柯西不等式及应用.docx
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柯西不等式及应用
柯西不等式及应用
武胜中学高2009级培优讲座
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柯西不等式及应用
武胜中学周迎新
柯西不等式：
设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…an2）（b12+b22+…bn2）等号当且仅当ai=λbi（λ为常数，i=1,2.3,…n）时取到。
注：
二维柯西不等式：
（一）、柯西不等式的证明
柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？
证法一：
判别式法：
令f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）
∵f（x）≥0∴△≤0即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12＋b22+…+bn2）等号仅当ai=λbi时取到。
证法二：
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（二）、柯西不等式的应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
1．证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。
如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，
（1）巧拆常数：
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例1：
设a、b、c为正数且各不相等。
求证：
cbaaccbba?
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9222
分析∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：
9]111）[（2?
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accbbacba
而）（）（）（）（2accbbadba?
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又2）111（9?
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（2）重新安排某些项的次序：
例2：
a、b为非负数，a+b=1，?
?
Rxx21,求证：
212121））（（xxaxbxbxax?
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?
分析：
不等号左边为两个二项式积，?
?
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RxxRba21,,,，每个两项式可以使柯西
不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
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（3）改变结构：
例3、若a>b>c求证：
cacbba?
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411
分析：
初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了
）（）（cbbaca?
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ca?
∴0?
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ca
∴结论改为4）11）（（?
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cbbaca
（4）添项：
例4：
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Rcba,,求证：
23?
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bacacbcba
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分析：
左端变
形111?
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bacacbcb
a）111）（（baaccbcba?
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∴只需证此式29?
即可
2．求最值
利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。
例5已知a、b、c∈R+且a+b+c=1
，求141414?
?
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?
cba的最大值。
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例6
求）cos11）（sin11（aay?
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的最小值）20（?
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a。
3、在几何上的应用
例7、三角形三边a、b、c对应的高为ha、、hb、hc、r为此三角形内切圆半径。
若ha、+hb+hc=9r，试判断此三角形的形状。
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例8、△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
222222236）sin1sin1sin1）（（RCBAcba?
?
?
?
?
证明：
由三角形中的正弦定理得
RaA2sin?
，
所以2224sin1aRA?
，
同理2224sin1bRB?
，2224sin1cRC?
于是左边
=
2222222222236）222（）444）（（RcRabRaaRacRbRaRcba?
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。
故原不等式获证。
以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。
练习：
1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn
为正数，求证：
2设,,,,21?
?
Rxxxn?
求证：
nnnxxxxxxxxxxx?
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21123221
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（1984年全国高中数学联赛题）
3.已知实数,,abc,d满足3abcd?
?
?
?
，22222365abcd?
?
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?
试求a的最值
4.设a、b、c>0且acos2θ+bsin2θ，求证cba?
?
?
?
22sincos。
5.设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，
柯西不等式
一.公式基本结构
设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦（a12+a22+a32+…+an2）（b12+b22+b32+…+bn2）
当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k
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为常数时等号成立
二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+a22）（b12+b22）
三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）
二．证明
先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）
构造f（x）=（a12+a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+（b12+b22+b32）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+（a3x+b3）2≥0
△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）
对于任意的x∈R等式恒成立,∴△≤0，∴当且仅当时，取“=”
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