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1、离散课后知识题目解析4第十章部分课后习题参考答案4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合 Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭（3） 全体 n n 实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中 n2。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体 n n 实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中 n2。不封闭（5）正实数集合 和 算，其中 运算定义为：不封闭 因为1 1 1 1 1 1 1 R（6） n于普通的加法和乘法运算。

2、封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是 0，无零元；n乘法无单位元（ 1），零元是 0； 1单位元是 1nn（7）A = a1 , a2 , a n 算定义如下：封闭 不满足交换律，满足结合律，关（8）S = 于普通的加法和乘法运算。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = 0,1,S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题17设 * 为 Z 上的二元运算

3、,+xy Z ，X * Y = min ( x，y ),即 x 和 y 之中较小的数.(1)求 4 *6，7 *3。4,3(2)* 在 Z 上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及Z 中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元 1, 所有元素无逆元8 S Q Q为有理数集，*为 S 上的二元运算， a,b, S 有Q* = （1）*运算在 S 上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：*= *可结合：(*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求 S 中所有可逆元素的逆元。 设是单

4、位元，S ，*= *=则=，解的=，即为单位。设是零元，S ，*= *=则=，无解。即无零元。S，设是它的逆元*= *=a=1/x,b=-y/x所以当 x 0 时， ,x1 y1 , y x x10令 S=a，b，S 上有四个运算：*， 别有表 10.8 确定。2(a) (b) (c) (d)(1)这 4 个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为 a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为 a,没有零元a a, b b (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律(a b b) a a b,(a b b) (a b) b(

5、a b) b a b a没有单位元, 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设 V= N，+ ，其中 + ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成 V 的子代数，为什么？（1）S1= 是（2）S2= 不是 加法不封闭（3）S3 = -1，0，1 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案为8.设 S=0，1，2，3， 模 4 乘法，即 x,yS, xy=(xy)mod 4问S， 是否构成群？为什么？解：(1) x,yS, x =(xy)mod 4 S , 是 S 上的代数运算

6、。(2) x,y,zS,设 xy=4k+r0 r 3y(x )z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 43(3)同理 x yz) =(xyz)mod 4(所以，(x )z = x yz)，结合律成立。 xS, (x 1)=(1 )=x,，所以 1 是单位元。(4)11 1,31 3,0 和 2 没有逆元所以，S， 不构成群9.设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。如下： x,yZ,xoy= x+y-2问 Z 关于 o 运算能否构成群？为什么？解：(1) x,yZ, xoy= x+y-2Z,o 是

7、Z 上的代数运算。(2) x,y,zZ,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。(3)设 e 是单位元， xZ, xo e =ox=x,即 x+ -2=e e+x-2=x, e=2e(4) xZ , 设 x 的逆元是 y, xoy= yox= e , 即 x+y-2=y+x-2=2,所以，1 xy 4 x所以Z，o构成群 10 10 10 10 111.设 G= , , , ，证明 G 关于矩阵乘法构成一个群 0 0 1 01 0 1解：(1) x,yG, 易知 xyG,乘法是 Z 上的代数运算。(2)

8、矩阵乘法满足结合律(3)设 1 00 是单位元，1 (4)每个矩阵的逆元都是自己。所以 G 关于矩阵乘法构成一个群14.设 G 为群，且存在 aG,使得 G=akkZ证明：G 是交换群。4证明: x,yG，设 x a k ,y a l ，则xy a k a l k la al k a l a k yx所以，G 是交换群17.设 G 为群，证明 e 为 G 中唯一的幂等元。证明:设e0 G也是幂等元，则 2e0 ，即 2 ，由消去律知 e0 e0 e0 e e0 e18.设 G 为群，a,b,cG,证明abc=bca=cab证明：先证设 (abc) k e (bca) k ee设 (abc) k

9、 , 则 (abc)(abc)(abc)(abc) e ，即 ( )( ( 1 a bcabca) bca)(bca)a e左边同乘1 ，右边同乘 得a aaaabc( )( )(bc bc bc)( a) (bac) k 1eaea ee反过来，设 (bac) k , 则 (abc) k .由元素阶的定义知，abc=bca，同理bca=cab19.证明：偶数阶群 G 必含 2 阶元。证明：设群 G 不含 2 阶元， a G ，当 e 时， a 是一阶元，当 a e 时， a 至少是 3阶元,因为群 G 时有限阶的，所以 是有限阶的，设 是 k 阶的,则aa a1 也是 k 阶的，所以a高于

10、3 阶的元成对出现的，G 不含 2 阶元，G 含唯一的 1 阶元 ,这与群 G 是偶数阶的矛e盾。所以，偶数阶群 G 必含 2 阶元20.设 G 为非 Abel 群，证明 G 中存在非单位元 a 和 b,ab,且 ab=ba. 证明：先证明 G 含至少含 3 阶元。若 G 只含 1 阶元,则 G=e,G 为 Abel 群矛盾；若 G 除了 1 阶元 e 外,其余元 均为 2 阶元，则 2 a a， 1 2e a a , , 1 , 1 , () 1 , 所以 11 1 ，a b G aa b b ab abab a b(ba) ba与 G 为 Abel 群矛盾；a2所以，G 含至少含一个 3

11、阶元，设为 a ，则 a，且 2aa aa 。5令 2 的证。b a21.设 G 是 Mn(R)上的加法群，n2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群（3）全体行列式大于等于 0 的矩阵. 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。 是子群122.设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N（a）表示 G 中与 a 可交换的元素构成 的集合，即N（a）=xxGxa=axe证明 N（a）构成 G 的子群。 证明：ea=ae, N (a) , ( ), 则 ,x y N aax xa ay yaa( xy) (ax) y ( xa) y x(ay)

12、x( ya) (xy)a,所以 ( )N axy由 ax xa ，得1 1x axx 1xxax1 ,1=x ae eax1 ，即1 1 ，所以x a axx N (a)所以 N（a）构成 G 的子群31.设 1 是群 G1 到 G2 的同态， 2 是 G2 到 G3 的同态，证明 1 2 是 G1 到 G3 的同态。证明：有已知 1 是 G1 到 G2 的函数， 2 是 G2 到 G3 的函数，则 1 2 是 G1 到 G3 的函数 。 ( 1 2 )(ab) 2 (1 (ab) 2 (1 (a)1 ( )2 ( ( 2b1 (a)( 1 (b) (1 2 )(a)( 1 2 )( )所以:

13、 1 2 是 G1 到 G3 的同态。 33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。x证明：设 G 是循环群,令 G=, ,xy G,令 a k , y a l ,那么xy a k a l k la l ka a l a k yx,G 是阿贝尔群 , a,b, eabceeabcaaecbbbceaccbae克莱因四元群, G e c是交换群,但不是循环群,因为 e 是一阶元，a,b,c 是二阶元。636.设 , 是 5 元置换，且 12 3 4 5 1 23 4 5 2 1 ， 4 5 3 3 4 5 1 2(1)计算 , ,1 , 1 , 1 ； (2)将 , 1 , 1 表成不交的轮换之积。(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1) 1 42 3 4 55 3 2 1 1 42 3 43 1 25 1 1 5 42 3 4 55 1 2 31 1 22 3 4 5 1 5 3 4 1 15 2 3 4 5 4 1 3 2 (2) (1425)1 (14253) 1 (143)(25) (3) (14)(12)(15)奇置换，1 (14)(12)(15)(13) 1 (14)(13)(25) 偶置换奇置换7