完整版平面向量学案.docx

1、完整版平面向量学案第一课时1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象 出向量向量的表示1向量的概念(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量(3)有向线段： 带有方向的线段叫做有向线段， 其方向是由起点指向终点 以 A 为起点、 uuur uuurB为终点的有向线段记作 AB (如图所示 )，线段 AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记 uuur作| AB |.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向、长度， 它的终点就唯一确定了思考 1 两个向

2、量可以比较大小吗？提示： 不能因为向量既有大小，又有方向2向量的表示法(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就uuur uuur是向量的长度 (或称模 )，如向量 AB 的长度记作 |AB |.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母 a， b，c，表示向量书写时，可写成带箭头的小写字母 ra，br ，cr ， .还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示， uuur如以 A 为起点，以 B 为终点的向量记为 AB .特别提醒 (1) 向量的书写要规范，如向量 a 不能写成 a；uuur uuur(2)向量的起点、终点要搞清，如 AB 与 BA

3、的起点与终点正好相反3有关概念思考 2 单位向量都相等吗？提示： 不一定，单位向量的模相等，都等于 1，但方向不一定相同思考 3 表示相等向量的有向线段一定重合吗？提示： 不一定，也可以平行，或在一条直线上思考 4 共线向量与相等向量有什么关系？提示： 相等向量一定共线，而共线向量不一定相等特别提醒 (1) 零向量表示为 0，而不是数字 0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任 一向量是共线向量(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线第二课时课程目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义2熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法 则，会作已知两向量的和向量3掌握向

4、量加法的交换律和结合律， 会用它们进行计 算.1向量加法的定义uuru uuru BC b，则向量 AC 叫uuur做 a 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB uuru uuruBC AC .这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则3向量加法的平行四边形法则如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a， b 为邻边作 ?OACB，则以 O 为起点的对uuru角线 OC 就是 a 与 b 的和这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则思考 1 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？提示： (1)两个法则的使用条件不同平行四边形法则只适用于两个不共线的向量三

5、角形法则适用于任意两个非零向量求和， 求和（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的uuru uuur uuur如图所示， ACAB AD （平行四边形法则 ）uuru uuur uuru uuur uuru又 BC AD， AC AB BC （三角形法则 ）（3）在使用三角形法则时，应注意 “首尾连接 ” ；在使用平行四边形法则时，应注意范 围的限制及和向量与两向量的起点相同思考 2 向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？提示： 能向量加法的多边形法则： n 个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后 一个向量的起点重合， 组成一组向量折线， 这 n 个向量的和等于从折线起点到终点

6、的向量 个法则叫做向量加法的多边形法则多边形法则的实质是三角形法则的连续应用4向量加法的运算律交换律abba结合律（ab）ca （bc）思考 3 零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？ 提示： 对于零向量与任一向量 a，规定： a00a a.思考 4 |a|b|，|a b|， |a|b|之间的大小关系是怎样的？ 提示： |a|b|a b| |a|b|.当 a 与 b 同向或 a 与 b 中至少有一个为零向量时， |a b| |a| |b|； 当 a 与 b 反向或 a 与 b 中至少有一个为零向量时， |a|b| |a b|.第三课时1.理解相反向量的意义；知道向量减法的定义 2掌握向量减法

7、的运算及几何意义，能作出两 个向量的差向量 .1相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量，有 a ( a) 0若 a， b 互为相反向量，则 a b，ab 0零向量的相反向量仍是零向量特别提醒 (1) 相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解；(2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量2向量的减法定义a ba(b) ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法uuur uuru uuur在平面内任取一点 O，作 OAa， OB b，则向量 ab BA .如图所示几何意义如果把两个向量 a，b 的起点放在一起，则 a b可以

8、表示为从向量 b 的终点指 向向量 a 的终点的向量uuur uuru uuur uuur思考 1若OAa，OBb，则 AB， BA如何用 a，b表示？ uuur uuru uuur uuur uuur uuru 提示： AB OB OA b a， BA OA OB a b.思考 2 若 a 与 b 是两个不共线的向量，则 |ab|和|a b|的几何意义是什么？uuur uuru提示： 如图所示，设 OAa， OB b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的 uuru uuur 三角形法则，有 OC ab， BA ab.边的平行四边形的两条对角线的长思考 3 向量加法与减法的几何表示的区别？

