柯西不等式及应用.docx

1、柯西不等式及应用 柯西不等式及应用 武胜中学高2009级培优讲座 - 2 - 柯西不等式及应用 武胜中学 周迎新 柯西不等式：设a1,a2,an,b1,b2bn均是实数，则有（a1b1+a2b2+anbn）2（a12+a22+an2）（b12+b22+bn2）等号当且仅当ai=bi(为常数，i=1,2.3,n)时取到。 注：二维柯西不等式： （一）、柯西不等式的证明 柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？ 证法一：判别式法： 令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+（anx+bn）2=(a12+a22+an2)x2+2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+bn2)

2、f(x)0 0 即 （a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+an2)(b12b22+bn2) 等号仅当 ai=bi时取到。 证法二： 武胜中学高2009级培优讲座 - 3 - （二）、柯西不等式的应用 柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。 使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。 1 证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等， （1

3、）巧拆常数： 武胜中学高2009级培优讲座 - 4 - 例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba?9222 分析a、b、c均为正为证结论正确只需证：9111)(2?accbbacba 而)()()()(2accbbadba? 又2)111(9? （2）重新安排某些项的次序： 例2：a、b为非负数，a+b=1，?Rxx21,求证：212121)(xxaxbxbxax? 分析：不等号左边为两个二项式积，?RxxRba21,，每个两项式可以使柯西 不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 武胜中学高2009级培优讲座 - 5 - （3

4、）改变结构： 例3、若abc 求证：cacbba?411 分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了 )()(cbbaca? ca? 0?ca 结论改为4)11)(?cbbaca （4）添项： 例4：?Rcba,求证：23?bacacbcba 武胜中学高2009级培优讲座 - 6 - 分析：左端变 形111?bacacbcb a)111)(baaccbcba? 只需证此式29?即可 2 求最值 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。 例5 已知a、b、cR+且a+b+c=1 ，求141414?cba的最大值。 武胜中学高2009级培优讲座 - 7 -

5、例6 求)cos11)(sin11(aay? 的最小值)20(?a。 3、 在几何上的应用 例7、三角形三边a、b、c对应的高为ha、hb、hc、r为此三角形内切圆半径。若ha、+hb+hc=9r，试判断此三角形的形状。 武胜中学高2009级培优讲座 - 8 - 例8、 ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 222222236)sin1sin1sin1)(RCBAcba? 证明：由三角形中的正弦定理得 RaA2sin?， 所以2224sin1aRA?， 同理2224sin1bRB? ，2224sin1cRC? 于是左边 = 2222222222236)222()444)(RcR

6、abRaaRacRbRaRcba?。 故原不等式获证。 以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。 练习： 1.已知a1,a2,a3,an，b1,b2,bn 为正数，求证： 2设,21?Rxxxn?求证：nnnxxxxxxxxxxx?21123221 武胜中学高2009级培优讲座 - 9 - （1984年全国高中数学联赛题） 3.已知实数,abc,d满足3abcd?， 22222365abcd?试求a的最值 4.设a、b、c0且acos2+bsin2c ，求证cba?2

7、2sincos。 5.设p是ABC内的一点，,xyz是p到三边,abc的距离，R是ABC外接圆的半径， 柯西不等式 一.公式基本结构 设ai、biR，（i1，2，3，n） （a1b1+a2b2+a3b3+anbn）2（a12+ a22+a32 +an2）(b12 +b22+b32+bn2) 当且仅当bikai（i1，2，n）时，k武胜中学高2009级培优讲座 - 10 - 为常数 时等号成立 二阶形式（a1b1+a2b2）2（a12+ a22）(b12 +b22) 三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32) 二证明 先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明） 构造f(x) =（a12+ a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12 +b22+b32) =(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)20 =4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32) 对于任意的xR等式恒成立, 0，当且仅当 时，取“=”