮+妙+c=0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线？

，记所有的点词Z的距离的最小值为d,约定：

M越大，分类直线/的分类效果越好，某学校高三

（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用X（单位：

百元）和网购图书的费用y（单位：

百元〉的情况如图所示，现将Pl,P3和R归为第I组点，樽0,Qi,和0归为第II组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类宜线，记为厶给

4如果从第I组点中去掉点P,第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是

L.其中所有正确结论的序号是。

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写岀文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共14分）

如图，在四边形ABCD中,M//CDAB=2&,CD=a/6,cosJ=

（I）求cos/BDC；

（II）求BC的长.

3

（17）（本小题共14分）

在如图所示的多面体中，4B//CD四边形ACFE为矩形，AB=AE=\.AD=CD=2.

（I）求证：

平面ME〃平面CDF：

（II）设平面BEFA平面CDF=h再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为己知，使二面角B-1-C的大小确定，并求此二面角的余弦值.

条件⑪4BL4D；

条件②：

M丄平面MCQ：

条件③：

平面4ED丄平面MCD

（18）（本小题共14分）

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日二又称牠世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调査，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：

小时），并将样本数据分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],（14,16],（16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

頻率

组距

0.15

1012141618日平均阅读时间（小时〉

（I）求a的值：

（II）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在（12,14],（14,16],（16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在

（14,16]内的学生人数为X,求X的分布列；

（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用

“Ao伙）”表示这20名学生中恰有上名学生日平均阅读时间在（10,12]（单位:

小时）内的概率，其中r=o,1,2,20.当屜（n最大时，写出a的值.（只

需写出结论）

（19）（本小题共15分〉

已知函数/（x）=xsinx.

（I）判断函数/（x）在区间（0,y）上的单调性，并说明理由；

（II）求证：

函数/（X）在（彳，兀）内有且只有一个极值点；

（III）求函数g（x）=丄吐1在区间（1,龙］上的最小值.

Inx

（20）（本小题共14分）

V-2V2

已知椭圆M：

+耳=1（°>方>0）过/（一2,0）,B（0,1）两点.

ab

（I）求椭圆M的离心率；

（ID设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线肋

与直线CP交于点0,直线肿交x轴于点S,求证：

直线S0过定点.

（21）（本小题共14分〉

已知无穷数列伽｝,对于mg若｛如同时满足以下三个条件，则称数列伽｝具有

性质尸伽）.

条件①:

an>05=1,2,・・・）；

条件②：

存在常数r>0,使得a^T（«=1,2,…）；

条件③：

血+如1=加如2（"=1,2,,

（I）若血=5+4兀（-分6=1,2,...）,且数列伽｝具有性质P5〉,直接写出加的值

和一个T的值；

（II）是否存在具有性质P（l）的数列｛心｝?

若存在，求数列｛如的通项公式；若不存在，

说明理由；

（III）设数列仙｝具有性质P且各项均为正整数，求数列伽｝的通项公式.

海淀区2020-2021学年第二学期期中练习

高三数学参考答案2021.04

阅卷须知：

1•评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2•其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

—、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

答案

B

A

C

B

D

C

C

A

D

D

二、填空题共5小题，每小题5分.共25分。

题号

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

答案

-1

72

至5

5

0.答案不唯一.满足

2

2kn+—nikeZ

3

或2hz,kwZ即训

三.解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）

因为AB=2品,

所以叫餾=竽"

因为CD=羽,在中，山余弦定理得BC'Bb+Clf-2BD・CD・cosZBDC

=9+6-2x3xV6x^=11.

所以BC=y/n.

（17）（本小题共14分）

解：

（I）因为四边形ACFE为矩形,

所以CF//AE・

又因为AB!

/CD9/3门AE=A9/IBu平面ABE,/Eu平面ABE.

CDu平面CM,CFu平面CDF,所以平面4BE〃平面CDF・

（II）选择①②，或①②®

因为加E丄平面ABCD,ABcz^^ABCD.&Du平面ABCD,

所以4E丄AB.AE丄AD.又因为肋丄4D,

所以分别以AB,AD,

/佢所在的宜线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得5（1,0,0）,E（0,0,l）,

F（2,2」）・

丽=（1,2,1）.

设平面BEF的法向量为n=（x,j\z）,则

一x+z=0,

x+2y+z=Q.

令x=l,则尹=T,z=l.

于是"（1,71）.

由（I）可得：

力。

丄平面CDF.

取平面CDF的一个法向量为加=（0,1,0）.

加羽-1

所以CQS=―==--・

Im||n|lxV33所以二而角B-l-C的余弦值为逼.

3

选择①③

因为平面血Q丄平面ABCD,平面AEDC\平面ABCD^AD.

4E丄AD,平面ABCD.

所以ABA.平面/4EZ）.

又因为/Eu平面4CQ,

所以丄/££・

在矩形ACFE中，4E•丄AC.

因为/8u平面ABCDr虫Cu平面ABCD,ABQAC^A,

所以处丄平面初CQ.

又因为au平面ABCD,

所以4E丄4D・

分别以AB,AD,/E所在的直线为x轴，7轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B0,0,0）,£（0,0,1）,F（2,2,l）.

所以巫=（-1,0,1）.丽=（1,2」）・

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,则

徑・"0,即严;“0,

严・/1=0,[x+2y+z=0・

令x=l,则y=z=l.

于是Hl）・

由（I）可得：

力2?

丄平面CDF.

取平面CDF的一个法向疑为w=（0,1,0）.

m“-1

所以cos=-一=——=一一・

Itn||n|lxV33

所以二而角B-1-C的余弦值为逼.