9、提示： 向量的减法是加法的逆运算，求 a b 时，是将 b 的起点放在向量 a 的终点，然 后连接向量 a 的起点与向量 b 的终点所得的向量；求 a b 时，是把这两个向量的起点放在 一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量第四课时课程目标1.理解向量数乘的定义及几何意义2掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表 示未知向量3掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量 共线.1向量的数乘定义一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a长度|a| |a|方向0a 的方向与 a 的方向相同0a 01 时，有 |a|a|，这意味着表示向量 a 的有向

10、线段在原方向 (1)或反方 向( 1)上伸长了 |倍(2)当 0|1 时，有 |a|a|，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向 (0 1)或反方向 ( 10)上缩短了 |倍思考 3 向量 a 的大小与方向如何？|a|提示： 向量 a 的大小为 1，方向与 a 的方向相同，所以该向量是向量 a 方向上的单位 |a|向量2向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设 ， 为实数，则(1)(a)( )a；(2)( )a a a；(3)(a b) a b. 特别地， ( )a (a)(a)，(a b)ab.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的 “合并同类项

11、”3共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba.思考 4 共线向量定理中为何要限制 a0?提示：共线向量定理中， 若不限制 a 0，则当 ab0时，的值不唯一，定理不成立 并 且当 b 0，a0 时， 的值不存在特别提醒 (1)如果非零向量 a与 b不共线，且 ab，那么 0. (2)共线向量定理可以分为两个定理： 判定定理：如果存在一个实数 满足 ba(R)，那么 a b.性质定理：如果 a b， a 0，那么存在唯一一个实数 ，使得 ba. 4向量的线性运算向量的加、 减、数乘运算统称为向量的线性运算， 对于任意向量 a，b，以及任意实数 ， 1，2，恒

12、有 (1a2b) 1a2b.第五课时1.了解平面基底的含义，并能判断基底2理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平 面内的任一向量3掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定 义.平面向量基本定理思考 1 设 e1，e2 是平面向量的一组基底， 则 e1， e2 中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？提示： 平面向量基本定理的前提条件是e1，e2 不共线，若 e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2 中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数1，2 的值也不相同 思考 2 向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？提示：

13、 向量的夹角 的范围为 0180，两条直线的夹角 的范围是 0 90.第六课时1平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解2平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底（2）坐标：对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x， y，使得 axiyj，我们把有序实数对 （x，y）叫做向量 a 的坐标，记作 a （x， y） ，其中 x 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做向量 a 在 y 轴上的坐标（3）坐标表示： a （x， y）就叫做向量的坐标表示（4）特殊向量的坐标： i（

14、1,0），j（0,1），0（0,0） 思考 1 由向量的坐标定义知，当且仅当两向量 a（x1，y1），b（x2，y2） 满足什么条件时相等？提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即 ab? x1x2且 y1y2.3向量与坐标的关系uuur uuur终点 A 的坐标 （x，设 OAxiyj，则向量 OA的坐标 （x，y）就是终点 A 的坐标；反过来，uuury）也就是向量 OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实 数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的思考 2 点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？提示： （1）区别：表示形式不同，向量 a （x，y

15、）中间用等号连接，而点的坐标 A（x， y）中间没有等号意义不同，点 A（x， y）的坐标 （x， y）表示点 A 在平面直角坐标系中的位置， a（x， y） 的坐标 （x， y）既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外 （x，y）既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点 （x， y）或向量 （x，y）（2）联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同第七课时课程目标学习脉络1.理解向量加法、 减法、 数乘的坐标运算法则， 能熟练进 行向量的坐标运算2能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量 .平面向量的坐标运算设向量 a（x1，y1），b （x2， y2）， R ，

16、则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a b（x1x2，y1y2）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a b（x1x2，y1y2）数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标a （1x， 1y）向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知 A（x1，y1）， B（x2， y2）， uuur则 AB （x2 x1， y2 y1）uuur思考如何区别 ab 的坐标运算与 AB的坐标运算？uuur提示： a b 的坐标是对应的坐标相减， AB 的坐标为终点坐标减去始点坐标第八课时课程目标学习脉络1

