第10讲典型应用题文档格式.docx

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还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。

明年父子年龄差＝明年爸爸的年龄－明年儿子的年龄

＝（今年爸爸的年龄＋1）－（今年儿子的年龄+1）

＝今年爸爸的年龄＋1－今年儿子的年龄－1

＝今年爸爸的年龄－今年儿子的年龄

＝30（岁）

关键②：

年龄的倍数关系是变化的。

今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？

不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁，31÷

11＝2…9，不是3倍。

（五）植树与方阵问题

一、不封闭型（直线）植树问题

（1）直线两端植树：

棵数=段数+1=全长÷

株距+1；

全长=株距×

（棵数-1）；

株距=全长÷

学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？

分析：

（2000÷

50+1）×

2=82（棵）

（2）直线一端植树：

全长=株距×

棵数；

棵数=全长÷

株距；

小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？

门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：

5=10（棵）。

（3）直线两端都不植树：

棵数=段数-1=全长÷

株距-1；

（棵数+1）；

学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？

因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是3×

19＝57（米）。

二、封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数＝总距离÷

棵距；

总距离＝棵数×

棵距＝总距离÷

棵数。

小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：

果园周围共栽种果树多少棵？

果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成1500÷

6＝250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；

每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：

250+250=500（棵）。

3．方阵问题

在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。

某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。

问方阵外层每边有多少人？

这个方阵共有五年级学生多少人？

每边人数=四周人数÷

4+1，

方阵最外层每边人数：

60÷

4＋1=16（人），

整个方阵共有学生人数：

16×

16=256（人）。

经典透析

【例1】（☆☆☆）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？

[审题要点]本题属于和倍问题。

关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；

小数点向右移一位，原数就扩大10倍。

[详解过程]小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷

（100＋1）＝6.18，6.18×

10＝61.8，即原数是61.8。

【例2】（☆☆☆）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？

[审题要点]本题属于差倍问题

[详解过程]为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：

把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480＋50×

2＝580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580÷

（5－1）＝145（人），一共有145×

（1＋5）＝870（人）。

【例3】（☆☆☆）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；

若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是。

[审题要点]和倍、差倍问题的综合运用

[详解过程]练习本和圆珠笔的差价为2角。

而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。

所以如果用20+0.4+0.2×

6=21.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.6÷

18=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。

【例4】（☆☆☆）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？

[审题要点]把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。

问题就转化为典型的和差同题。

[详解过程]最小的一个与最大的人年龄之和是：

（87＋7）÷

2＝47（岁）。

最小的12岁，因此最大的年龄：

47－12＝35（岁）。

【例5】甲对乙说：

“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。

”乙对甲说：

“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。

”问：

甲、乙二人现在各多少岁？

[审题要点]甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。

[详解过程]为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下：

从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄：

7×

3＝21（岁），甲现在年龄：

4＝28（岁）。

【例6】在学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？

后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？

[审题要点]加长部分、求得是补种几棵树

[详解过程]小路原来的长度：

5×

（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：

（100＋30）÷

5＋1＝27（棵），应补的棵数：

27－21＝6（棵）。

【例7】把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。

然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。

问：

每条边上白棋子有多少枚？

[审题要点]每个角上有一枚，求出实际每条边几枚

[详解过程]一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷

5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。

11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×

2=20（枚）。

【例8】

一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有人；

最外面一层有人；

从外向内数第2层每条边有人，共人；

最外面三层有人；

每条边增加1人，这一层增加人；

原正六边形方阵再增加一层能增加人；

[审题要点]找规律

[详解过程]从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；

第三层每边3人，共12人；

第四层每边4人，共18人；

…；

第十四层每边14人，共78人；

第十五层每边15人，共84人；

第十六层每边16人，共90人。

原实心正方形阵共有1+6+12+…+90=721人。

从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）×

6=84人。

最外面三层有90+84+78=252人。

每条边增加1人，这一层增加6人。

原六边形方阵再增加一层能增加（17-1）×

6=96人。

三、拓展训练

1.姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？

[初级点拨]本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。

[深度提示]根据条件，做英语的时间大于算术的时间。

[全解过程]因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48－42＝6（分钟）。

画线段图：

（44－6）÷

2＝19（分钟）算术

（44＋6）÷

2＝25（分钟）英语

妹做英语用25分钟。

2.某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？

[初级点拨]如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：

200-10+6=196（棵）。

[深度提示]柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。

[全解过程]为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：

树的总数就是：

200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：

195÷

（2+1+1）=196÷

4=49（棵），所以计划种杨树：

49×

2=98（棵），柳树：

49+10=59（棵），槐树：

49-6=43（棵）。

3.今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？

[初级点拨]今年爷爷与三个孙子的年龄差

[深度提示]每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁

[全解过程]三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）。

因而，经过12÷

2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。

4.甲对乙说：

“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。

“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。

[初级点拨]年龄差不变

[深度提示]每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差

[全解过程]根据题意画出示意图：

因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）÷

3=15（岁），乙现在的岁数是：

15+5=20（岁），甲现在的岁数是：

20+15=35（岁）

6.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？

[初级点拨]不封闭型植树问题

[深度提示]“两端都种树”，间隔数=棵树-1

[全解过程]大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了15÷

3×

2+1＝10＋1＝11（层）。

7.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？

[初级点拨]分解图形

[深度提示]每个拐角都栽树

[全解过程]整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。

所以一共需要栽树（110×

4÷

10）×

4+（250×

10）=276棵树。

8.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。

排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？

