八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版复习过程.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版复习过程
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
一、有关定义1．球的定义：
空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.
2．外接球的定义：
若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
3．内切球的定义：
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个多面体的内切球.
二、外接球的有关知识与方法
1．性质：
性质1：
过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；
性质2：
经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；
性质3：
过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：
圆的垂径定理）；
性质4：
球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；
性质5：
在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：
在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.
2．结论：
结论1：
长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2：
若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论3：
长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：
底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；
结论4：
圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；
结论5：
圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；
结论6：
直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；
结论7：
圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；
结论8：
圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；
结论9：
侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.
3．终极利器：
勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；
三、内切球的有关知识与方法
1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.
2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：
与多边形
的内切圆）.
3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.
4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.
5．基本方法：
（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；
（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.
四、与台体相关的，此略.
精品文档五、八大模型
第一讲柱体背景的模型
类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
C
图1-4
方法：
c2，即2R
2a
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2
a2b2c2，求出
b2
例1
A．
1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B．20C．24
4，
D
体积为16，则这个球的表面积是（
．32
解：
Va2h16，a2，4R2a2a2h2
41624，S24，选C；
2）
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3，则其外接球的表面积是
解：
4R233
39，S4R29；
3）
在正三棱锥
SABC中，M、N分别是棱
SC、BC的中点，且AM
MN,若侧棱SA23,则
正三棱锥S
ABC外接球的表面积是
36
取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH
则H是底面正三角形ABC的中心，
SH平面ABC，SHAB，
ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，
ABSC，同理：
BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2，AMMN，SB//MN，
AMSB，ACSB，SB平面SAC，
SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，
SA平面SBC，SASC，
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
解：
引理：
正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：
如图（3）-1，
（3）题-1（引理）
（3）题-2（解答图）
（2R）2（23）2（23）2（23）236，即4R236，正三棱锥
SABC外接球的表面积是36精品文档
4）在四面体
SABC中，SA
平面ABC，
BAC120,SA
AC2,AB
1,则该四面体的外接
球的表面积为（
A.11
B.7
C.10
3
D.40
3
解：
在ABC中，
BC2
AC2
2
AB22ABBC
2rBC
sinBAC
27
3，
22
（2R）2（2r）2
2
BC
7，
ABC的外接球直径为
5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
解：
由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为
ab
bc
12
abc24，a3，b4，c
8，
ac
6）已知某几何体的三视图如图所示，何体外接球的体积为
解：
（2R）2
b2c2
3，
R2
40
，S
3
40，选D
3
6、4、3，那么它的外接球的表面积是
a,b,c（a,b,cR
2，（2R）2a2b2
），则
c229，S4R229，
4R3
3
33
8
4
3，
类型二、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径
第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
AB
CD，ADBC，ACBD）
第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，
AD
BCx，
AB
CD
y，
ACBDz，列方程组，
2
a
b2
2
c
b2
2
c
2
a
2
x
2
y
2
z
2
（2R）2
222abc
x2
补充：
2-1中，
VABCD
abc1abc
6
41abc.
3
D
yy
y
cc
z
y
C
x
图2-1
x2y2z2
第三步：
根据墙角模型，2Ra2b2c2xy2z
R2
222
xyz
8
x2y2z2
8，
求出R.
思考：
如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？
例2
（1）如下图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,AC
BD6,AD
BC
7,则该三棱锥外接
球的表面积为.
解：
对棱相等，补形为长方体，如图
2222
abc55，4R
55，
2-1，设长宽高分别为a,b,c，2（abS55
22
c2）
25
36
49110，
2）在三棱锥ABCD中，
球的表面积为
AB
29
解：
如图
2-1，
b2
4，
b2
3）
（1）题图
CD2，ADBC
3，ACBD
4，则三棱锥
BCD外接
设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，
设长宽高分别为
a,b,c，
则a
2b29，
22
ca16
229，4R2
2
2（a2
29
，S
2
22
b2c2）9416
22
29，2（a2b2
c2）9
1629，
29
2正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为
解：
正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，
2R3，R23，V
33
8
4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.
