完整版平面向量学案.docx

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完整版平面向量学案

第一课时

1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．

向量的表示

1．向量的概念

（1）向量：

数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．

（2）数量：

把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．

（3）有向线段：

带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、uuuruuur

B为终点的有向线段记作AB（如图所示），线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记uuur

作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．

（4）有向线段的三个要素：

起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．

思考1两个向量可以比较大小吗？

提示：

不能．因为向量既有大小，又有方向．

2．向量的表示法

（1）几何表示：

用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就

uuuruuur

是向量的长度（或称模），如向量AB的长度记作|AB|.

（2）字母表示：

通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，⋯表示向量．书写时，可写成

带箭头的小写字母ra，br，cr，⋯.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，uuur

如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.

特别提醒

（1）向量的书写要规范，如向量a不能写成a；

uuuruuur

（2）向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反．

3．有关概念

思考2单位向量都相等吗？

提示：

不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．

思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？

提示：

不一定，也可以平行，或在一条直线上．

思考4共线向量与相等向量有什么关系？

提示：

相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．

特别提醒

（1）零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．

（2）注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．

第二课时

课程目标

1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．

2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．

3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算.

1．向量加法的定义

uuruuuruBC＝b，则向量AC叫

uuur

做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋

uuruuuru

BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加

法的三角形法则．

3．向量加法的平行四边形法则

如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?

OACB，则以O为起点的对

uuru

角线OC就是a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？

提示：

（1）两个法则的使用条件不同．

平行四边形法则只适用于两个不共线的向量

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，求和．

（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的．

uuruuuuruuur

如图所示，AC＝AB＋AD（平行四边形法则）．

uuruuuuruuruuuuruuru

又∵BC＝AD，∴AC＝AB＋BC（三角形法则）．

（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同．

思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？

提示：

能．向量加法的多边形法则：

n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量．个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则的实质是三角形法则的连续应用．

4．向量加法的运算律

交换律

a＋b＝b＋a

结合律

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

思考3零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？

提示：

对于零向量与任一向量a，规定：

a＋0＝0＋a＝a.

思考4||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之间的大小关系是怎样的？

提示：

||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||＝|a＋b|.

第三课时

1.理解相反向量的意义；知道向量减法的定义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.

1．相反向量

定义

如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量

性质

①对于相反向量，有a＋（－a）＝0

②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0

③零向量的相反向量仍是零向量

特别提醒

（1）相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解；

（2）相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量．

2．向量的减法

定义

a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

作法

uuuruuruuuur

在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA.如图所示

几何意义

如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

uuuruuruuuuruuur

思考1若OA＝a，OB＝b，则AB，BA如何用a，b表示？

uuuruuruuuuruuuruuuruuru提示：

AB＝OB－OA＝b－a，BA＝OA－OB＝a－b.

思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a＋b|和|a－b|的几何意义是什么？

uuuruuru

提示：

如图所示，设OA＝a，OB＝b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的uuruuuur三角形法则，有OC＝a＋b，BA＝a－b.

边的平行四边形的两条对角线的长．

思考3向量加法与减法的几何表示的区别？

提示：

向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．

第四课时

课程目标

1.理解向量数乘的定义及几何意义．

2．掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表示未知向量．

3．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线.

1．向量的数乘

定义

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

长度

|λa|＝|λ||a|

方向

λ>0

λa的方向与a的方向相同

λ＝0

λa＝0

λ<0

λa的方向与a的方向相反

思考1向量数乘与原向量有什么样的关系？

提示：

向量数乘与原向量是共线向量．

思考2向量数乘λa的几何意义是什么？

提示：

（1）当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ>1）或反方向（λ<－1）上伸长了|λ|倍．

（2）当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0<λ<1）或反方向（－1<λ<0）上缩短了|λ|倍．

思考3向量a的大小与方向如何？

|a|

提示：

向量a的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量是向量a方向上的单位|a|

向量．

2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律：

设λ，μ为实数，则

（1）λ（μa）＝（λ）μa；

（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；

（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.特别地，（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.

特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”．

3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

思考4共线向量定理中为何要限制a≠0?

提示：

共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立．并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在．

特别提醒

（1）如果非零向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.

（2）共线向量定理可以分为两个定理：

判定定理：

如果存在一个实数λ满足b＝λa（λ∈R），那么a∥b.

性质定理：

如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λ1μa±λμ2b.

第五课时

1.了解平面基底的含义，并能判断基底．

2．理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内的任一向量．

3．掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.

平面向量基本定理

思考1设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？

平面向量的基底

唯一吗？

提示：

平面向量基本定理的前提条件是

e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量

和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故

e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以

不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数

λ1，λ2的值也不相同．思考2向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？

提示：

向量的夹角α的范围为0°≤α≤180°，两条直线的夹角β的范围是0°≤β≤90°.

第六课时

1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．

2．平面向量的坐标表示

（1）基底：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为

基底．

（2）坐标：

对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把

有序实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．

（3）坐标表示：

a＝（x，y）就叫做向量的坐标表示．

（4）特殊向量的坐标：

i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）．

思考1由向量的坐标定义知，当且仅当两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）满足什么条件时

相等？

提示：

两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a＝b?

x1＝x2且y1＝y2.

