离散课后知识题目解析4.docx

资源描述

离散课后知识题目解析4.docx

《离散课后知识题目解析4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散课后知识题目解析4.docx（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

离散课后知识题目解析4.docx

离散课后知识题目解析4

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：

（1）整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元

（2）非零整数集合

普通的除法运算。

不封闭

（3）全体nn实矩阵集合

（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n

2。

封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n

2。

不封闭

（5）正实数集合和算，其中运算定义为：

不封闭因为

1�111−1−1−1∉

（6）n

于普通的加法和乘法运算。

封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律

加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元

（1），零元是0；1单位元是1

（7）A={a1,a2,⋯,a}

n算定义如下：

封闭不满足交换律，满足结合律，

关

（8）S=

于普通的加法和乘法运算。

封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律

（9）S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律

（10）S=

S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。

见上题

7．设*为Z

上的二元运算∀,

y∈Z，

X*Y=min（x，y）,即x和y之中较小的数.

（1）求4*

6，7*

3。

（2）*在Z

上是否适合交换律，结合律，和幂等律？

满足交换律，结合律，和幂等律

（3）求*运算的单位元，零元及

中所有可逆元素的逆元。

单位元无，零元1,所有元素无逆元

8．S

为有理数集，*为S上的二元运算，a,b>,S有

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？

是否为幂等的？

不可交换：

*=≠*

可结合：

（*）*=*=

*（*）=*=

（*）*=*（*）

不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？

如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。

设是单位元，

S，*=*=

则==，解的=<1,0>，即为单位。

设是零元，

S，*=*=

则==，无解。

即无零元。

S，设是它的逆元*=*=<1,0>

==<1,0>

a=1/x,b=-y/x

所以当x≠0时，,

−1

1,−yxx

10．令S={a，b}，S上有四个运算：

*，别有表10.8确定。

（a）（b）（c）（d）

（1）这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？

（a）交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；

（b）满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

aa,bb

（c）满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

（

a�b�b）a�ab,

（

a�b�b）≠（a�b）�b

（a�b）�ba�ba

没有单位元,没有零元

（d）不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元

（2）求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。

见上

16．设V=〈N，+，

〉，其中+，

分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合

确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=

是

（2）S2=

不是加法不封闭

（3）S3={-1，0，1}不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

为

8.设S={0，1，2，3}，

模4乘法，即

"∀x,y∈S,x

y=（xy）mod4

〉

问〈S，

是否构成群？

为什么？

解：

（1）

∀x,y∈S,x=（xy）mod4∈S,是S上的代数运算。

（2）

∀x,y,z∈S,设xy=4k+r

0≤r≤3

（x

）

z=（（xy）mod4）

z=r

z=（rz）mod4

=（4kz+rz）mod4=（（4k+r）z）mod4=（xyz）mod4

（3）

同理x

z）=（xyz）mod4

（

所以，（x

）

z=x

z），结合律成立。

∀x∈S,（x1）=

（1）=x,，所以1是单位元。

（4）1−11,

3−13,

0和2没有逆元

所以，〈S，不构成群

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。

如下：

"∀x,y∈Z,xoy=x+y-2

问Z关于o运算能否构成群？

为什么？

解：

（1）

∀x,y∈Z,xoy=x+y-2∈

o是Z上的代数运算。

（2）

∀x,y,z∈Z,

（xoy）oz=（x+y-2）oz=（x+y-2）+z-2=x+y+z-4同理（xoy）oz=xo（yoz），结合律成立。

（3）设e是单位元，∀x∈Z,xoe=

ox=x,即x+-2=

+x-2=x,e=2

（4）

∀x∈Z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,

所以，

−1

y4−x

所以〈Z，o〉构成群

⎧⎛1

0⎞⎛1

0⎞⎛−1

0⎞⎫

11.设G=⎨⎜

⎟,⎜

⎟⎬，证明G关于矩阵乘法构成一个群．

⎠

⎩⎝0

⎟⎝0

−1⎠⎝0

1⎠⎝0

−1⎠⎭

解：

（1）

∀x,y∈G,易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

（2）矩阵乘法满足结合律

⎜

（3）设⎛1

⎝0

0⎞

⎟是单位元，

1⎠

（4）每个矩阵的逆元都是自己。

所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得G={ak∣k∈Z}

证明：

G是交换群。

证明:

∀x,y∈G，设xak,

yal，则

xyakal

alak

所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。

证明:

设

e0∈G

也是幂等元，则2

，即2，由消去律知

e0e0e0ee0e

18.设G为群，a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣

证明：

先证设（

abc）k

e⇔（

bca）ke

设（abc）k

则（abc）（abc）（abc）⋯（abc）e，

即（）（（⋯

−1

abca

bca）bca）

（bca）ae

左边同乘

−1，右边同乘得

（）（）（

bcbcbc

）⋯（a）（bac）k

−1

eae

反过来，设（

bac

）k

则（abc）k.

由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：

偶数阶群G必含2阶元。

证明：

设群G不含2阶元，∀

∈G，当e时，a是一阶元，当a≠e时，a至少是3

阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,则

−1也是k阶的，所以

高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛

盾。

所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：

先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；

若G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，则2

，−1

eaa

∀,∈

−1

−1,（

）−1

所以

−1

−1，

abGa

abbabab

abab

（ba）ba

与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则≠a

，且2

aaa。

令2的证。

21.设G是Mn（R）上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。

（1）全体对称矩阵是子群

（2）全体对角矩阵是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群

（4）全体上（下）三角矩阵。

是子群

−1

22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即

N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}

证明N（a）构成G的子群。

证明：

ea=ae,∈N（a）≠

∀,（）,则,

xy∈Na

axxaayya

a（xy

）（

ax）y

（xa）y

x（ay）

x（ya

）（

xy）a

所以∈（）

由axxa，得

−1−1

xaxx

−1

xax

−1,

−1

xaeeax

−1，即

−1−1，所以

xaax

x∈N（a）

所以N（a）构成G的子群

31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明1�

ϕϕϕϕ

2是G1到G3的同态。

证明：

有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。

ϕϕϕϕ

∀（1�ϕ2）（ab）ϕ2（

1（ab））ϕ2（

1（a）

1（））

（（

ϕϕ

1（a）））（

（1（b）））（

1�ϕ2）（a）（

ϕϕ

1�ϕ2）（）

所以:

1·2是G1到G3的同态。

ϕϕ

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。

证明：

设G是循环群,令G=,∀,

是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。

（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。