[深度提示]相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长

[全解过程]相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当。

注意段数比树的株数少1。

所以，

（1）每队的人数是：

　　60000÷

25＝2400（人）

（2）每队可以分成的排数是：

　　2400÷

12＝200（排）

　　（3）200排的全长米数是：

　　1×

（200-1）＝199（米）

　　（4）25个队的全长米数是：

　　199×

25＝4975（米）

　　（5）25个队之间的距离总米数是：

4×

（25-1）＝96（米）

　　（6）游行队伍的全长是：

　　4975＋96＝5071（米）

第11讲典型应用题

（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题

公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：

一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。

若每人分6匹，多5匹；

每人分7匹，少8匹，问几个强盗？

几匹布？

（一）鸡兔同笼问题

1．假设全是鸡

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

假设全是鸡，则有2×

46=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？

因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36÷

2=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。

2．假设全是兔

假设全是兔，则有4×

46=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？

因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56÷

2=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。

3．“砍足法”

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即64－46＝18（只），则鸡的只数就是46－18＝28（只）。

（二）盈亏问题

盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。

盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：

“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。

1.“盈亏”型

学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：

有多少位同学分多少粒糖果？

为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？

因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷

1=15（人），共有15×

4+9=69（粒）。

2.“盈盈”型

明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；

每人出7元，就多出了4元。

那么有多少个同学？

蛋糕的价钱是多少？

为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷

1=4（人），蛋糕价钱是8×

4－8＝24（元）。

3.“亏亏”型

学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？

多少本书？

为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？

因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷

1=7（人），书有7×

10－9＝61（本）。

（三）平均数问题

（1）平均数=总数÷

参与平均的事物个数

平均数增量=总数增量÷

平均数减量=总数减量÷

（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”

几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大

三、经典透析

【例1】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？

多少个挑水？

[审题要点]鸡兔同笼问题，假设法

[详解过程]假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？

因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷

1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×

2＝36人。

专家点评：

可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：

左图假设全是抬水：

（58-38×

1）÷

（2-1）=20（根）……20（人）挑水

（38-20）×

2=36（人）……36（人）抬水

右图假设全是挑水：

（38×

2-58）÷

（2-1）=18（根）……18×

2=36（人）抬水

38-18=20（根）……20（人）挑水

【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

[审题要点]鸡兔同笼问题的变形题

[详解过程]每个三口之家可以少花30+40+40-32×

3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×

8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷

（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×

2+（8-4）×

3=20人。

这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？

跟单位少花情况有关，这里的单位：

可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。

一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；

另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：

8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。

所以应该总共少花16×

8=128（元）

而实际少花相差128-120=8（元）

是因为每个小孩多花了32-30=2（元）

所以，8÷

2=4（人）……小孩人数

16+4=20（人）……旅游团一共人数

还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。

【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？

[审题要点]经典鸡兔同笼问题，用两次假设法

[详解过程]因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。

我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：

一种是6条腿，一种是8条腿。

假设全是6条腿的，共有腿6×

16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？

因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷

2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；

我们再来看翅膀：

假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×

2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷

1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。

如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：

设：

蜘蛛有

只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：

（1）×

6：

（2）-（4）：

2

=14

=7

代入

（1）式：

y+z=9…（5）

（3）-（5）：

y=5。

代入（5）式：

z=4。

很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。

对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。

请参见本书第十九讲《方程》。

【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？

多少个苹果？

[审题要点]盈亏问题

[详解过程]为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？

因为第二次每人多分了1个，所以有8÷

1=8（人），苹果8×

10+8=88（个）。

请注意体会差量分析的应用。

这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。

【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；

如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？

[审题要点]需要转化条件的盈亏问题

[详解过程]根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×

3=150（米）到校；

如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×

2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷

（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×

（27+3）=50×

30=1500（米）。

两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。

从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。

数学是好玩的！

【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。

如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；

如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。

问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？

[详解过程]我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。

人数：

[3＋（6－4）×

2]÷

（6－5）＝7（人），盆数：

7＋3＝38（盆）或6×

7－4＝38（盆）。

转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：

“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？

答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；

每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？

接上了，转化成功！

记住：

转化的关键在于我需要什么样的条件！

现有条件能否转化为我要的条件？

【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：

36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？

[审题要点]平均数问题

[详解过程]设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：

所以

[专家点评]实际上，本题的情境可