3．向量与坐标的关系

uuuruuur

终点A的坐标（x，

设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，

uuur

y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？

提示：

（1）区别：

①表示形式不同，向量a＝（x，y）中间用等号连接，而点的坐标A（x，y）中间没有等号．

②意义不同，点A（x，y）的坐标（x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝（x，y）的坐标（x，y）既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外（x，y）既可以表示点，也可以表

示向量，叙述时应指明点（x，y）或向量（x，y）．

（2）联系：

当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．

第七课时

课程目标

学习脉络

1.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算．

2．能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.

平面向量的坐标运算

设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则有下表：

文字描述

符号表示

加法

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）

减法

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

a－b＝（x1－x2，y1－y2）

数乘

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

λa＝（λ1x，λ1y）

向量

坐标

公式

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的

坐标减去起点的坐标

已知A（x1，y1），B（x2，y2），uuur

则AB＝（x2－x1，y2－y1）

uuur

思考如何区别a－b的坐标运算与AB的坐标运算？

uuur

提示：

a－b的坐标是对应的坐标相减，AB的坐标为终点坐标减去始点坐标．

第八课时

课程目标

学习脉络

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

2．能用向量的坐标表示判定向量是否共线．证明三点共线.

平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？

提示：

当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．

例如：

向量（1,2）与（－1，－2）反向；向量（1,0）与（3,0）同向；向量（－1,2）与（－3,6）同向；向量（－1,0）与（3,0）反向等．

思考2已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？

提示：

在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当b≠0时，a和b共线

条件的表示方法有以下三种形式：

（1）当b≠0时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．

（2）x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

（3）当x2y2≠0时，x1＝y1，即两个向量的对应坐标成比例．这种形式是较容易记忆的x2y2

向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．

第九课时

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．3．掌握平面向量数量积的性质及运算律．4．会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题.

1．平面向量的数量积

定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），其中θ是a与b的夹角

记法

记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ

规定

零向量与任一向量的数量积为0

投影

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

思考1向量的数量积的运算结果是向量还是实数？

如果是向量，如何确定大小和方向？

如果是实数，如何确定它的符号？

提示：

向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cosθ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.

思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？

提示：

根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cosθ，又a·b＝|a||b|cos

a·ba·ba·b

θ，所以cosθ＝，所以向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝|a|×＝

|a||b||a||b||b|

2．运算律

交换律

a·b＝b·a

结合律

（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）

分配律

（a＋b）·c＝a·c＋b·c

思考3平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？

提示：

数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即（a·b）c不一定等于a（b·c），这是因为（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．

3．向量数量积的性质

设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.

垂直

a⊥b?

a·b＝0

共线

同向

a·b＝|a||b|

a·a＝a2＝|a|2，|a|＝a·a

反向

a·b＝－|a||b|

绝对值

|a·b|≤|a||b|

符号

a·b>0

θ∈0,

2

a·b＝0

θ＝

2

a·b<0

θ∈2,

夹角公式

a·b

cosθ＝

|a||b|

思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？

提示：

不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．

第十课时

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.

平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示

设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则有下表：

坐标表示

数量积

a·b＝x1x2＋y1y2

模

|a|＝x12y12或|a|2＝x12＋y12

uuuur

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则|P1P2|＝

22x1x2y1y2

垂直

a⊥b?

a·b＝0?

x1x2＋y1y2＝0

夹角

a·bx1x2y1y2

cosθ＝＝1212

|a||b|x12y12x22y22

思考1与非零向量a同向的单位向量的坐标如何表示？

y）＝x,y，此为与非零向量a＝（x，y）同向的单位向量的坐标．

2222

xyxy

思考2对任意的向量a与b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？

夹角为0°；同时，a·b＝x1x2＋y1y2＝0，但向量a与b不垂直，而是a∥b.故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a≠0且b≠0.

第十一课时

课程目标

学习脉络

1.会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度问题．

2．掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.

1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，

如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．

2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：

第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．

思考平面几何中常涉及：

①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？

提示：

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0，且b≠0），a与b的夹角为θ.

1求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝x12y12；

2证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：

非零向量a⊥b?

a·b＝0?

x1x2

＋y1y2＝0；

3线段平行或涉及共线问题，常用向量平行（共线）的等价条件：

a∥b（b≠0）?

a＝λb?

x1y2－x2y1＝0；

4求夹角问题，常利用向量的夹角公式：

a·b

cosθ＝＝

|a||b|

x1x2y1y2.

2222x1y1x2y2

特别提醒向量法解决几何问题的两个方向

（1）几何法：

选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．

（2）坐标法：

建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．

第十二课时

1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．特别提醒向量在物理中的应用需注意的问题：

学习向量在物理中的应用要注意两个方面的问题：

一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．

在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：

（1）力、速度、加速度和位移是向量；

（2）力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加减法；

（3）动量mv是数乘向量；

（4）功是力F与所产生的位移s的数量积．