O
A
（4）题解答图
O2
解：
如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为
PCO1，面积是
2.
类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、
圆柱的外接球）
题设：
如图3-1，任意三角形）
图3-2，图3-3,
直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是
第一步：
确定球心
O的位置，O1是ABC的外心，则OO1
平面ABC；
11r，OO1AA11h
AA1h也是圆柱的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2O1A2O1O2
R2（2h）2r2
r2（2h）2，解出R
例3
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为
8
解：
设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为
r，
则a
1，
2
正六棱柱的底面积为S63
（1）2
42
33，V柱Sh33h
88
9，
8
3，4R212（3）24
球的体积为V球4；
球3
2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB
AC
AA1
2,BAC120，则此
球的表面积等于
解：
BC
23，2r234sin120
r2，R5，S20；
3）
已知
EAB所在的平面与矩形
ABCD所在的平面互相垂直，
EA
EB
3,AD2,AEB
60，
的表面积为解：
折叠型，
16
则多面体EABCD的外接球
法一：
EAB的外接圆半径为
r1
3，OO1
1，R
法二：
O1M3，r2O2D
2
13，R2
2
313
4
4，R2，S表
16
法三：
补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，
算法可同上，略
.换一种方式，通过算圆柱
的轴截面的对角线长来求球的直径：
（2R）2（23）2
2216，S表16
4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，
AB
4,AC6,A,AA14，则直三棱柱
3
ABCA1B1C1的外接
球的表面积为
160
3
解：
法一：
BC2
1636
24
28，
BC27，2r2747，r
27
3，
R2
r2
（AA1）2
2
284
3
430，S表
160
3
法二：
求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略
第二讲
锥体背景的模型
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）
图4-4
1．如图4-1，平面PAC
心三棱锥PABC的三条侧棱相等锥的顶点.
解题步骤：
平面ABC，且AB
三棱
即AC为小圆的直径）
，且P的射影是ABC的外
BC
PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆
第一步：
确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）
第三步：
勾股定理：
OA2O1A2O1O2
R2（hR）2r2，解出R；
事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.
2．如图4-2，平面
PAC
平面ABC，且AB
BC
（即AC为小圆的直径），且PAAC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2
PA
2222
2（2r）22RPA2（2r）2；
②R2r2OO12
R
r2OO12
3．如图4-3，平面
PAC
平面ABC，且AB
BC
（即AC为小圆的直径）
OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
4．题设：
如图4-4，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：
易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；
例4
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为.解：
法一：
由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：
找球心联合勾股定理，
2R7，S4R249；
2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为
4V
方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
4
2R2，R1，V.
3
（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为三棱锥的体积是（）
3SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
A．33
4
B．3C．
3
3D
4
．3
．12
解：
高hR
1，底面外接圆的半径为R
1，直径为
2R
2，
设底面边长为
a，则2Ra2，a
3，S
3
233
a2，三棱锥的体积为V
1Sh3
sin60
4
4
34
1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正
4）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为（）
A．B.
C.4
D.
4
3
3
解：
选D，由线面角的知识，得
ABC的顶点
A,B,C在以
3
r为半径的圆上，在圆锥中求解，
2
R1；
（5）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
O的求面上,
ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直
径,且SC2，则此棱锥的体积为（）A
类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：
如图5，PA平面ABC，求外接球半径
解题步骤：
第一步：
将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过
球心O；
2．题设：
如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的
三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.
ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）
第三步：
勾股定理：
OA2O1A2
O1O2R2（hR）2r2，解出R
方法二：
小圆直径参与构造大圆，用
正弦定理求大圆直径得球的直径
例5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
16
3
（）C
A．3
C．
D．以上都不对
B．
解：
选C，
法一：
（勾股定理）利用球心的位置求球半径，
球心在圆锥的高线上，
（3R）21R2,R23,S4R2
16；
3
法二：
（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形
PMN的外接圆是大
24
圆，于是2R，下略；
sin603
第三讲二面角背景的模型
类型六、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）
第一步：
先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；
第三步：
解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：
OH12CH12OC2
注：
易知O,H1,E,H2四点共面且四点共圆，证略
例6
（1）三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.
