八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版复习过程.docx

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版复习过程八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义 1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球 .2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球 .3内切球的定义： 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 .二、外接球的有关知识与方法1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面

2、截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理） ；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中， 两相交弦的中垂线交点是圆心） .2结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点， 则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之， 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构

3、成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球 .3 终极利器 ： 勾股定理、正定理 及余弦定理 （ 解三角形求线段长度） ；三、内切球的有关知识与方法1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直 . （与直线切圆的结论

4、有一致性） .2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 . （类比：与多边形的内切圆） .3正多面体的内切球和外接球的球心重合 .4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 .5基本方法： （1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（ 2）体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法 ） .四、与台体相关的，此略 .精品文档 五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）C图1-4方法：c2 ，即 2R2 a找三条两两垂直的线段，直接用公式 （2R）2a2 b2 c2 ，求出b2例1A1）已知各顶点都在

5、同一球面上的正四棱柱的高为16 B 20 C 244，D体积为 16 ，则这个球的表面积是（ 32解：V a2h 16，a 2， 4R2 a2 a2 h24 16 24 ， S 24 ，选 C；2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是解：4R2 3 33 9， S 4 R2 9 ；3）在正三棱锥S ABC中， M、N 分别是棱SC、BC 的中点，且 AMMN , 若侧棱 SA 2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是36取 AB,BC 的中点 D,E，连接 AE,CD， AE,CD交于 H，连接 SH则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH 平面 A

6、BC ， SH AB，AC BC ， AD BD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理： BC SA， AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（ 3）-2， AM MN ， SB/ MN ，AM SB， AC SB ， SB 平面 SAC ，SB SA， SB SC ， SB SA， BC SA，SA 平面 SBC ， SA SC，故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，解：引理： 正三棱锥的对棱互相垂直 . 证明如下：如图（ 3）-1 ，（3）题-1（引理）（3）题-2（解答图）(2R)2 (2 3)2 (2 3)2 (2 3)2 36，即 4R2 36， 正

7、三棱锥S ABC 外接球的表面积是 36 精品文档4）在四面体S ABC 中， SA平面 ABC ，BAC 120 ,SAAC 2, AB1, 则该四面体的外接球的表面积为（A.11B.7C.103D.403解：在 ABC 中，BC2AC22AB2 2AB BC2r BCsin BAC273，22(2R)2 (2r)22BC7，ABC 的外接球直径为5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为abbc12abc 24， a 3， b 4， c8，ac6）已知某几何体的三视图如图所示， 何体外接球的体积为解： (2R)2b2 c23，R240

8、，S340 ，选 D36、 4、 3，那么它的外接球的表面积是a,b,c( a,b,c R2 ， (2R)2 a2 b2），则c2 29 ， S 4 R2 29 ，4 R3333843，类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；ABCD ，AD BC ，AC BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，ADBC x ，ABCDy，AC BD z， 列方程组，2ab22cb22c2a2x2y2z2(2R)2222 abcx2补充：2-1 中，VA BCDabc 1abc64

9、1abc .3Dy yyc czyCx图2-1x2 y2 z2第三步：根据墙角模型， 2R a2 b2 c2 x y2 zR22 2 2xyz8x2 y2 z28，求出 R.思考 ：如何求棱长为 a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥 A BCD ，其中 AB CD 5,ACBD 6,ADBC7, 则该三棱锥外接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图2 2 2 2a b c 55 ， 4R55，2-1 ，设长宽高分别为 a,b,c ，2（a b S 5522c2)253649 110 ，2）在三棱锥 A BCD 中，球的表面积为AB29解：如图2-1，b2

10、4，b23）（1） 题图CD 2， AD BC3 ， AC BD4 ，则三棱锥BCD 外接设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c ，则a2 b2 9 ，22c a 16229，4R222(a229，S222b2 c2) 9 4 162229， 2(a2 b2c2) 916 29 ，292 正四面体的各条棱长都为 2 ，则该正面体外接球的体积为解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2R 3， R 23，V3384）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形 （正四面体的截面 ）的面积是 .OA（4）题解答图O2

11、解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1，面积是2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图 3-1 ， 任意三角形）图 3-2 ，图 3-3,直三 棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是第一步：确定球心O的位置， O1是 ABC 的外心，则 OO1平面 ABC ；11 r ， OO1 AA1 1 hAA1 h 也是圆柱的高） ；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (2h)2 r2r2 (2h)2 ，解出 R例 3（ 1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9 且该六棱柱的体积为

