第10讲典型应用题文档格式.docx

1、还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。明年父子年龄差明年爸爸的年龄明年儿子的年龄（今年爸爸的年龄1）（今年儿子的年龄+1） 今年爸爸的年龄1今年儿子的年龄1 今年爸爸的年龄今年儿子的年龄 30（岁） 关键：年龄的倍数关系是变化的。今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁， 311129，不是3倍。（五）植树与方阵问题一、 不封闭型（直线）植树问题（1） 直线两端植树： 棵数=段数+1=全长株距+1；全长=株距（棵数-1）；株距=全长学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两

2、端都种，需要多少棵树？分析：（200050+1）2=82（棵）（2） 直线一端植树： 全长=株距棵数；棵数=全长株距；小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：5=10（棵）。（3） 直线两端都不植树： 棵数=段数-1=全长株距-1；（棵数+1）；学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？ 因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是319

3、57（米）。二、 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数总距离棵距； 总距离棵数 棵距总距离棵数。小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成15006250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：250+250=500（棵）。3 方阵问题在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形

4、，就是所谓的“方阵”。某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？每边人数=四周人数4+1，方阵最外层每边人数：6041=16（人），整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。经典透析【例1】 （）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？审题要点 本题属于和倍问题。关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点向右移一位，原数就扩大10倍。详解过程 小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18（1001）6.18，6.181061.8，即原数是61.8。【例

5、2】 （）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？审题要点 本题属于差倍问题详解过程 为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480502580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580（51）145（人），一共有145（15）870（人）。【例3】 （）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是 。审题要

6、点 和倍、差倍问题的综合运用详解过程 练习本和圆珠笔的差价为2角。而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。所以如果用20+0.4+0.26=21.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.618=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。【例4】 （）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？审题要点 把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。问题就转化为典型的和差同题。详解过程 最小的一个与最大的人年龄之和是：（877）247（岁）。最小的12岁，因此

7、最大的年龄：471235（岁）。【例5】 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁？审题要点 甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。详解过程 为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下： 从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄： 7321（岁），甲现在年龄：428（岁）。【例6】 在学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？审题要点 加长部分、求得是补种几棵树详解过程

8、小路原来的长度：5（211）100（米）， 加长后一侧应种的树的棵数：（10030）5127（棵），应补的棵数：27216（棵）。【例7】 把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问：每条边上白棋子有多少枚？审题要点 每个角上有一枚，求出实际每条边几枚详解过程 一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放505=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是102=20（枚）。【例8】 一个实心正六边形阵，每条边有16人

9、，那么一共有 人；最外面一层有 人；从外向内数第2层每条边有 人，共 人；最外面三层有 人；每条边增加1人，这一层增加 人；原正六边形方阵再增加一层能增加 人；审题要点 找规律详解过程 从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；第三层每边3人，共12人；第四层每边4人，共18人；第十四层每边14人，共78人；第十五层每边15人，共84人；第十六层每边16人，共90人。原实心正方形阵共有1+6+12+90=721人。从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）6=84人。最外面三层有90+84+78=252人。每条边增加1人，这一层增加6人。原六边形方阵再增加一层能增加

10、（17-1）6=96人。三、 拓展训练1. 姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？初级点拨 本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。深度提示 根据条件，做英语的时间大于算术的时间。全解过程 因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48426（分钟）。画线段图：（446）219（分钟） 算术（446）225（分钟） 英语妹做英语用25分钟。2. 某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，

11、当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？初级点拨 如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：200-10+6=196（棵）。深度提示 柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。全解过程 为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：树的总数就是：200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：195（2+1+1）=1964=49（棵），所以计划种杨树：492=98（棵），柳树：49+10=59（棵），槐树：49-6=43（棵）。3.