解：
如图，易知球心在BC的中点处，S表4；
（3）在四面体SABC中，ABBC，ABBC
面体SABC的外接球表面积为6
解：
如图，法一：
cosSO1Bcos（OO1O2）
2
2，二面角SACB的余弦值为3，则四
3
3
6
sin
OO1O2，
cos
OO1O2
123
3
O1O2
2
2
1
3
OO1
，R21
，S4
cosOO1O2
2
2
2
法二：
延长BO1到D使DO1
BO1
r1，
由余弦定理得
4）在边长为23的菱形ABCD中，
BAD
R26；
SB6，SD2，大圆直径为2RSB6；
面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为28
到弦BD的距离（弦心距）为d1d21，
法一：
四边形OO1MO2的外接圆直径OM2，R7，S28
法二：
OO13，R7；
法三：
作出CBD的外接圆直径CE,则AMCM
3，
CE4，ME
1，AE
7，AC33，
cosAEC
71627
274
1，sinAEC33，2R
2727
AC
sinAEC
33
33
27
27，R7；
（5）在四棱锥ABCD中，BDA120，BDC150，ADBD
2，CD3，二面角ABDC
的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为
解：
如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，
（5）题解答图-1
（5）题解答图-2
C抽象化
AB23，
r2
2，弦心距O2M
BC13，
r1
13，弦心距O1M
O1O221，OM
O1O2
sin120
法一：
R2OD2
MD2OM
229，
R29，
V球
11629；
；
3
法二：
OO22OM2
2
O2M225
，R2
22
OD2r22
2
OO2229，R29，
V球
11629
类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
）模型
题设：
如图7，APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O，
1
连接OP,OC，则OAOBOCOPAB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中
2求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7
（1）在矩形ABCD中，AB4，
ABCD的外接球的体积为
．125．9R5，V
2AB2，BC
则四面体
A．125
12
解：
（1）2R
AC5，
（2）在矩形ABCD中，精品文档
BC
R3
3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，）
．125
．6
125
8
3，沿BD将矩形
125
3
125，选C6ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD
精品文档的外接球的表面积为．
解：
BD的中点是球心O，2RBD13，S4R213
第四讲多面体的内切球问题
类型八、锥体的内切球问题
模型
1．题设：
如图8-1，三棱锥PABC上正三棱锥，求其内切球的半径第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH，建立等式：
OEPO，解出rDHPD
2．题设：
如图8-2，四棱锥PABC是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：
先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
1
第二步：
求FHBC，POPHr，PF是侧面PCD的高；2
OGPO
第三步：
由POG相似于PFH，建立等式：
OGPO，解出
HFPF
3．题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式：
VPABCVOABCVOPAB
VOPACVOPBC
VPABC*SABC
3
1Sr1SrSPABrSPACr
33
1Sr1（SS
SPBCr（SABCS33
PAB
SPACSPBC）
第三步：
解出r
例8
（1）棱长为a的正四面体的内切球表面积是
解：
设正四面体内切球的半径为r，将正四面体放入棱长为a的
中（即补形为正方体）
，如图，则
2
a，
6
正方体
B
1VPABC3V
正方体
3
a
22
62
又VPABC
41Sr
3
41
3
3a2r3a2r，
43
A
3a2
r
3
62，r
26
2
2a
内切球的表面积为S表4r2（注：
还有别的方法，此略）
6
2）正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为
解：
如图，正四棱锥SABCD的高h
7，正四棱锥SABCD的体积为VSABCD
侧面斜高h122，正四棱锥SABCD的表面积为S表482，
习题：
1．若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解：
【A】（2R）2416166，R3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2．三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA
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