12、9 ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为r，则a1，2正六棱柱的底面积为 S 6 3 （1）2423 3 ，V柱 Sh 3 3 h889，83， 4R2 12 ( 3)2 4球的体积为 V球 4 ；球32）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA12 , BAC 120 ，则此球的表面积等于解：BC2 3 ，2r 2 3 4 sin 120r 2，R 5， S 20 ；3）已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EAEB3, AD 2, AEB60 ，的表面积为 解：折叠型，

13、16则多面体 E ABCD 的外接球法一：EAB的外接圆半径为r13 ， OO11， R法二：O1M 3 ， r2 O2D213，R223 1344 ， R 2 ， S表16法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略. 换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)2 (2 3)222 16 ， S表 164）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB4,AC 6,A ,AA1 4 ，则直三棱柱3ABC A1B1C1 的外接球的表面积为1603解：法一：BC216 362428，BC 2 7，2r 2 7 4 7 ，r273，R2r2( AA1)222

14、8 43430， S表1603法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）图4-41如图 4-1 ，平面 PAC心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 锥的顶点 .解题步骤：平面 ABC ，且 AB三棱即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是 ABC的外BCP ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆第一步：确定球心 O的位置，取 ABC 的外心 O1，则 P , O, O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三

15、步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r 2 ，解出 R；事实上， ACP的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理 也可求解出 R.2如图 4-2 ，平面PAC平面 ABC ，且 ABBC（即 AC为小圆的直径） ，且 PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2R）2PA2 2 2 22 (2r)2 2R PA2 (2r)2 ； R2 r 2 OO12Rr 2 OO123如图 4-3 ，平面PAC平面 ABC ，且 ABBC（即 AC 为小圆的直径）OC2 O1C2 O1O2 R2 r 2 O1O2 AC 2 R2 O1O24题设：如图 4-4 ，平面 PAC 平

16、面 ABC，且 AB BC（即 AC为小圆的直径） 第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC 2r ；例 4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 1，底面边长为 2 3 ，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径） ；法二：找球心联合勾股定理，2R 7， S 4 R2 49 ；2）正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为4 V方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2， R 1， V .3（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 三棱锥的体积是（ ）

17、3 SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC 的斜边是球半径，A 3 34B 3 C 33 D43 12解：高 h R1，底面外接圆的半径为 R1，直径为2R2，设底面边长为a，则 2R a 2， a3，S32 3 3a2 ，三棱锥的体积为 V1Sh 3sin6044341的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正4）在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 ，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A B.C. 4D.433解：选 D，由线面角的知识，得ABC 的顶点A,B,C 在以3r 为半径的圆上，在圆锥中求解，2R 1 ；（5

18、）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的求面上 ,ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O的直径,且 SC 2，则此棱锥的体积为（ ）A类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图 5， PA 平面 ABC ，求外接球半径解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接 PD，则 PD必过球心 O ；2题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形， P的射影是 ABC的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 三棱锥 P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的 顶点 .ABC 的外心 O1，则 P , O,

19、O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理： OA2 O1A2O1O2 R2 (h R)2 r 2 ，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理 求大圆直径得球的直径例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为163( )CA 3CD 以上都不对B解：选 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，( 3 R)2 1 R2, R 23, S 4 R216 ；3法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大24圆，于是 2R

20、 ，下略；sin60 3第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （ 如图 6）第一步：先画出如图 6所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心 H1和 H2；第二步：过 H1和H 2分别作平面 BCD和平面 A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE,OC ；第三步：解 OEH 1 ，算出 OH1，在 Rt OCH 1中，勾股定理： OH12 CH12 OC2注：易知 O,H1,E,H2 四点共面且四点共圆，证略例6（1）三棱锥 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC ， PAC和 ABC均为边长为 2的正