17、.理解用坐标表示的平面向量共线的条件2能用向量的坐标表示判定向量是否共线证明 三点共线 .平面向量共线的坐标表示设 a（x1，y1），b（x2，y2），其中 b 0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a， b共线 思考 1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 提示： 当两个向量的对应坐标同号或同为零时， 同向； 当两个向量的对应坐标异号或同 为零时，反向例如：向量 （1,2）与（1， 2）反向；向量 （1,0）与（3,0）同向；向量 （1,2）与（3,6）同向； 向量 （1,0）与（3,0）反向等思考 2 已知 a （x1，y1），b （x2，y2），则向量

18、 a 和向量 b 共线条件的表示方法有哪些？ 提示：在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当 b0时，a和 b共线条件的表示方法有以下三种形式：（1）当 b0 时， a b.这是几何运算，体现了向量 a 与 b的长度及方向之间的关系（2）x1y2x2y1 0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征（3）当 x2y20 时， x1 y1 ，即两个向量的对应坐标成比例 这种形式是较容易记忆的 x2 y2向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误第九课时1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2掌

19、握向量 a 与 b 的数量积公式及其投影的定义 3掌握平面向量数量积的性质及运算律 4会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量 积解决向量的垂直问题 .1平面向量的数量积定义已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )， 其中 是 a 与 b 的夹角记法记作 ab，即 ab |a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为 0投影|a|cos (|b|cos )叫做向量 a在 b方向上(b在 a方向上)的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积思考 1 向量的数量积的运

20、算结果是向量还是实数？如果是向量， 如何确定大小和方向？ 如果是实数，如何确定它的符号？提示： 向量的数量积是实数， 而不是向量， 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之 积当 a，b为非零向量时，由 ab|a|b|cos ，ab的符号由 a与 b的夹角 的余弦值来确 定当 0 0；当 90 180时， ab0 0,2ab02ab0 2 ,夹角公式abcos |a|b|思考 4 当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？提示： 不一定垂直当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直第十课时1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形 式求数量积、向量的模及两个向量的夹角 2会用两个向量

21、的数量积判断它们的垂直关系 .平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量 a（x1，y1），b（x2，y2），a 与 b 的夹角为 ，则有下表：坐标表示数量积ab x1x2 y1y2模|a| x12 y12 或|a|2x12 y12uuuur设 P1（x1，y1），P2（x2，y2），则 |P1P2 |22 x1 x2 y1 y2垂直ab? ab0? x1x2 y1y2 0夹角ab x1x2 y1y2cos 1 2 1 2|a|b | x12 y12 x22 y22思考 1 与非零向量 a 同向的单位向量的坐标如何表示？y） x , y ，此为与非零向量 a（x， y）同向的单位向量的

22、坐标2 2 2 2x y x y思考 2 对任意的向量 a 与 b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？夹角为 0；同时， abx1x2y1y20，但向量 a与 b 不垂直，而是 a b.故向量夹角的坐标 公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是 a0 且 b0.第十一课时课程目标学习脉络1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度问题2掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” .1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景， 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可 用向量方法解决平面几何中的一些问题2用

23、向量方法解决平面几何问题的三步曲：第一步， 建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何 问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系思考 平面几何中常涉及： 求线段的长度或证明线段相等； 证明直线或线段垂直； 线段平行或涉及共线问题；求夹角问题对于上述问题，利用向量的方法如何解决？提示： 设 a （x1， y1）， b （x2， y2）（ a 0，且 b0），a与 b 的夹角为 .1求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模 |a| x12 y12 ；2证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直

24、的等价条件：非零向量 ab? ab 0? x1x2y1y20；3线段平行或涉及共线问题， 常用向量平行 （共线）的等价条件： ab（b0）? ab? x1y2 x2y1 0；4求夹角问题，常利用向量的夹角公式：abcos |a|b|x1x2 y1y2 .2 2 2 2 x1 y1 x2 y2特别提醒 向量法解决几何问题的两个方向（1）几何法： 选取适当的基底 （基底中的向量尽量已知模或夹角 ），将题中涉及的向量用基 底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、 平行、夹角等问题转化为代数运算第十二课时1物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量 2物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法 特别提醒向量在物理中的应用需注意的问题： 学习向量在物理中的应用要注意两个方面的问题： 一方面是如何把物理问题转化成数学 问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型， 另一方面是如何利用建立起来的数学模 型解释和回答相关的物理现象在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识： (1)力、速度、加速度和位移是向量；(2)力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)动量 mv 是数乘向量；(4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积