3

（18）（本小题共14分〉

解：

（I）由频率分布直方图可得：

2（0.02+0.03+0.05+0.05+0A5+a+0.05+0.04+0.01）=1

解得*0.10.

（II）由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在（12,14],（14,16].

（16,18]三组内的学生人数分别为500x0.10=50人，500x0.08=40人,500x0.02=10人.

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在（14,16]内的学

现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3.

P（X=2）=p（g）唱=昔=壬

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

6

1

2

3

10

1

30

（TH）k=4.

（19）（本小题共15分）

解：

（I）由题意知，f9（x）=sinx+xcosx.

7T

因为xe（0,-）,

所以r（x）>o.

所以/（X）在（0,号）上单诚递增.

（II）设h（x）=/*（x）,则Ji（x）=2cosx-xsinx.

当xe（-,n）时，/7z（x）<0.

2

所以h（x）=f（x）在G，71）内单调递减.

又因为Ay）=l>0,/（7t）=-7r<0,乙

所以存在唯一勺€（彳，71）,使得Axo）=O.

/（X）与/'（X）在区间（|,n）上的情况如下：

X

（扌'X。

）

（和兀）

+

0

—

极大值

\

所以/（x）在（彳，兀）内有且只有一个极值点.

（III）由（I）（II）可知，/⑴在（l,x°）内单调递增，在（勺，兀）内单调递减.

又因为/

（1）=sinl>0,/（n）=0,

所以当xe（l,7i］时，/（x）+l>l・

又因为当xe（l,7i］时，0

所以=当且仅当XR时等号成立.

lnxinn

所以g（x）在①冗］上的最小值为』一・

Inn

（20）（本小题共14分）

解：

（I）因为点^（-2,0）,5（0,1）都在椭圆M上,所以a=2,b=l.

所以C=yja1-b2=y/3・

所以椭圆M的离心率e=-=^~.

a2

（II）方法一：

由（I）知椭圆M的方程为罕+员=1,Q2,0）.

4

宙题意知：

直线力3的方程为x=2^-2.

设卩仇,儿）（必工0,必工±1〉，Q（2yQ-2必），S（Xs，0）・

因为C,P,Q三点共线，所以有CP//CQ.

所以（xQ-2）yQ=y0（2yQ-4）.

所以

2%-勺+2

所以0（¥。

_+2弓4”

2丁0-兀0+22»b-x°+2

因为B,S,P三点共线，

所以丄=心，即x严二.

7X。

1_必

所以s（泮-,0）.

1-儿

4必+2兀0-4X。

所以直线QS的方程为x=2儿_心：

21_儿卩+^,,

4九7

2儿_如+2

即“埒一4几2—4x*q+8几一4|无.

'4儿（1-儿）1-%，

又因为点P在椭圆M上，所以讨：

=4-4儿2.所以直线0S的方程为"2-严-沁_i）+2.

1-儿

所以直线QS过定点（2,1）.

方法二：

直线0S过定点7（2,1）,理由如下：

设直线肿为y=^x+l（占H0且直线CP为『=伦6¥—2）（禺工0

所以直线3P与兀轴的交点S（-丄,0）・

$

因为直线的方程为^=|x+l,

所以直线TS的斜率层=无»,直线Tg的斜率塔

所以耳％二亠-（乂+―-竺土”

”仗2占+122472^+1

将尹=何兀+1代入方程*+4y2=4得（4^2+1）工+8&|X=0・所以点戶的横坐标为占=-涪打，则弘二一話壬•

将点P的坐标代入直线CP的方程y=k2（x-2）,整理得1+2^-4^2+8^+8^2=0.

所以（1+2A:

i）（1-2A1+2^2+4^2）=0.

因为1+2何H0,所以1一2血+%+4側=0・

所以見-4=0.

所以直线QS过定点r（2,1）.

（21）（本小题共14分）

解：

（I）ftt=2；

答案不唯一.如T=6.

（II）不存在具有性质尸

（1）的数列｛心｝,理由如下：

假设存在具有性质戶

（1）的数列，设为｛◎｝，则^=1.

所以"1,2,….

因为a”>05=1,2,…），

所以4+2>4小'即勺<眄<口4<•…・

所以。

⑷二陽+2+Q卄i卄2+如，即a4-a3>a2fa5-aA>a2,•

°n+3—陽+2—°2•

累加得,an+3-ay^na2.

对于常数T＞0,当〃A时，a”+3MT'与②才盾.

a2

所以不存在具有性质PQ）的数列｛〜｝•

（III）因为数列｛◎｝具有性质PSO,[Li（II）知加幻.

1当m=2时，粘2=扌（%1+%），即绻+2-陽+i=-*（如一陽），“=1，2，….所以|绻+2-陥1|=亍血—加•

若ax=a2=c（c为常数，且gN*），则a“=c,"=1,2，….

经检验，数列｛c｝（c€N*）具有性质尸⑵.

若a严勺，当"＞bg202-加时，|%2-賂1|=*血一加€（0,1）,

与N°矛盾.

2当m＞3时，令bn=max｛an,a„+1｝eN*＞贝I」

务十2=丄（。

”十|+碍）＜£（0卄1+轴）＜1（力+»）＜»,力=1,2,・・・.

m33

所以％3=丄（耳汁2+如）S斗（％+2+吋）＜扣”+乞）5•

m33

所以®+2=max｛%+2,an^｝＜bn.

所以b„+2〃=1,2,….

所以為一妬彳一1,b$-S5—\,…，俎+[-〃2”-i＜一1•

所以為曲一勺£一力.

当"2也时，為”+1＜勺一“＜0,与力2”+岸N■矛盾.

综上所述，数列｛%｝的通项公式为％=c（c为常数，且cgNT•