21、三角形，则 三棱锥 P ABC 外接球的半径为 .解：如图，易知球心在 BC 的中点处， S表 4 ；（3）在四面体 S ABC中， AB BC， AB BC面体 S ABC 的外接球表面积为 6解：如图，法一： cos SO1 B cos（ OO1O2 ）22 ，二面角 S AC B 的余弦值为 3 ，则四336sinOO1O2 ，cosOO1O21 2 33O1O22213OO1， R2 1， S 4cos OO1O2222法二：延长 BO1到 D使 DO1BO1r1，由余弦定理得4）在边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BADR2 6 ；SB 6 ，SD 2 ，大圆直径为 2R SB

22、6 ；面体 ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 28到弦 BD 的距离（弦心距）为 d1 d2 1，法一：四边形 OO1MO 2的外接圆直径 OM 2，R 7， S 28法二： OO1 3，R 7 ；法三：作出 CBD 的外接圆直径 CE,则 AM CM3，CE 4， ME1， AE7， AC 3 3，cos AEC7 16 272 7 41 ， sin AEC 3 3 ， 2R2 7 2 7ACsin AEC3333272 7，R 7 ；(5)在四棱锥 ABCD 中， BDA 120 ， BDC 150 ，AD BD2，CD 3 ，二面角 A BD C的平面角的大小为 120 ，则此四面

23、体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，（5）题解答图 -1（5） 题解答图 -2C 抽象化AB 2 3 ，r22 ，弦心距 O2MBC 13 ，r113 ，弦心距 O1MO1O2 21， OMO1O2sin 120法一： R2 OD 2MD 2 OM2 29 ，R 29 ，V球116 29 ；3法二： OO22 OM 22O2M 2 25， R222OD 2 r222OO22 29， R 29，V球116 29类型七、两直角三角形拼接在一起 （斜边相同 ,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥） 模型题设：如图 7， APB ACB 90 ，求三棱锥 P ABC

24、 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O，1连接 OP,OC ，则 OA OB OC OP AB ， O为三棱锥 P ABC外接球球心，然后在 OCP中2 求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值 . 例 7（1）在矩形 ABCD 中， AB 4，ABCD的外接球的体积为 125 9 R 5 ，V2 AB 2 ， BC则四面体A12512解：（ 1） 2RAC 5 ，（2）在矩形 ABCD 中， 精品文档BCR33，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B AC D ， ） 125612583，沿 BD 将矩形1253125 ，

25、选 C 6 ABCD折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A BCD精品文档 的外接球的表面积为 解： BD的中点是球心 O， 2R BD 13 ，S 4 R2 13第四讲 多面体的内切球问题类型八、锥体的内切球问题模型1题设：如图 8-1 ，三棱锥 P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求 DH BD ， PO PH r ， PD是侧面 ABP 的高；3第三步：由 POE相似于 PDH ，建立等式： OE PO，解出 r DH PD2题设：如图 8-2 ，四棱锥 P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切

26、球的截面图， P,O,H 三点共线；1第二步：求 FH BC ， PO PH r ， PF 是侧面 PCD 的高； 2OG PO第三步：由 POG相似于 PFH ，建立等式： OG PO ，解出HF PF3题设：三棱锥 P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法： 等体积法 ，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ，建立等式： VP ABC VO ABC VO PABVO PAC VO PBCVP ABC * S ABC31S r 1S r SPAB r SPAC r331S r 1(S SSPBC r

27、 (S ABC S 33PABSPAC S PBC )第三步：解出 r例 8 （ 1）棱长为 a 的正四面体的内切球表面积是解：设正四面体内切球的半径为 r ，将正四面体放入棱长为 a 的中（即补形为正方体），如图，则2a，6正方体B1 VP ABC 3V正方体3a2262又 VP ABC4 1Sr34133a2 r 3a2r ，43A3a2r36 2 ，r2622a内切球的表面积为 S表 4 r2 （注：还有别的方法，此略）62）正四棱锥 S ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 3，则其内切球的半径为解：如图， 正四棱锥 S ABCD 的高 h7 ，正四棱锥 S ABCD 的体积为 VS ABCD侧面斜高 h1 2 2 ，正四棱锥 S ABCD 的表面积为 S表 4 8 2 ，习题：1若三棱锥 S ABC 的三条侧棱两两垂直， 且SA 2，SB SC 4 ，则该三棱锥的外接球半径为 （ ）A. 3 B. 6 C. 36 D.9解：【A】（2R）2 4 16 16 6， R 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】 【共两种】2 三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA 平面 ABC ，底面 ABC 是边长为 3的正三角形， SA