12、今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？初级点拨 今年爷爷与三个孙子的年龄差深度提示 每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁全解过程 三个孙子年龄的和为27231666（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多786612（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加312（岁）。因而，经过1226（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。4. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。初级点拨 年龄差不变深度提示 每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差全解过程 根据题意画出

13、示意图：因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）3=15（岁），乙现在的岁数是：15+5=20（岁），甲现在的岁数是：20+15=35（岁）6.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？初级点拨 不封闭型植树问题深度提示 “两端都种树”，间隔数=棵树-1全解过程 大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了1532+110111（层）。7.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽

14、为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？初级点拨 分解图形深度提示 每个拐角都栽树全解过程 整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。所以一共需要栽树（110410）4+（25010）=276棵树。8.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？深度提示 相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长全解过程 相当于植树问题中已知树的棵数，树间

15、的距离，求树列的全长相当。注意段数比树的株数少1。所以， （1）每队的人数是： 60000252400（人） （2）每队可以分成的排数是： 240012200（排） （3）200排的全长米数是： 1（200-1）199（米） （4）25个队的全长米数是： 199254975（米） （5）25个队之间的距离总米数是：4（25-1）96（米） （6）游行队伍的全长是： 4975965071（米）第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？几匹布

16、？（一） 鸡兔同笼问题1 假设全是鸡鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？假设全是鸡，则有246=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有362=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。2 假设全是兔假设全是兔，则有446=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有562=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。3 “砍足法” 鸡兔同笼，头共46，足共1

17、28，鸡兔各几只？假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即644618（只），则鸡的只数就是461828（只）。（二） 盈亏问题盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏” 。1.“盈亏”型学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学

18、分多少粒糖果？为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有151=15（人），共有154+9=69（粒）。2.“盈盈”型明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学？蛋糕的价钱是多少？为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础

19、上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有41=4（人），蛋糕价钱是84824（元）。3.“亏亏”型学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有71=7（人），书有710961（本）。（三） 平均数问题（1）平均数=总数参与平均的事物个数平均数增量=总数增量平均数减量=总数减量（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数

20、一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、 经典透析【例1】 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？审题要点 鸡兔同笼问题，假设法详解过程 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算211（个）桶，所以有201=20（人）在挑水，抬水的扁担数是382018（根），抬水的人数是18236人。专家点评： 可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题： 左图假设全是抬水： （5

21、8-381）（2-1）=20（根） 20（人）挑水 （38 -20）2=36（人） 36（人）抬水右图假设全是挑水： （382-58）（2-1）=18（根） 182=36（人）抬水 38-18=20（根） 20（人）挑水【例】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？审题要点 鸡兔同笼问题的变形题详解过程 每个三口之家可以少花30+40+40-323

22、=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花148=112元，所以这8个家庭中有（120-112）（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有42+（8-4）3=20人。 这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？跟单位少花情况有关，这里的单位：可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。 一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解； 另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下： 8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。 所以应该总共少花 16

23、8=128（元） 而实际少花相差 128-120=8（元） 是因为每个小孩多花了32-30=2（元） 所以，82=4（人） 小孩人数 16+4=20（人）旅游团一共人数 还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法反证法中，假设法会又一次充当主角。【例】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？审题要点 经典鸡兔同笼问题，用两次假设法详解过程 因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个

24、共同点都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：一种是6条腿，一种是8条腿。假设全是6条腿的，共有腿616=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛142=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；我们再来看翅膀： 假设这9只全是蜻蜓，则应该有92=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉41=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。 如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程： 设：蜘蛛有只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得： （1）6：（2）-（4）：2=1

25、4=7代入（1）式：y+z=9（5）（3）-（5）：y=5。代入（5）式：z=4。很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。请参见本书第十九讲方程。【例】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？审题要点 盈亏问题详解过程 为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人多分了1个，所以有81=8（人），苹果810+8=88（个）。请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者

26、有着异曲同工之妙。【例】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程 根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差503=150（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走602=120（米），第一次与第二次相差150+120270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50（27+3）=5030=1500（米）。两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从

27、而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的！【例】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？详解过程 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。人数： 3（64）2（65）7（人），盆数：7338（盆）或67438（盆）。 转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还”，“还”字后面的下文怎么接？接上了，转化成功！ 记住：转化的关键在于我需要什么样的条件！ 现有条件能否转化为我要的条件？【例】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？审题要点 平均数问题详解过程 设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：所以专家点评 实际上，本题的情境可