机器人导论第一次作业.docx

1、1、习题 1：已知矢量 u 和坐标系 F，u 为由 F 描述的一点。vvv0-101001020u = 3i + 2 j + 2k ,F = 00011 100(1) 确定表示同一点但由基坐标系描述的 v。(2) 首先让 F 绕基坐标系的 y 轴旋转 90，然后沿基坐标系的 x 轴平移 20。求变换所得的新坐标系 F。(3) 确定表示同一点但由坐标系 F描述的矢量 u。(4) 作图表示 u, v, u, F 和 F之间的关系。30-1010 2 ：因为u = 21 10020其所在连体坐标系为 F = 00110001 因此，由左边变换可0-1010 3 8 10020 223得：v = Fu

2、 = = 0011 2 3 000111 ：由于 F 是基于基坐标系的变换，由“右乘联体左乘基”可得：F = trans(20, 0, 0)R (Y , 90)F10020 0010 0-1010 0100 0100 10020= 0010 -1000 0011 0001 00012110020= 0011 0001 001 0001 ：根据左边变换公式 v = Fu = F u 得：u = F -1v因此：0-1010 8 3 10020 23 13 u = = 0011 3 -130001 1 1 ：zAzFyF (zF)yAxAPxFxFyF2、已知其次变换矩阵 01 00H = -10

3、00000-10010要求 Rot(f, q)=H, 确定 f 和 q 的值。已知齐次变换矩阵 0100 00-10Rot( f ,q) = ，-1000 0001可知：n + o + a = ( f 2 + f 2 + f 2 )versq+ 3cqxyzxyz= 1+ 2cq= 01得cq= -，因此 sq= 23 。由于0 q 180o 得：q= 120o ， sq=322333 f = (o - a )= xzy3 3 33 fx 3由 f = f y ，且 f y = (ax - nz )=， 得 f = 33 f 33 z 3 fx = (ny - ox )= -3- 3 3、矢量

4、 Q 绕矢量 f 旋转 q 角，产生新的矢量 Q ，即 Q = Rot(f, q) Q。求证：Q = Qcq+ sq( f Q) + (1- cq)Q - ( f Q) f 根据通用旋转变换的齐次变换阵，经过化简可得：(1- cq)( fx fxQx + fx f yQy + fx fzQz ) + cqQx + sq( f yQz - fzQy ) (1- cq)( f f Q + f f Q + f f Q ) + cqQ + sq( f Q - f Q )Rot( f ,q)Q = x y xy y yy z zyz xx z (1- cq)( fx fzQx + fz f yQy +

5、fz fzQz ) + cqQz + sq( fxQy - f yQx ) 1Q = Qcq+ sq( f Q) + (1- cq)Q - ( f Q) f cqQx + sq( f yQz - fzQy ) + (1- cq)(Qx - f y f yQx - fz fzQx + fx f yQy + fx fzQz )cqQ + sq( f Q - f Q ) + (1- cq)(Q - f f Q - f f Q + f f Q + f f Q )= yz xx zyx x yz z yx y xy z z cqQz + sq( fxQy - f yQx ) + (1- cq)(Qz - f y f yQz - fx fxQz + fx fzQx + fz f yQy )1xyz由( f 2 + f 2 + f 2 ) = 1 可得：Qx - f y f yQx - fz fzQx + fx f yQy + fx fzQz= Qx (1- f y f y - fz fz ) + fx f yQy + fx fzQz= fx fxQx + fx f yQy + fx fzQz即(Rot( f ,q)Q)1 = Q1 ，同理(Rot( f ,q)Q)2 = Q2 ， (Rot( f ,q)Q)3 = Q3。 由上述证明可得 Rot( f ,q)Q = Q